山东省济南市第三十五中学高二数学理期末试题含解析

山东省济南市第三十五中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）的导函数f′（x），满足xf′（x）+2f（x）=，且f（1）=1，则函数f（x）的最大值为（　　） A．0 B． C． D．2e 参考答案： C 【考点】63：导数的运算；3H：函数的最值及其几何意义． 【分析】由题意构造函数g（x）=x2f（x），可解得g（x）=1+lnx，f（x）=，利用导数判断函数f（x）的单调性，求得最大值即可． 【解答】解：∵xf′（x）+2f（x）=， ∴x2f′（x）+2xf（x）=， 令g（x）=x2f（x），则g′（x）=x2f′（x）+2xf（x）=， ∵f（1）=1，∴g（1）=1， ∴g（x）=1+lnx，f（x）=，∴f′（x）=， ∴x＜时，f′（x）=＞0，x＞时，f′（x）=＜0， ∴当x=时，f（x）max=f（）==． 故选C． 2. 已知集合，则（   ） A、    B、     C、     D、 参考答案： A 3. 下列有关命题的说法正确的是(    )                           A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”． B．“”是“”的必要不充分条件． C．命题“使得”的否定是：“ 均有”． D．命题“若，则”的逆否命题为真命题 参考答案： D 略 4. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是(　　) A．①③    B．②④       C．③④    D．①②③④ 参考答案： D 5. 已知等比数列，，，则 A．          B．          C．           D． 参考答案： D 6. 下列程序执行后输出的结果是（　　　） A．  –1         B．  0            C．  1            D． 2 参考答案： B 7. 若，则等于  （    ） A、-1             B、1               C、            D、   参考答案： C 略 8. 设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2” 的 (   ) （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 参考答案： A 9. 在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝44°，则此三角形解的情况为(　　) A．无解    B．两解     C．一解    D．解的个数不确定 参考答案： B 10. 类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是 （  　） ①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． A．①     B．①②         C．③   D．①②③ 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图中所标边长,由勾股定理有:c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN,如果用S1,S2,S3表示三个侧面的面积,S4表示截面面积,那么类比得到的结论是　　　　. 参考答案： ++= 本题主要考查立体几何的类比推理问题.将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边,可得++=. 12. 不等式在R上恒成立,则的取值范围是_________________. 参考答案： [，1） 13. 已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球 面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC且AB=BC=1，SA=，则球O的表面积是　　． 参考答案： 4π 【考点】球的体积和表面积． 【分析】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，可得SA⊥AC，SB⊥BC，则SC的中点为球心，由勾股定理解得SC，再由球的表面积公式计算即可得到． 【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上， ∵SA⊥平面ABC，SA=，AB⊥BC且AB=BC=1， ∴AC==， ∴SA⊥AC，SB⊥BC， SC==2， ∴球O的半径R=SC=1， ∴球O的表面积S=4πR2=4π． 故答案为4π． 14. 等差数列中，前项的和为77（为奇数），其中偶数项的和为33，且，求这个数列的通项公式． 参考答案： 解答：．   略 15. 若， 其中都是实数，是虚数单位，则 参考答案： 16. 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为______ 参考答案： (0,+∞) 【分析】 令，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和已知可得，即可得出． 【详解】设， ，． 所以函数是上的减函数， 函数是偶函数， 函数， 函数关于对称， （4）， 原不等式等价为， 不等式等价， ．在上单调递减， ． 故答案为: 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式、函数的奇偶性及对称性的应用． 17. 当时，不等式恒成立，则实数的最大值为； 参考答案： 4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意． （1）求数列{an}的通项公式； （2）记，求数列{bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由已知条件推导出（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）=0，从而得到数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，由此能求出数列{an}的通项公式． （2）由Sn=，bn=n?2n，由此利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Tn． 【解答】解：（1）由6Sn=an2+3an+2① 得6Sn﹣1=an﹣12+3an﹣1+2② ①﹣②得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）=0， ∵各项均为正数的数列{an} ∴an﹣an﹣1=3， ∴数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列， ∴数列{an}的通项公式是an=3n﹣2 （2）Sn=， ∴=n?2n， ∴Tn=1×21+2×22+…+n?2n，③ 2Tn=1×22+2×23+…+n×2n+1，④ ③﹣④，得﹣Tn=21+22+23+…+2n﹣n×2n+1=﹣n×2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2， ∴Tn=（n﹣1）2n+1+2． 19. （本题满分12分）某工厂统计资料显示，产品次品率与日产量(单位：件，，)的关系如下：         又知每生产一件正品盈利(为正常数)元，每生产一件次品就损失元. （注：次品率×100%，正品率) （1）将该厂日盈利额（元）表示为日产量的函数； （2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 参考答案： （1）（2）80 （1）依题意：(1≤x≤96,x∈N*),日产量件中次品有件，正品有件，              日盈利额 (2)∵            =                       =            =        ≤a(104-2)=64a， 所以当100-x=20，即x=80时，T最大.因此日产量为80件时，日盈利额T取最大值.   20. （本小题满分12分） 已知命题P:表示双曲线；命题q：（）,若是的充分非必要条件，试求实数的取值范围． 参考答案： 由命题P得   ∴                  4分 由命题q得∴            5分 由题意及逆否命题的等价性可知，即         7分 ∴由（不同时取等号）及得            11分 ∴所求m的取值范围为                                      12分 21. 已知定圆M：（x+）2+y2=16，动圆N过点F（，0）且与圆M相切，记圆心N的轨迹为C直线l过点E（﹣1，0）且与C于A，B （Ⅰ）求轨迹C方程； （Ⅱ）△AOB是否存在最大值，若存在，求出△AOB的最大值；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】轨迹方程． 【分析】（Ⅰ）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以N，F为焦点，长半轴长为2的椭圆，由此能求出曲线C的方程． （Ⅱ）存在△AOB面积的最大值．由直线l过点E（﹣1，0），设直线l的方程为 x=my﹣1，联立椭圆方程，整理得（m2+4）y2﹣2my﹣3=0．由△=（2m）2+12（m2+4）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．解得y1=，y2=．再换元，结合函数的单调性，由此能求出S△AOB的最大值． 【解答】解：（ I）易知点F（，0）在圆M：（x+）2+y2=16内，所以圆N内切于圆M，又圆M的半径为4，所以|NM|+|NF|=4＞2=|FM|，所以点N的轨迹C为椭圆，且2a=4，c=，所以b=1， 所以轨迹C的方程为=1         （Ⅱ）存在△AOB面积的最大值．… 因为直线l过点E（﹣1，0），设直线l的方程为 x=my﹣1或y=0（舍）． 联立椭圆方程，整理得 （m2+4）y2﹣2my﹣3=0．… 由△=（2m）2+12（m2+4）＞0． 设A（x1，y1），B（x2，y2）． 解得y1=，y2=． 则|y2﹣y1|=． ∴S△AOB=|OE||y2﹣y1|= … 设g（t）=t+，t=，t≥． 则g（t）在区间[，+∞）上为增函数． 所以g（t）≥． 所以S△AOB≤， 当且仅当m=0时取等号，所以S△AOB的最大值为．… 22. 如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形ABCD的面积为，则的最小值是    ▲    ． 参考答案： 略