山西省阳泉市盂县孙家庄乡中学2022-2023学年高一数学理联考试题含解析

山西省阳泉市盂县孙家庄乡中学2022-2023学年高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（       ） A.              B.               C.                D. 参考答案： B 2. 在△ABC中，若，则△ABC的面积的最大值为（　　） A．8 B．16 C． D． 参考答案： D 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】根据平面向量的数量积公式和余弦定理，求出b2+c2=80，再利用基本不等式得出bc的最大值，写出△ABC的面积，求其最大值即可． 【解答】解：△ABC中，， 设A、B、C所对边分别为a，b，c， 则c?b?cosA=a=8①； 所以△ABC的面积为： S△ABC=bcsinA=bc=bc=， 由余弦定理可得b2+c2﹣2bc?cosA=a2=64②， 由①②消掉cosA得b2+c2=80， 所以b2+c2≥2bc， bc≤40，当且仅当b=c=2时取等号， 所以S△ABC=≤=8， 所以△ABC面积的最大值为8． 故选：D． 3. 已知由正数组成的等比数列{an}中，前6项的乘积是64，那么的最小值是（    ） A．2       B．4       C．8       D．16 参考答案： B 4. 函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案： A 【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 【分析】因为只有y=xα型的函数才是幂函数，所以只有m2﹣m﹣1=1函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm才是幂函数，又函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm在x∈（0，+∞）上为增函数，所以幂指数应大于0． 【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数， 则解得：m=2． 故选A． 5. 设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连结，则弦长超过半径的概率是（     ） A．      B．      C．     D． 参考答案： D 略 6. 已知集合P={x|x＜2}，则下列正确的是（　　） A．2∈P B．2?P C．2?P D．{2}∈P 参考答案： B 【考点】元素与集合关系的判断． 【专题】集合． 【分析】本题考查元素与集合以及集合与集合间的关系，画数轴，数形结合判断A，B，其中C，D中符号使用错误． 【解答】解：集合P={x|x＜2}，如图 则2?P，B正确，A错误， C、2?P，元素与集合间使用∈或?符号，不会使用?符号，错误， D、{2}∈P，是集合间关系，应使用?符号，错误， 故选：B． 【点评】判断元素与集合关系，只有∈或?，两者必具其一． 7. 对于非零向量，下列命题正确的是（    ） A．若，则         B．若，则在上的投影为       C. 若，则         D．若，则 参考答案： C 8. 设函数f（x）=则的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣2 D．2 参考答案： B 【考点】函数的值． 【分析】由已知先求出f（13）=f（9）=log39=2，f（）=log3=﹣1，由此能求出． 【解答】解：∵函数f（x）=， ∴f（13）=f（9）=log39=2， f（）=log3=﹣1， =2+2（﹣1）=0． 故选：B． 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 9. 点在正方体的面对角线上运动，   则下列四个命题中： （1）； （2）平面； （3）三棱锥的体积随点的运动而变化。 其中真命题的个数是（    ） A．1          B．2          C．3          D．0 参考答案： A 10. 若角的终边上有一点，则的值是（    ） A．        B．       C．      D．  参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设为定义在R上的奇函数，当x时，，则的值是         .                                                       参考答案： -3 12. 若，则=_________________ 参考答案： 分析：由二倍角公式求得，再由诱导公式得结论． 详解：由已知， ∴． 故答案为． 点睛：三角函数恒等变形中，公式很多，如诱导公式、同角关系，两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式，先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重要，但其中最重要的是“角”的变换，要分析出已知角与未知角之间的关系，通过这个关系都能选用恰当的公式． 13. （5分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，这个球的表面积是4π，则这个三棱柱的体积是     ． 参考答案： 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 如图所示，设球心为O，上下底面的中心分别为O1，O2，球O与三个侧面相切的切点分别A，B，C．设球的半径为R，由球的表面积是4π，可得4πR2=4π，R=1．可得O1O2=2，为三棱柱的高．在等边三角形中，由OA=OB=OC=1，可得AB，可得三棱柱的底面边长=2AB．利用等边三角形的面积计算公式可得三棱柱的底面面积S，即可得出三棱柱的体积． 解答： 如图所示， 设球心为O，上下底面的中心分别为O1，O2，球O与三个侧面相切的切点分别A，B，C． 设球的半径为R，∵球的表面积是4π，∴4πR2=4π， 解得R=1．∴O1O2=2，为三棱柱的高． 在等边三角形中，由OA=OB=OC=1，可得AB==， 可得三棱柱的底面边长=． ∴三棱柱的底面面积S==3． ∴这个三棱柱的体积=S?O1O2=6． 故答案为：6． 点评： 本题考查了正三棱柱及其内切球的性质、体积计算公式、等边三角形的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题． 14. 以点为圆心，且与轴相切的圆的方程是      ． 参考答案：   . 略 15. （5分）若点A（x，y）是300°角终边上异于原点的一点，则的值为                ． 参考答案： 考点： 任意角的三角函数的定义． 专题： 计算题． 分析： 根据三角函数的定义，是300°角的正切值，求解即可． 解答： 点A（x，y）是300°角终边上异于原点的一点，则的值就是：tan300°=  所以 =tan300°=﹣tan60°= 故答案为：﹣ 点评： 本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，考查计算能力． 16. 函数y = 的值域是______________ 参考答案： [ -2 , 0 ]  略 17. 已知函数，则对任意实数,，都有以下四条性质中的     ▲    (填入所有对应性质的序号). 　 ①　　　　　　② 　 ③　　　　　　　④ 参考答案： ④ 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 . （1）试判断函数的单调性，并用单调性的定义证明； （2）设，试比较与的大小. 参考答案： 证明：设为区间上任意两个值，且                                              又， ，即 函数在区间上为单调增函数 （2）; 由（1）知，函数在区间上为单调增函数 略 19. 计算：（1）；    （2）． 参考答案： 略 20. 参考答案： 证明：设= a, = b, = c, 则= c - b, = a - c, = b - a 由题设：2 +2 =2 +2 =2 +2， 化简：a2 + (c - b)2 = b2 + (a - c)2 = c2 + (b - a)2  得：  c?b = a?c = b?a 从而?= (b - a)?c = b?c - a?c = 0  ∴^    同理：^, ^ 21. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝时，用定义探讨函数f(x)在x∈[1，＋∞)上的单调性并求f(x)最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围． 参考答案： （1）当 设 由 上为增函数，     ……8'    (2)上恒成立在上恒成立， 记， 故       ……14' 22. (12分) 已知函数. （Ⅰ）求在区间[]上的最大值和最小值； （Ⅱ）若在[2,4]上是单调函数，求的取值范围． 参考答案： 即m≤2或m≥6.故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．------------------12分