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安徽省淮南市九龙中学2023年高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,则下列不等式中成立的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
2. 命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )
A.任意一个有理数,它的平方是有理数
B.任意一个无理数,它的平方不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数
D.存在一个无理数,它的平方不是有理数
参考答案:
B
3. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,如果,则 ( )
A.9 B.8 C.7 D.6
参考答案:
B
4. 调查机构对某高科技行业进行调查统计,得到该行业从业者学历分布饼状图,从事该行业岗位分布条形图,如图所示.
给出下列三种说法:①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上;②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%;③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生,其中正确的个数为( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
参考答案:
C
【分析】
利用饼状图、行业岗位分布条形图得到相应命题的真假.
【详解】根据饼状图得到从事该行行业的人群中有百分之五十五的人是博士,故①正确;从条形图中可得到从事技术岗位的占总的百分之三十九点六,故②正确;而从条形图中看不出来从事各个岗位的人的学历,故得到③错误.
故答案为:C.
【点睛】本题考查命题真假的判断,考查饼状图、条形图的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
5. 阅读如右图所示的程序框图,如果输入的的值为6,那么运行相应程序,输出的的值为( )
A. 3 B. 10 C. 5 D.16
参考答案:
C
6. 设定义在上的函数,其导函数为,若恒成立,则().
A. B.
C. D.
参考答案:
B
∵,
∴,,
由,得,
即,
令,,
则,
∴函数在上单调递增,
∴,
即,
∴,
项,,故项错误;
项,,故项正确;
项,,故项错误;
项,,故项错误.
故选.
7. 执行如图所示的程序框图,则输出s的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】循环结构.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的k,s的值,当k=8时不满足条件k<8,退出循环,输出s的值为.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
s=0,k=0
满足条件k<8,k=2,s=
满足条件k<8,k=4,s=+
满足条件k<8,k=6,s=++
满足条件k<8,k=8,s=+++=
不满足条件k<8,退出循环,输出s的值为.
故选:D.
8. 已知等差数列{an}满足a2+a4=4, a3+a5=10,则它的前10项和为( )
A.138 B.135 C.95 D.23
参考答案:
C
略
9. 已知关于的不等式的解集为,则实数的值分别为( )
参考答案:
B
10. 在极坐标系中,点到直线的距离为( )
A. B.1 C. D.
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数,则实数k的取值范围 .
参考答案:
略
12. 设,且,,则的值是__________.
参考答案:
4+3i
分析:由题意可得,再结合,即可得到答案
详解:,,
又,
点睛:本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数,掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键。
13. 由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数,要求奇数不相邻,且2不在第二位,则这样的六位数共有 个.
参考答案:
108
14. 函数f(x)的定义域为R,周期为4,若f(x﹣1)为奇函数,且f(1)=1,则f(7)+f(9)= .
参考答案:
1
【考点】3L:函数奇偶性的性质;3Q:函数的周期性.
【分析】由已知中f(x﹣1)为奇函数,可得f(﹣1)=0,结合函数f(x)的定义域为R,周期为4,且f(1)=1,则f(7)+f(9)=f(﹣1)+f(1),进而得到答案.
【解答】解:由f(x﹣1)为奇函数,
知f(﹣1)=0,
又∵函数f(x)的定义域为R,周期为4,f(1)=1,
∴f(7)+f(9)=f(﹣1)+f(1)=1,
故答案为:1
15. 设函数,则使得成立的的取值范围是
参考答案:
16. 二次函数y=x2-4x+3在y<0时x的取值范围是__________.
参考答案:
{x|1<x<3}
略
17. 已知数列{an}的首项a1=1,且对每个n∈N*,an,an+1是方程x2+2nx+bn=0的两根,则b10= .
参考答案:
189
【考点】数列递推式.
【专题】转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列.
【分析】an,an+1是方程x2+2nx+bn=0的两根,可得an+an+1=﹣2n,an?an+1=bn.于是an+2﹣an=﹣2.因此数列{an}的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差都为﹣2,首项分别为1,﹣3.即可得出.
【解答】解:∵an,an+1是方程x2+2nx+bn=0的两根,
∴an+an+1=﹣2n,an?an+1=bn.
∴an+2﹣an=﹣2.
∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差都为﹣2,首项分别为1,﹣3.
∴a2k﹣1=1﹣2(n﹣1)=3﹣2n,a2k=﹣3﹣2(k﹣1)=﹣1﹣2k,
∴b10=a10a11=(﹣1﹣20)×(3﹣12)=189.
故答案为:189.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系的应用、一元二次方程的根与系数的关系,考查了推理能力能力与计算能力,属于中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为: (为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直角坐标系下曲线与曲线的方程;
(2)设为曲线上的动点,求点到上点的距离的最大值,并求此时点的坐标.
参考答案:
(1)由曲线,可得,两式两边平方相加得:.
即曲线在直角坐标系下的方程为.
由曲线,即,所以,
即曲线在直角坐标系下的方程为.
(2)由(1)知椭圆与直线无公共点,椭圆上的点到直线的距离为,
∴当即时,的最大值为.
此时点的坐标为.
19. (本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线,曲线.
(I)求曲线C1及C2的直角坐标方程;
(II)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上的点的距离最大值.
参考答案:
解:
(I)由得,即
由得:
∴
∴C1的直角坐标方程为
C2的直角坐标方程为………………………………………….6分
(II)∵点(2,0)到直线的距离
∴点P到C2上点的距离最大值为…………………………….12分
20. 已知函数,
(1)当时,求不等式的解集;
(2)当时,求当取何值时,函数的值恒为负数?
参考答案:
解:(1)当时,,由得或
不等式的解集为------------------------6分
(2)当时,
对任意,恒有成立,则,即。
当时,函数的值恒为负数。--------------------13分
略
21. 知一个4次多项式为用秦九韶算法求这个多项式当时的值
参考答案:
f(x)=x(x(x(x-7)-9)+11)+7
f(1)=3
22. (本小题满分14分)已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,D是AB的中点.
(Ⅰ)求动点D的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q,
① 当|PQ|=3时,求直线l的方程;
② 试问在x轴上是否存在点E(m,0),使·恒为定值?若存在,求出E点的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(Ⅰ)设D(x,y),A(a,a),B(b,-b),
∵ D是AB的中点, ∴x=,y=,
∵ |AB|=2,∴(a-b)2+(a+b)2=12,
∴(2y)2+(2x)2=12,∴点D的轨迹C的方程为x2+y2=3. …………………5分
(Ⅱ)①当直线l与x轴垂直时,P(1,),Q(1,-),此时|PQ|=2,不符合题意;
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x-1),由于|PQ|=3,所以圆心C到直线l的距离为,由=,解得k=.故直线l的方程为y=(x-1).
②当直线l的斜率存在时,设其斜率为k,则l的方程为y=k(x-1),
由消去y得(k2+1)x2-2k2x+k2-3=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2)则由韦达定理得x1+x2=,x1x2=,
则=(m-x1,-y1),=(m-x2,-y2),
∴·=(m-x1)(m-x2)+y1y2=m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2
=m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1)
=m2-++k2 (-+1)=
要使上式为定值须=1,解得m=1,∴·为定值-2,
当直线l的斜率不存在时P(1,),Q(1,-),
由E(1,0)可得=(0,-),=(0,),
∴·=-2,
综上所述当E(1,0)时,·为定值-2 . …………………14分
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