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山东省淄博市南王镇中学高三数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设集合,则( )
(A) [0,+¥) (B)(0,+¥) (C) (D)
参考答案:
B
略
2. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是2,则正(主)视图的面积等于( )
A.2 B. C. D.3
参考答案:
A
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】计算题;空间位置关系与距离.
【分析】由三视图知几何体为一四棱锥,且四棱锥的高为x,底面是直角梯形且自己梯形的两底边分别为1,2,高为2,根据几何体的体积是2求出x,再根据正视图为直角三角形求出其面积.
【解答】解:由三视图知几何体为一四棱锥,且四棱锥的高为x,底面是直角梯形且自己梯形的两底边分别为1,2,高为2,
∴几何体的体积V=××2×x=2?x=x=2.
∴正(主)视图的面积S=×2×2=2.
故选A.
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量.
3. 已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的 尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是( ).
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
B
略
4. 如图所示,三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)设直角三角形有一内角为30°,若向弦图内随机抛掷500颗米粒(米粒大小忽略不计,取,则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )
A.134 B.67 C.182 D.108
参考答案:
B
设大正方形的边长为1,则小直角三角形的边长为,,
则小正方形的边长为,小正方形的面积,
则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为
.
5. 已知a、b、c是实数,方程的三个实数根可以作为椭圆、双曲线、抛物线的离心率,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 若某多面体的三视图(单位:cm), 如图所示,其中正视图与俯视图均为等腰三角形,则此多面体的表面积是( )
B. C. 15 D.
参考答案:
B
略
7. 既是偶函数又在区间(0,π)上单调递减的函数是( )
A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin2x D.y=cos2x
参考答案:
B
【考点】余弦函数的奇偶性;余弦函数的单调性.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】根据函数的奇偶性排除A、C,再根据函数的单调性排除D,经检验B中的函数满足条件,从而得出结论.
【解答】解:由于函数y=sinx和 y=sin2x都是奇函数,故排除A、C.
由于函数y=cosx是偶函数,周期等于2π,且在(0,π)上是减函数,故满足条件.
由于函数y=cos2x是偶函数,周期等于π,在(0,)上是减函数,在(,π)上是增函数,故不满足条件.
故选B.
【点评】本题主要考查余弦函数的奇偶性和单调性,属于中档题.
8. 函数的导函数的图像如图所示,那么的图像最有可能的是( ☆ )
参考答案:
A
9. 已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且,记椭圆和双曲线的离心率分别为,,则的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
详解:设,
∵ ,
∴,
一方面 ,
另一方面 ,
∴,,,
,
∴,,当且仅当,即时等号成立,
∴所求最大值为.
故选D.
10. 已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为 ( )
A.3 B.2 C. D.1
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在区间[﹣1,1)上,f(x)=,其中m∈R,若,则f(5m)= .
参考答案:
【考点】分段函数的应用.
【分析】求出函数的周期,利用等式关系求出m,然后求解函数值.
【解答】解:因为f(x+2)=f(x)?T=2.
所以,
f(5m)=f(﹣3)=f(﹣1)=﹣1+=﹣.
故答案为:.
12. 是满足的区域上的动点.那么的最大值是 .
参考答案:
4
直线经过点P(0,4)时,最得最大值,最大值是4.
13. 向量, 若,则实数的值为 .
参考答案:
14. 等差数列中,,则=_________
参考答案:
21
设公差为,因为,所以,
15. 甲盒子里装有分别标有数字的张卡片,乙盒子里装有分别标有数字的张卡片,若从两个盒子中各随机地取出张卡片,则张卡片上的数字之和为奇数的概率是 ____________.
参考答案:
略
16. 将一颗质地均匀的骰子抛掷两次,所得向上点数分别为和,则函数在上为增函数的概率是 .
参考答案:
略
17. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,>0(x>0),则不等式x2f(x)>0的解集是 .
参考答案:
(﹣1,0)∪(1,+∞)
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用;导数的概念及应用.
