安徽省池州市第十二中学高二数学文联考试题含解析

安徽省池州市第十二中学高二数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列几个命题正确的个数是（　　） ①方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正根，一个负根，则a＜0； ②函数是偶函数，但不是奇函数； ③函数f（x+1）的定义域是[﹣1，3]，则f（x2）的定义域是[0，2]； ④一条曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1． A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： B 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①，若方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正根，一个负根，则△=（a﹣3）2﹣4a＞0，x1x2=a＜0?a＜0，； ②，函数=0（x=±1）是偶函数，也是奇函数； ③，函数f（x+1）的定义域是[﹣1，3]，则f（x2）的定义域是[﹣2，2]； ④，由图象可知曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数可能为0、2、3、4． 【解答】解：对于①，若方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正根，一个负根，则△=（a﹣3）2﹣4a＞0，x1x2=a＜0?a＜0，故正确； 对于②，函数=0（x=±1）是偶函数，也是奇函数，故错； 对于③，函数f（x+1）的定义域是[﹣1，3]，则f（x2）的定义域是[﹣2，2]，故错； 对于④，由图象可知曲线y=|3﹣x2|和直线y=a（a∈R）的公共点个数可能为0、2、3、4，则m的值不可能是1，故正确． 故选：B． 【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到了大量的基础知识，属于基础题． 2. 计算的结果是 A． B． C． D． 参考答案： B 略 3. 设I是函数的定义域，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间I上存在“次不动点”.若函数在R 上存在三个“次不动点”，则实数a的取值范围是(    ) A. (－2,0)∪(0,2) B. (－2,2) C. (－1,0)∪(0,1) D. [－1,1] 参考答案： A 【分析】 由已知得上有三个解。即函数有三个零点，求出，利用导函数性质求解。 【详解】因为函数在上存在三个“次不动点”， 所以在上有三个解，即在上有三个解， 设，则，由已知，令得，即或 当时，，；，，要使有三个零点，则即，解得； 当时，，；，，要使有三个零点，则即，解得； 所以实数的取值范围是 故选A. 【点睛】本题考查方程的根与函数的零点，以及利用导函数研究函数的单调性，属于综合体。 4. 设随机变量X的分布列如下表，且，则（　　）   0 1 2 3 0.1 0.1   Ａ．0.2 Ｂ．0.1 Ｃ． Ｄ． 参考答案： C 5. 已知复数满足：（是虚数单位），则的虚部为（      ） A．          B．          C．          D． 参考答案： D 6. 已知定点M（﹣3，0），N（2，0），如果动点P满足|PM|=2|PN|，则点P的轨迹所包围的图形面积等于（　　） A． B． C． D．9π 参考答案： A 【考点】轨迹方程． 【分析】设P（x，y），则由|PM|=2|PN|，得（x+3）2+y2=4[（x﹣2）2+y2]，从而求出点P的轨迹所包围的图形是以（，0）为圆心，以为半径的圆，由此能求出点P的轨迹所包围的图形面积． 【解答】解：设P（x，y），则由|PM|=2|PN|，得（x+3）2+y2=4[（x﹣2）2+y2]， 化简得3x2+3y2﹣22x+7=0， 整理，得（x﹣）2+y2=， 点P的轨迹所包围的图形是以（，0）为圆心，以为半径的圆， ∴点P的轨迹所包围的图形的面积S==． 故选：A． 7. 读如图21－3所示的程序框图，若输入p＝5，q＝6，则输出a，i的值分别为(　　) 图21－3 A．a＝5，i＝1                      B．a＝5，i＝2 C．a＝15，i＝3                     D．a＝30，i＝6 参考答案： D 8. 如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM=2MA，点N为BC中点，则=（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】9B：向量加减混合运算及其几何意义． 【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项． 【解答】解：由题意 =++ =+﹣+ =﹣++﹣ =﹣++ 又=， =， = ∴=﹣++ 故选B． 9. 如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为E，AA′的中点为F，则直线D′F和直线CE（　　） A．都与直线DA相交，且交于同一点 B．互相平行 C．异面 D．都与直线DA相交，但交于不同点 参考答案： A 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】连接EF，A′B，CD′，证明E，F，D′，C共面，且EF=CD′，即可得出结论． 【解答】解：连接EF，A′B，CD′，则 ∵AB的中点为E，AA′的中点为F， ∴EF∥A′B， ∵A′B∥CD′， ∴EF∥CD′， ∴E，F，D′，C共面，且EF=CD′ ∴直线D′F和直线CE与直线DA相交，且交于同一点， 故选：A．   【点评】本题考查E，F，D′，C共面的证明，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 10. “ ”是“不等式对一切实数x恒成立”的（   ） A．充分不必要条件         B．必要不充分条件 C．