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天津津沽实验中学高一数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
2. 已知直线l1: y=xsinα和直线l2: y=2x+c,则直线l1与l2 ( )
A.通过平移可以重合 B.不可能垂直
C.可能与x轴围成等腰直角三角形 D.通过绕l1上某一点旋转可以重合
参考答案:
A
3. 在中,,是它的两边长,S是的面积,若,则的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
参考答案:
D
略
4. 已知函数是定义在区间上的偶函数,当时,是减函数,如果不等式成立,则实数的取值范围( ).
A. B.(1,2) C. D.
参考答案:
A
解:偶函数在上是减函数,
∴其在上是增函数,由此可以得出,自变量的绝对值越小,函数值越大,
∴不等式可以变为,
解得.
故选.
5. 设则下列不等式中恒成立的是( )
A B C D
参考答案:
C
6. 下列两个变量不是相关关系的是( )
A.人的身高和体重
B.降雪量和交通事故发生率
C.匀速行驶的车辆的行驶距离和时间
D.每亩施用肥料量和粮食亩产量
参考答案:
C
略
7. 一同学在电脑中打出如下若干个圆:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…,若依此规律继续下去,得到一系列的圆,则在前2012个圆中共有●的个数是( )
A.61 B.62 C.63 D.64
参考答案:
A
【考点】84:等差数列的通项公式.
【分析】将圆分组:把每个实心圆和它前面的连续的空心圆看成一组,那么每组圆的总个数就等于2,3,4,…,构成等差数列.根据等差数列的求和公式可以算出第2012个圆在之前有多少个整组,即可得答案.
【解答】解:根据题意,将圆分组:
第一组:○●,有2个圆;
第二组:○○●,有3个圆;
第三组:○○○●,有4个圆;
…
每组的最后为一个实心圆;
每组圆的总个数构成了一个等差数列,前n组圆的总个数为
sn=2+3+4+…+(n+1)==
因为=1952<2011<=2015
则在前2012个圈中包含了61个整组,和第62组的一部分,
即有61个黑圆,
故选A
8. 已知,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【详解】因为,
所以,故选B.
点评:本题较简单,二倍角公式的考查
9. 已知向量a,b,且,则一定共线的三点是( )
A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D
参考答案:
A
略
10. 已知圆的圆心是,半径长是,则圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数y=sin2x+2cosx在区间[-,a]上的值域为[-,2],则a的取值范围是__.
参考答案:
[0,]
【分析】
应用同角三角函数基本关系式,函数可以化为关于cosx的解析式,令t=cosx,则原函数可化为y=﹣(t﹣1)2+2,即转化为二次函数的最值问题,含参数的问题的求解.
【详解】解:由已知得y=1﹣cos2x+2cosx=﹣(cosx﹣1)2+2,令t=cosx,得到:y=﹣(t﹣1)2+2,显然当t=cos()时,y,当t=1时,y=2,又由x∈[,a]可知cosx∈[,1],可使函数的值域为[,2],所以有a≥0,且a,从而可得a的取值范围是:0≤a.
故答案为:[0,].
【点睛】本题考查三角函数的值域问题,换元法与转化化归的数学思想,含参数的求解策略问题.
12. 已知函数f(x)=4ax﹣1(a>0且a≠1)的图象恒过一个定点P,且点P在直线mx+ny﹣1=0上,则2m×16n的值是 .
参考答案:
2
【考点】指数函数的单调性与特殊点.
【专题】对应思想;转化法;不等式的解法及应用.
【分析】根据指数函数过定点的性质求出P的坐标,再根据点和直线的关系,以及指数幂的运算法则即可得出结论.
【解答】解:当x﹣1=0,即x=1时,f(x)=4,
∴函数f(x)=4ax﹣1的图象恒过定点P(1,4),
又点P在直线mx+ny﹣1=0上,
∴m+4n=1,
∴2m×16n=2m?24n=2m+4n=21=2.
故答案为:2.
【点评】本题考查了指数函数的图象和性质的应用问题,解题的关键是熟记点与直线的位置关系以及指数幂的运算法则,是基础题.
13. 命题“若”的否命题为 ;
参考答案:
若,则;
14. 若点在直线上,过点的直线与曲线只有一个公共点,则的最小值为__________
参考答案:
略
15. (4分)函数f(x)的定义域为D,若存在闭区间?D,使得函数f(x)满足:①f(x)在内是单调函数;②f(x)在上的值域为,则称区间为y=f(x)的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有 .
①f(x)=x2(x≥0);②f(x)=3x (x∈R);
③f(x)=(x≥0);④f(x)=|x|(x∈R).
