天津蓟县燕山中学 2023年高三数学文期末试卷含解析

天津蓟县燕山中学 2023年高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数f（x）=sin（2x﹣）的图象为C，下面结论中正确的是（　　） A．函数f（x）的最小正周期是2π B．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数 C．图象C可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到 D．图象C关于点（，0）对称 参考答案： D 【考点】正弦函数的图象． 【分析】由条件利用正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论 【解答】解：根据函数f（x）=sin（2x﹣）的周期为=π，可得A错误； 在区间（﹣，）上，2x﹣∈（﹣，），故f（x）没有单调性，故B错误； 把函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位，可得y=sin（2x﹣）的图象，故C错误； 令x=，可得f（x）=sin（2x﹣）=0，图象C关于点（，0）对称，故D正确， 故选：D． 2. 阅读如图所示的框图，运行相应的程序，则输出S的值为(     ) A．﹣1008 B．﹣1007 C．1007 D．1008 参考答案： B 考点：循环结构． 专题：图表型；算法和程序框图． 分析：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣…（﹣1）n﹣1?n，根据当n=2015时，程序运行终止，得S=1﹣2+3+…﹣2014． 解答： 解：由程序框图知：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣…+（﹣1）n﹣1?n， ∵当n=2015时，不满足条件k＜2015，程序运行终止， ∴S=1﹣2+3﹣…﹣2014=﹣1007． 故答案为：﹣1007． 点评：本题考查了循环结构的程序框图，判断程序运行的功能是解答此类问题的关键，属于基础题． 3. 在△ABC中，AC=7，∠B=,△ABC的面积S=，则AB= A、5 或3      B、 5       C、 3        D、5或6 参考答案： A 略 4. 将正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角，则异面直线AB和CD所成的角是                                     （　▲　） A.         B.         C.         D. 参考答案： C 略 5. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（ωx）的图象，则函数f（x）的图象（　　） A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称 C．关于点（，0）对称 D．关于点（，0）对称 参考答案： A 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】由条件利用正弦函数的周期性，以及正弦函数的图象的对称性，得出结论． 【解答】解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，可得=π，求得ω=2，f（x）=sin（2x+φ）． 其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（2x）的图象， 故有sin[2（x﹣）+φ]=sin2x，故可取φ=，f（x）=sin（2x+）． 令2x+=kπ+，k∈Z，求得x=+，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z． 令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（x）的图象的对称中心为 （﹣，0），k∈Z， 故选：A． 【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，以及正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 6. 若双曲线的左右焦点分别为、，线段被抛物线 的焦点分成的两段，则此双曲线的离心率为(    ) A．           B．           C.         D. 参考答案： B 7. 已知函数f（x）=是R上的减函数，则实数a的取值范围是（　　） A．[，） B．（0，） C．（0，） D．（，） 参考答案： A 【考点】函数单调性的性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由题意可得可得，由此求得a的范围． 【解答】解：由于函数f（x）=是R上的减函数，可得， 求得≤a＜， 故选：A． 【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题． 8. 在△ABC中，a(sin B-sin C)+b(sin C -sin A)+c(sin A-sin B)的值是                         (    ） A．             B．0              C．1              D．π 参考答案： B 9. 函数的图像因酷似汉字的“囧”字，而被称为“囧函数”。则方程的实数根的个数为（     ） A．1           B．2          C．3          D．4 参考答案： C 10. 设变量x,y满足约束条件则的最大值为 (A) 1              (B) 6              (C) 5               (D) 4 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，正方体中，直线与平面所成的角的大小为         （结果用反三角函数值表示）. 参考答案：   12. 过点P（－1，2）且与曲线y=3x2－4x＋2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是______. 