江西省萍乡市第二中学高三数学文上学期期末试卷含解析

江西省萍乡市第二中学高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 正方形ABCD的边长为2，向正方形ABCD内投掷200个点，有30个落入图形M中，则图形M的面积估计为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】CF：几何概型． 【分析】设图形M的面积为S′，利用几何概型的概率计算公式求出S′的值． 【解答】解：设图形M的面积为S′，根据几何概型的概率计算公式， P==， ∴S′=×22=． 故选：C． 2. 函数f（x）=的定义域是 A．(-1,  1)      B．      C．     D． 参考答案： B 略 3. 已知复数满足，则（    ） A．         B．       C．       D． 参考答案： D 4. 为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝cos 3x的图像(　　) 参考答案： C 略 5. 已知是两条不同的直线，是一个平面，有下列四个命题： ① 若，则； ② 若，则； ③ 若，则；④ 若，则． 其中真命题的序号有（  ） A．①③      B．①④    C．②③     D．②④ 参考答案： C 6. 已知数列是等差数列，若构成等比数列，这数列的公差等于                                                    （    ） 参考答案： B 7. （），则的值为（     ） A．              B．     C．,         D． 参考答案： D 略 8. 如果实数满足关系，则的取值范围是                              （     ） A．           B．           C．         D． 参考答案： D 9. 全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，N={1,3,5}，则 （    ） A.{3,5}              B.{1,5}              C.{4,5}             D.{1,3} 参考答案： A 10. 已知函数①y=sinx+cosx，②y=2sinxcosx，则下列结论正确的是(     ) A．两个函数的图象均关于点（﹣，0）成中心对称 B．两个函数的图象均关于直线x=﹣对称 C．两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数 D．可以将函数②的图象向左平移个单位得到函数①的图象 参考答案： C 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：综合题；三角函数的图像与性质． 分析：化简这两个函数的解析式，利用正弦函数的单调性和对称性逐项判断，可得 A、B、D不正确，C 正确． 解答：解：∵函数①y=sinx+cosx=sin（x+），②y=2sinxcosx=sin2x， 由于①的图象关于点（﹣，0）成中心对称，②的图象不关于点（﹣，0）成中心对称，故A不正确． 由于函数①的图象不可能关于直线x=﹣成轴对称，故B不正确． 由于这两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数，故C正确． 由于将函数②的图象向左平移个单位得到函数y=sin2（x+），而y=sin2（x+）≠sin（x+），故D不正确． 故选C． 点评：本题考查正弦函数的单调性，对称性，考查和、差角公式及二倍角公式，化简这两个函数的解析式，是解题的突破口，属于中档题 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知的值等于___________. 参考答案： 略 12. 矩形中，，，平面，，，分别是，的中点，则四棱锥的外接球表面积为          ． 参考答案： 13. 当实数x，y满足约束条件时，z=x﹣y的最大值为m，则对于正数a，b，若=m，则a+b的最小值是            ． 参考答案： 考点：简单线性规划． 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用． 分析：由题意作出其平面区域，z=x﹣y在x取最大，y取最小时有最大值，即（6，1）时有最大值，从而可得m=5；利用基本不等式求最值． 解答： 解：由题意作出其平面区域， z=x﹣y在x取最大，y取最小时有最大值， 即（6，1）时有最大值， 故m=5； 故=5， （）（a+b） ≥（2++）≥； 当且仅当a=b时，等号成立， 故答案为：． 点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题． 14. 已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为　　． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积． 【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=， 设正四棱锥的高为PO，连结AO， 则AO=AC=． 在直角三角形POA中，PO===1． 所以VP﹣ABCD=?SABCD?PO=×4×1=． 故答案为：． 15. 设a，b，c是三条不同直线，，，是三个不同平面，给出下 列命题： ①若，，则； ②若a，b异面，，，，，则； ③若，，，且，则； ④若a，b为异面直线，，，，，则． 其中正确的命题是                   参考答案： ②③④ 16. =　　． 