【分析】先根据[]′=>0判断函数的单调性,进而分别看x>1和0<x<1时f(x)与0的关系,再根据函数的奇偶性判断﹣1<x<0和x<﹣1时f(x)与0的关系,最后取x的并集即可得到答案.
【解答】解:[]′=>0,即x>0时是增函数,
当x>1时,>f(1)=0,f(x)>0.
0<x<1时,<f(1)=0,f(x)<0,
又f(x)是奇函数,所以﹣1<x<0时,f(x)=﹣f(﹣x)>0,
x<﹣1时f(x)=﹣f(﹣x)<0,
则不等式x2f(x)>0即f(x)>0的解集是(﹣1,0)∪(1,+∞),
故答案为:(﹣1,0)∪(1,+∞).
【点评】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用.在判断函数的单调性时,常可利用导函数来判断.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在直四棱柱中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, =2, E、分别是棱AD、A的中点.
(1) 设F是棱AB的中点,证明:直线E//平面FC;
(2) 证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.
参考答案:
证明:(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中,取A1B1的中点F1,连接A1D,C1F1,CF1,因为AB=4, CD=2,且AB//CD,所以CDA1F1,A1F1CD为平行四边形,所以CF1//A1D,
又因为E、E分别是棱AD、AA的中点,所以EE1//A1D,
所以CF1//EE1,又因为平面FCC,平面FCC,所以直线EE//平面FCC.
(2)连接AC,在直棱柱中, CC1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
所以CC1⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形,AB=4, BC=2,
F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF,△BCF为正三角形,
,△ACF为等腰三角形,且
所以AC⊥BC, 又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C, 所以AC⊥平面BB1C1C,而平面D1AC,所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.
略
19. 已知函数f(x)=|x+1|,
(1)解不等式f(x)≥2x+1;
(2)x∈R,使不等式f(x-2)-f(x+6)<m成立,求m的取值范围
参考答案:
解:(1)当x+1≥0即x≥-1时,x+1≥2x+1,∴-1≤x≤0,
当x+1<0即x<-1时,-x-1≥2x+1,∴x<-1,
∴不等式的解集为{x|x≤0}
(2)∵f(x-2)=|x-1|,f(x+6)=|x+7|,∴|x-1|-|x+7|<m,
∵x∈R,使不等式|x-1|-|x+7|<m成立,∴m大于|x-1|-|x+7|的最小值
∴m>-8
略
20. (本题满分15分)已知函数.
(1)求函数的图像在点处的切线方程;
(2)若,且对任意恒成立,求的最大值;
(3)当时,证明.
参考答案:
(1)解:因为,所以,
函数的图像在点处的切线方程;…………3分
(2)解:由(1)知,,所以对任意恒成立,即对任意恒成立.…………4分
令,则,……………………4分
令,则,
所以函数在上单调递增.………………………5分
因为,所以方程在上存在唯一实根,且满足.
当,即,当,即,…6分
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
所以.…………7分
所以.故整数的最大值是3.………………………8分
(3)由(2)知,是上的增函数,……………9分
所以当时,.…………………10分
即.
整理,得.………………11分
因为, 所以.…………………12分
即.即.………………13分
所以.………………………14分
略
21. 设函数 ().
(1) 当时,求函数在点处的切线方程;
(2) 对任意的,恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(2) ,易知,,
则. 当时,即时,由得恒成立, 在上单调递增,符合题意,所以;
当时,由得,恒成立,在上单调递减, ,显然不合题意,舍去; 当时,由得,即 则, 因为,所以,所以时,恒成立,
略
22. 已知:动点P、Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程;
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
参考答案:
【考点】参数方程化成普通方程.
【分析】(Ⅰ)利用参数方程,可得M的坐标,消去参数,即可求出M的轨迹的参数方程;
(Ⅱ)利用距离公式,将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,当α=π时,d=0,即可判断M的轨迹是否过坐标原点.
【解答】解:(Ⅰ)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),
因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α)
M的轨迹的参数方程为,…
(Ⅱ)M点到坐标原点的距离
当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点 …
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