湖南省郴州市石桥中学高二数学理模拟试题含解析

湖南省郴州市石桥中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 曲线y＝x2－2x与直线x＋y＝0所围成的封闭图形的面积为(　　) 参考答案： A 略 2. 将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(    )     A. n=0            B. n=1           C.n=2               D. n=4 参考答案： C 3. 当为第四象限角时，两直线和的位置关系是(    ) A. 平行          B. 垂直        C. 相交但不垂直         D. 重合 参考答案： B 略 4. 设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 参考答案： C 分析：由不等式分离参数可得恰有两个整数解，然后结合函数的图象求解可得实数的取值范围． 详解：由， 得恰有两个整数解． 令， 则， 由于在上单调递增，且， ∴当时，单调递增， 当时，单调递减． 画出函数的图象如下图所示． 结合图象可得，当恰有两个整数解时，需满足， 即， ∴实数的取值范围是． 故选C． 点睛：（1）已知函数的零点个数（方程解的个数或不等式解的情况）求参数的取值范围时，一般可借助函数图象的直观性求解，解题时先分离参数得到具体的函数，然后再画出函数的图象，最后结合题意求解． （2）求参数的范围时，要注意不等式端点处的等号能否取得． 5. 已知向量，，若与的夹角为，则 A．2  B．   C．   D．1   参考答案： D 由题意可知：,，，则。故选D。   6. 若一个样本的总偏差平方和为，残差平方和为，则回归平方和为（    ） A、           B、            C、           D、 参考答案： A 7. 如图，已知、，从点射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是 （　　） A．         B． C． D． 参考答案： A 略 8. 定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（ ） A．           B．            C．         D． 参考答案： B 略 9. 用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多，要使 它的容积最 大，则容器底面的宽为（    ）． A． B． C． D． 参考答案： C 设宽为，则长为， ∵总长为， ∴高为，， ∴体积为， ， 当时，有极大值亦为最大值． 10. 抛物线的焦点坐标为 (  ) A.   B.    C.   D. 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 定积分的值为                    . 参考答案： 4 12. 在等比数列中，首项，，则公比为            ． 参考答案： 3 略 13. 在红、黄、蓝、白四种颜色中任选几种给 “田”字形的4个小方格涂色，要求每格涂一种颜色，相邻（有公共边）两格必须涂不同的颜色。则满足条件所有涂色方案中，其中恰好四格颜色均不同的概率是     （用数字作答）； 参考答案： 略 14. 圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是         cm． 参考答案： 4 15. 复数满足（其中为虚数单位)，则=                      . 参考答案： 16. 关于x的不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则实数k的取值范围是　   　． 参考答案： [0，4） 【考点】函数恒成立问题． 【分析】由关于x的不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，知k=0，或，由此能求出实数k的取值范围． 【解答】解：∵关于x的不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立， ∴k=0，或， 解得0≤k＜4． 故答案为：[0，4）． 17. 点P(x，y)是圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点，若点P的坐标满足不等式x＋y＋m≥0，则实数m的取值范围是________． 参考答案： [－1，＋∞) 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 函数对任意a,b都有当时，. （1）求证：在R上是增函数. （2）若,解不等式.. （3）若的解集是-3，2），求的值. 参考答案： 解：（1）略 （2） （3） 略 19. （本题满分10分）已知函数在处有极值. (1)求的值； (2)判断函数 的单调性并求出单调区间． 参考答案： 20.   （本小题满分12分） 已知椭圆经过点，其离心率为，动点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若以OM(O为原点)为直径的圆被直线截得的弦长为2，求该圆的方程； （3）设F为椭圆E的右焦点，过F作OM的垂线，与以OM为直径的圆交于点N，求线段ON的长．   参考答案： （1）由题意得，又由椭圆经过点P，得，又联立解得，所以椭圆的方程为； （2）以为直径的圆的圆心为，半径，所以圆M的方程为。依题意，解得所以所求圆的方程为； （3）过点作的垂线，垂足设为,由平面几何知识知，直线的方程为，则直线的方程为由，得，故 ，所以线段的长为定值.   21. 工厂有一段旧墙长m，现准备利用这段旧墙为一面，建造平面图形为矩形，面积为m2的厂房，工程条件是：(1)建1m新墙费用为a元；(2)修1 m旧墙费用是元；(3)拆去1 m旧墙，用所得材料建1m新墙费用为元，经过讨论有两种方案： ①利用旧墙的一段(x<14)为矩形厂房一面的边长； ②矩形厂房利用旧墙的一面，矩形边长x≥14。 问：如何利用旧墙，即x为多少m时，建墙费用最省？①②两种方案哪种更好？ 参考答案： 略 22. 如图，在三棱柱ABC﹣1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1CC1，BC=，AB=BB1=2，∠BCC1=，点E为棱BB1的中点. （Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC； （Ⅱ）求点E到平面ACC1的距离．   参考答案： （Ⅰ）见解析 （Ⅱ）   考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定． 专题：综合题；空间位置关系与距离． 分析：（Ⅰ）证明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解C1B=，然后证明BC⊥BC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC． （Ⅱ）点E到平面ACC1的距离等于点B到平面ACC1的距离，利用等体积，即可得出结论． 解答：（Ⅰ）证明：因为BC=，CC1=BB1=2，∠BCC1=， 在△BCC1中，由余弦定理，可求得C1B=， 所以C1B2+BC2=C1C2，C1B⊥BC． 又AB⊥侧面BCC1B1，故AB⊥BC1， 又CB∩AB=B，所以C1B⊥平面ABC．…（6分） （Ⅱ）解：易知BB1∥平面ACC1，又点E在BB1上， 所以点E到平面ACC1的距离等于点B到平面ACC1的距离． 在Rt△ABC中，AB=2，BC=，所以AC=． 同理可求得AC1=． 设点B到平面ACC1的距离为d，在四面体C1﹣ABC中， ，即×d=×AB， 所以××2××d=××××2，解得d=． 即点E到平面ACC1的距离为．…（12分） 点评：本题考查线面垂直、线线垂直，考查锥体体积的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定定理是关键．