充要条件                 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 不等式对一切实数x恒成立，故选A。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 数列满足,其中为常数．若实数使得数列为等差数列或等比数列，数列的前项和为，则满足___________. 参考答案： 10 略 12. 已知点P在圆x2+y2=1运动，点M的坐标为M（2，0），Q为线段PM的中点，则点Q的轨迹方程为　   　． 参考答案： （x﹣1）2+y2=   【考点】轨迹方程． 【分析】本题宜用代入法求轨迹方程，设Q（x，y），P（a，b），由中点坐标公式得到a=2x﹣2，b=2y，代入x2+y2=16到Q（x，y）点的坐标所满足的方程，整理即得点Q的轨迹方程． 【解答】解：设Q（x，y），P（a，b） 由M（2，0），Q为线段PM的中点 故有a=2x﹣2，b=2y 又P为圆x2+y2=1上一动点， ∴（2x﹣2）2+（2y）2=16， 整理得（x﹣1）2+y2=， 故Q的轨迹方程是（x﹣1）2+y2=． 故答案为：（x﹣1）2+y2=． 【点评】本题的考点是轨迹方程，考查用代入法求支点的轨迹方程，代入法适合求动点与另外已知轨迹方程的点有固定关系的点的轨迹方程，用要求轨迹方程的点的坐标表示出已知轨迹方程的点的坐标，再代入已知的轨迹方程，从而求出动点的坐标所满足的方程． 　 13. 根据表格中的数据，可以判定方程的一个解所在的区间为（N），则的值为          ． 参考答案： 略 14. 已知两个非零向量a与b，定义ab＝|a||b|sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＋b＝(－3，6)，a－b＝(－3，2)，则ab＝________． 参考答案： 6 a＝(－3，4)，b＝(0，2)，a·b＝|a||b|·cosθ＝5×2×cosθ＝8，cosθ＝，所以sinθ＝，ab＝5×2×＝6. 15. 已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为____. 参考答案： 【分析】 焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，可知，由此可求出双曲线的离心率。 【详解】由题可设焦点在轴上的双曲线方程为， 由于该双曲线的渐近线方程为，则， 在双曲线中，所以双曲线的离心率， 故双曲线的离心率为。 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，双曲线渐近方程的应用，属于基础题。 16. 设函数是定义在R上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则其中所有正确命题的序号是_____________。  ① 2是函数的周期； ② 函数在上是减函数，在上是增函数；  ③ 函数的最大值是1，最小值是0； ④ 当时，。 参考答案： ①②④ 略 17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2－cos 2C＝，且a＋b＝5，c＝，则△ABC的面积为________． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，,平面ABCD，且，，点E是PD的中点．     （1）求证：PB∥平面AEC； （2）求二面角的大小． 参考答案： （1）见解析（2）135° 试题分析：（1）一般线面平行考虑连接中点，形成中位线，连BD交AC于M,连接EM即可；（2）以A为原点建系，显然只需求平面EAC的法向量，利用法向量求二面角． 试题解析： ∵平面，，平面， ∴，，且，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系． （1）∵，，∴， ∴，， 设平面法向量为，则，取，得． 又，所以，∵，∴， 又平面，因此，平面． （2）∵平面的一个法向量为， 由（1）知，平面的法向量为， 设二面角的平面角为（为钝角），则 ，得：． 所以二面角的大小为． 19. 已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是9和1   (1)  求椭圆的标准方程； (2)  若椭圆上一点P到两焦点的距离之积为m，求当m取最大值时，P点的坐标. 参考答案： 解：（1）由题意设椭圆的标准方程为,焦距为2c.           解得 , b=3       所以椭圆的标准方程为   (2) |PF1|＋|PF2|＝2a＝10， ∴|PF1|·|PF2|()2＝25. 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时，取得最大值，此时P点是短轴端点， 略 20. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (其中参数). （1）以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程； （2）直线l的参数方程为 (其中参数,是常数)，直线l与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率． 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）    先把参数方程化普通方程，再由普通方程化极坐标方程。 （2）    本题已知直线和圆相交的弦长，设出直线普通方程，利用垂径定理表示出半弦长、半径、圆心距关系，求出直线的斜率。 【详解】解： （1） 的普通方程 的极坐标方程 （2）   直线的普通方程 由（1）知：圆心,, , 【点睛】本题考查圆的参数方程，普通方程和极坐标方程的互化，以及直线与圆相交的弦长问题。 21. 如图，三棱锥P-ABC中，已知PA^平面ABC, PA=3,PB=PC=BC=6, 求二面角P-BC-A的正弦值                                                   参考答案： 解：取BC的中点D，连结PD，AD，∵ PB =PC ，∴ PD⊥BC 　　∵ PA⊥平面ABC，由三垂线定理的逆定理得 AD⊥BC 　　∴ ∠PDA就是二面角P-BC-A