安徽省合肥市开城中学2022-2023学年高二数学理月考试卷含解析

安徽省合肥市开城中学2022-2023学年高二数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正、副班长，其中至少有1名女生当选的概率是        （    ） A．        B．         C．      D． 参考答案： D 2. 已知点P为所在平面上的一点，且，其中为实数，若点P落在的内部，则的取值范围是（    ） A．      B．      C．      D． 参考答案： D 3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则（    ） A. 18          B. 36           C. 54              D. 72 参考答案： D 4. 已知正四棱锥S--ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE,SD所成的角的余弦值为（    　 ） A．    B． C．   D． 参考答案： C 5. 若函数,则 (    ) A．         B．       C．       D． 参考答案： A 6. 读如图的程序，程序运行的结果是（　　） A．3 B．7 C．13 D．21 参考答案： C 【考点】伪代码；循环结构． 【专题】阅读型；试验法；算法和程序框图． 【分析】本题考查了当型循环，运行循环体，进行列举，找出规律，当K=8时条件不满足，退出循环，从而得到S的值． 【解答】解：循环体第一次运行，S=3，K=4， 循环体第二次运行，S=7，K=6， 循环体第三次运行，S=13，K=8， 此时K=8不满足K＜=6，退出循环，输出S=13． 故选：C． 【点评】算法的基本语句共有5类：输入语句、赋值语句、输出语句、条件语句、循环语句，属于基础题． 7. 已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为(　　) A．7π　　　B．9π　　　C．11π　　　D．13π 参考答案： D 如图，由题意可知∠AMN＝60°，设球心为O，连结ON、OM、OB、OC，则ON⊥CD，OM⊥AB，且OB＝4，OC＝4.在圆M中，∵π·MB2＝4π， ∴MB＝2.在Rt△OMB中，OB＝4， ∴OM＝2. 在△MNO中，OM＝2，∠NMO＝90°－60°＝30°， ∴ON＝. 在Rt△CNO中，ON＝，OC＝4，∴CN＝， ∴S＝π·CN2＝13π.   8. 函数处的切线方程是 A．                B．  C．              D． 参考答案： D 9. 是第四象限角，，（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 参考答案： B 10. 已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的(  ) A．充分不必要条件   B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知复数z满足，则的值为       . 参考答案： 10 设，则． ∵， ∴， ∴，解得． ∴， ∴．   12. 一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的体积为             ； 参考答案： 【知识点】由三视图求面积;根据三视图判断几何体的形状 【答案解析】解析 ：解：由已知中该几何体是一个四分之三球，其表面积包括个球面积和两个与球半径相等的半圆面积∵R=1,故S= ?4?π+2? ?π=4π 故答案为：4π 【思路点拨】根据已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的形状是四分之三个球，利用球的表面积公式及圆的面积公式，即可得到该几何体的表面积． 13. __________________. 参考答案： 略 14. 设椭圆的右焦点为，离心率为，则此椭圆的方程为_____________． 参考答案： , 15. 参数方程   ，化成普通方程是                     参考答案： 16. 已知函数在区间(0,1)上不是单调函数，则实数a的取值范围是            . 参考答案： (0,7)  17. 已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________． 参考答案： x＋y－3＝0 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (12分)设命题p:不等式的解集是;命题q:不等式的解集是,若“p或q”为真命题,试求实数a的值取值范围. 参考答案： 19. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，，，PB⊥面ABCD，，，点M、E分别是PB、PC的中点. (Ⅰ)证明: DE∥面PAB； (Ⅱ)求面PCD与面PBA所成的二面角的正切值； (Ⅲ)若点N是线段CD上任一点，设直线MN与面PBA所成的角为，求的最大值. 参考答案：              ……….4分      ……..4分           --------------7分 20. (本题满分12分)△的内角所对的边分别为. (1)若成等差数列，证明：； (2)若成等比数列，求的最小值． 参考答案： ：(1)∵成等差数列，∴…………….2分 由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B. ∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， ∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．………………………………6分 (2)∵成等比数列，∴………………………8分 由余弦定理得 …………………10分 当且仅当a＝c时等号成立， ∴cos B的最小值为.                      …………………12分 21. （14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn+an=1；递增的等差数列{bn}满足b1=1，b3=b﹣4． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）若cn是an，bn的等比中项，求数列{c}的前n项和Tn； （3）若c≤t2+2t﹣2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值范围． 参考答案： 【考点】数列的求和；函数恒成立问题． 【专题】综合题；转化思想；作差法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用． 【分析】（1）讨论n=1时，a1=S1，当n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1，可得数列{an}的通项公式；再由等差数列的通项公式，解方程可得d，即可得到所求{bn}的通项公式； （2）运用等比数列的性质，求得c=anbn=（2n﹣1）?（）n；再由数列的求和方法：错位相减法，化简整理即可得到所求； （3）由题意可得（2n﹣1）?（）n≤t2+2t﹣2恒成立．判断{（2n﹣1）?（）n}的单调性，可得最大值，解不等式即可得到t的范围． 【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1，2S1+a1=1，解得a1=； 当n＞1时，2Sn+an=1，可得2Sn﹣1+an﹣1=1， 相减即有2an+an﹣an﹣1=0，即为an=an﹣1， 则an=（）n； 设递增的等差数列{bn}的公差为d，即有1+2d=（1+d）2﹣4， 解得d=2，则bn=2n﹣1； （2）cn是an，bn的等比中项，可得c=anbn=（2n﹣1）?（）n； 前n项和Tn=1?+3?（）2+5?（）3+…+（2n﹣1）?（）n； Tn=1?（）2+3?（）3+5?（）4+…+（2n﹣1）?（）n+1； 相减可得Tn=+2﹣（2n﹣1）?（）n+1 =+2?﹣（2n﹣1）?（）n+1； 化简可得前n项和Tn=1﹣（n+1）?（）n； （3）c≤t2+2t﹣2对一切正整数n恒成立，即为 （2n﹣1）?（）n≤t2+2t﹣2恒成立． 由﹣c=（2n+1）?（）n+1﹣（2n﹣1）?（）n=（）n?（1﹣n）≤0， 可得数列{c}单调递减，即有最大值为c12=， 则≤t2+2t﹣2，解得t≥1或t≤﹣7． 即实数t的取值范围为（﹣∞，﹣7]∪[1，+∞）． 【点评】本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：错位相减法，考查数列的单调性的运用：解恒成立问题，属于中档题． 22. (本小题8分)如图，在直三棱柱中，，，为的中点. （1）求证：∥平面；   （2）求证：平面； 参考答案： （I）证明：如图，连结AB1与A1B相交于M,则M为A1B的中点 连结MD，则D为AC的中点 ∴B1C∥MD 又B1C平面A1BD ∴B1C∥平面A1BD （II）∵AB=B1B，∴四边形ABB1A1为正方形∴A1B⊥AB1 又∵AC1⊥面A1BD ∴AC1⊥A1B∴A1B⊥面AB1C1 ∴A1B⊥B1C1 又在直棱柱ABC—A1B1C1中BB1⊥B1C1 ∴B1C1⊥平面ABB1A1