参考答案： π+2 【考点】67：定积分． 【分析】由和的积分等于积分的和展开，然后由定积分的几何意义求得，再求得，作和得答案． 【解答】解： =， 令y=，得x2+y2=4（y≥0）， 则圆x2+y2=4的面积为4π， 由定积分的几何意义可得，， 又， ∴=π+2． 故答案为：π+2． 17. 已知命题恒成立，命题为减函数，若且为真命题，则的取值范围是              参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分） 如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝2，CD＝4． (Ⅰ)求证：BC⊥平面BDE； (Ⅱ)试在平面CDE上确定点P，使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF所成的角等于30°． 参考答案： （Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）或. 试题分析：（Ⅰ）证明：由平面ABEF平面ABCD，可得EDAB．ED平面ABCD 由BC平面ABCD，得到 EDBC．在直角梯形ABCD中,由CD 2=BC2+BD2 ，得到 BDBC，得证. （Ⅱ）建立空间直角坐标系Dxyz，得 ，确定平面BEF的一个法向量.由于 AP与平面BEF所成的角等于，得到AP与所成的角为或， 由得到 根据或求解. 试题解析：（Ⅰ）证明：因为平面ABEF平面ABCD，EDAB． 所以ED平面ABCD                                          ………………1分 又因为BC平面ABCD，所以EDBC．                        ………………2分 在直角梯形ABCD中,由已知可得 BC2=8，BD2=8，CD2=16，所以，CD 2=BC2+BD2 ，所以，BDBC   ……………4分 又因为EDBD=D，所以BC平面BDE．                         ……………5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系Dxyz                                  ……6分 则      …………7分 设，则 令是平面BEF的一个法向量， 则 所以，令，得所以        …………9分 因为AP与平面BEF所成的角等于， 所以AP与所成的角为或 所以                 ………11分 所以 又因为，所以或                                ………12分 当时，（*）式无解 当时，解得：                                   ………13分 所以，或.                            ………14分 考点：1.垂直关系；2.空间的角；3.空间向量方法. 19. （12分）设函数.   (1)判断函数奇偶性； （2）证明：的导数；   (3) 求函数在区间的最大值和最小值(结果用分式表示). 参考答案： 解析:（1）∵,, ∴函数的定义域为实数R.                               ……1分 又∵ ∴函数为奇函数.                                       ……4分 （2）的导数．                     ……6分 由于，故． （当且仅当时，等号成立）．                               ……8分 (3)由（2）可知函数在单调递增，所以在区间上也单调递增， 故函数在处取得最大值，最大值为……10分 在处取得最大值，最大值为           ……12分   20. 双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 参考答案： 解：（Ⅰ）设，， 由勾股定理可得： 得：，， 由倍角公式，解得,则离心率． （Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立 将，代入，化简有 将数值代入，有,解得 故所求得双曲线方程为：． 略 21. 设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|（x∈R，实数a＜0）． （Ⅰ）若f（0）＞，求实数a的取值范围； （Ⅱ）求证：f（x）≥． 参考答案： 【考点】R5：绝对值不等式的解法；5B：分段函数的应用． 【分析】（Ⅰ）去掉绝对值号，解关于a的不等式组，求出a的范围即可；（Ⅱ）通过讨论x的范围，结合基本不等式的性质求出求出f（x）的最小值即可． 【解答】（Ⅰ）解：∵a＜0，∴f（0）=|a|+|﹣|=﹣a﹣＞， 即a2+a+1＞0， 解得a＜﹣2或﹣＜a＜0； （Ⅱ）证明：f（x）=|2x+a|+|x﹣|=， 当x≥﹣时，f（x）≥﹣﹣； 当＜x＜﹣时，f（x）＞﹣﹣； 当x≤时，f（x）≥﹣a﹣， ∴f（x）min=﹣﹣≥2=， 当且仅当﹣=﹣即a=﹣时取等号， ∴f（x）≥． 【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查解绝对值不等式问题，是一道中档题． 22. 已知函数． （1）若a≠0，讨论函数的单调性； （2）若函数在(0,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： （1）依题意，， 若，则函数在上单调递增，在上单调递减； 若，则函数在上单调递减，在上单调递增． （2）因为，故，① 当时，显然① 不成立； 当时，①化为：；② 当时，①化为：；③ 令，则 ， ∴当时，时，， 故在是增函数，在是减函数， ∴， 因此②不成立，要③成立，只要， ∴所求的取值范围是．