参考答案： y=2x+4 略 13. 观察以下不等式 ；      ；    ；        ；   由此猜测第n个不等式是________________. 参考答案： 观察不等式的规律：； ；        ；   ；   所以由此猜测第n个不等式为。 14. 一平面截一球得到直径是的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是__________． 参考答案： 球的半径为，故球的体积为． 15. 从6名候选人中选派出3人参加、、三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加活动，则不同的选派方法有______________种． 参考答案： 100     略 16. 已知直线与曲线相切于点，则实数的值为______. 参考答案： 3 略 17. 已知向量，，其中.若，则=    ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+a|． （Ⅰ）当a=1时，求y=f（x）图象与直线y=3围成区域的面积； （Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值． 参考答案： 【考点】5B：分段函数的应用；R4：绝对值三角不等式． 【分析】（Ⅰ）当a=1时可写出f（x）的解析式，进而可从图象上看出围成的区域即为三角形，计算即得结论；   （Ⅱ）分与两种情况讨论即可． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=， 其图象如图所示，易知y=f（x）图象与直线y=3交点坐标， 所以围成区域的面积为 [1﹣（﹣1）]×（3﹣）=． （Ⅱ）当，即时，． 所以， 所以﹣a﹣1=1，解得a=﹣，满足题意； 当，即时，， 所以f（x）min=f（）=|+a|=+a=1，解得a=，满足题意； 综上所述，或． 19. 设函数f（x）=|x﹣4|，g（x）=|2x+1|． （1）解不等式f（x）＜g（x）； （2）若2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法． 【分析】（1）f（x）＜g（x）等价于（x﹣4）2＜（2x+1）2，从而求得不等式f（x）＜g（x）的解集． （2）由题意2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，即H（x）的图象恒在直线G（x）=ax的上，即可求得a的范围． 【解答】解：（1）f（x）＜g（x）等价于（x﹣4）2＜（2x+1）2，∴x2+4x﹣5＞0， ∴x＜﹣5或x＞1， ∴不等式的解集为{x|x＜﹣5或x＞1}； （2）令H（x）=2f（x）+g（x）=，G（x）=ax， 2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，即H（x）的图象恒在直线G（x）=ax的上方． 故直线G（x）=ax的斜率a满足﹣4≤a＜，即a的范围为[﹣4，）． 【点评】本题主要考查绝对值的意义，带由绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题． 20. (12分)已知函数f(x)＝2ax－－(2＋a)lnx(a≥0). （1）当a＝0时，求f(x)的极值； （2）当a＞0时，讨论f(x)的单调性； （3）若对任意的a∈(2, 3)，x-1, x2∈[1, 3]，恒有(m－ln3)a－2ln3＞|f(x1)－f(x-2)|成立，求实数m的取值范围。 参考答案： （1）当时， 由,解得 ，可知在上是增函数，在上是减函数.                                                   ∴的极大值为，无极小值.             ………………4分 .①当时，在和上是增函数，在上是减函数； ②当时，在上是增函数；                 ③当时，在和上是增函数，在上是减函数  8分 （3）当时，由（2）可知在上是增函数， ∴.        由对任意的a∈(2, 3)，x-1, x2∈[1, 3]恒成立， ∴                   即对任意恒成立， 即对任意恒成立，                    由于当时，，∴.     ……………  12分 21. （12分）已知函数， （1）若函数的图象在点处的切线与直线平行，函数 在处取得极值，求函数的解析式，并确定函数的单调递减区间； （2）若，且函数在上是减函数，求的取值范围． 参考答案： （1）已知函数         又函数图象在点处的切线与直线平行，且函数在处取得极值，，且，解得 ，且           令，          所以函数的单调递减区间为                （2）当时，，又函数在上是减函数 在上恒成立，       即在上恒成立。  22. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=． （1） 求证：面PAB⊥平面PDC； （2） 求二面角B﹣PD﹣C的正切值．         参考答案： （1）证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，CD?平面ABCD， 所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA， 又，所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD， CDPD=D，且CD、PD?面ABCD，PA⊥面PDC， 又PA?面PAB，∴面PAB⊥面PDC； （2）取PC的中点E,连接AC和BD,交点为F, 因为侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，CD⊥AD,所以CD⊥面PAD,即有CD⊥PD， 设PD的中点为M，连结EM，MF，EM//CD, 则EM⊥PD， 在△PAC中，EF//PA，PA⊥PD，可得PD⊥EF, 有PD⊥面EFM，于是PD⊥MF， ∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角。 由（1）PA⊥面PDC，EF⊥面PDC，有EF⊥ME, △FEM为直角三角形。 Rt△FEM中，，，， 故所求二面角的正切值为；