参考答案:
①③
考点: 函数的图象.
专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用.
分析: 由题意,根据倍值区间的定义,验证四个函数是否存在倍值区间即可,先令f(x)=2x,至少有两个不同的解,且在解构成的区间上单调即可.
解答: ①f(x)=x2(x≥0)的倍值区间为,故正确;
②如图,
方程3x=2x没有解,
故f(x)=3x (x∈R)没有倍值区间;
③f(x)=(x≥0)的倍值区间为,故正确;
④方程|x|=2x仅有一个解0;
故f(x)=|x|(x∈R)没有倍值区间;
故答案为:①③.
点评: 本题考查了学生对新定义的接受能力及应用能力,属于中档题.
16. 已知点为的外心,外接圆半径为1,且满足,则的面积为 .
参考答案:
17. 函数与()的图象所有交点横坐标之和是 .
参考答案:
4
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 交通指数是指交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值,记交通指数为T,其范围为[0,10],分别有五个级别:,畅通;,基本畅通;,轻度拥堵;,中度拥堵;,严重拥堵.在晚高峰时段(),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示.
(1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数;
(2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数;
(3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个,求至少有1个路段为轻度拥堵的概率.
参考答案:
(1)轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数分别为6,9,3;(2)从交通指数在[4,6),[6,8),[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1;(3)
【分析】
(1)根据在频率分布直方图中,小长方形的面积表示各组的频率,可以求出频率,再根据频数等于频率乘以样本容量,求出频数;
(2)根据(1)求出拥堵路段的个数,求出每层之间的占有比例,然后求出每层的个数;
(3)先求出从(2)中抽取的6个路段中任取2个,有多少种可能情况,然后求出至少有1个路段为轻度拥堵有多少种可能情况,根据古典概型概率公式求出.
【详解】(1)由频率分布直方图得,这20个交通路段中,
轻度拥堵的路段有(0.1+0.2)×1×20=6(个),
中度拥堵的路段有(0.25+0.2)×1×20=9(个),
严重拥堵的路段有(0.1+0.05)×1×20=3(个).
(2)由(1)知,拥堵路段共有6+9+3=18(个),按分层抽样,从18个路段抽取6个,则抽取的三个级别路段的个数分别为,,,即从交通指数在[4,6),[6,8),[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1.
(3)记抽取的2个轻度拥堵路段为,,抽取的3个中度拥堵路段为,,,抽取的1个严重拥堵路段为,则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为:
,共15种,其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为:
,共9种.
所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为.
【点睛】本题考查了频率直方图的应用、分层抽样、古典概型概率的求法.解决本题的关键是对频率直方图所表示的意义要了解,分层抽样的原则要知道,要能识别古典概型.
19. (10分)已知函数f(x)=ax2﹣4x+2,
(1)若f(2﹣x)=f(2+x),求f(x)的解析式;
(2)已知a≤1,若函数y=f(x)﹣log2在区间[1,2]内有且只有一个零点,试确定实数a的取值范围.
参考答案:
考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数零点的判定定理.
专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)先求出函数的对称轴,从而求出a的值,进而求出函数f(x)的表达式;
(2)设r(x)=ax2﹣4x+5,s(x)=log2x(x∈[1,2]),问题转化为两个函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内有唯一交点,通过讨论a的范围,结合函数的单调性,从而求出a的范围.
解答: (1)∵f(2﹣x)=f(2+x),
∴f(x)的对称轴为x=2,
即,即a=1,
∴f(x)=x2﹣4x+2.
(2)因为
设r(x)=ax2﹣4x+5,s(x)=log2x(x∈[1,2])
则原命题等价于两个函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内有唯一交点
当a=0时,r(x)=﹣4x+5在区间[1, 2]内为减函数,s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,
且r(1)=1>s(1)=0,r(2)=﹣3<s(2)=1,
所以函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内有唯一交点
当a<0时,r(x)图象开口向下,对称轴为
所以r(x)在区间[1,2]内为减函数,s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,
则由,所以﹣1≤a<0,
当0<a≤1时,r(x)图象开口向上,对称轴为,
所以r(x)在区间[1,2]内为减函数,s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,
则由,所以0<a≤1,
综上所述,实数a的取值范围为[﹣1,1].
点评: 本题考查了求函数的解析式问题,考查了函数的单调性,考查了分类讨论思想,是一道中档题.
20. (12分)如图,A,B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点,现位于A
点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且
与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救,其航
行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?
参考答案:
由题知,,
海里
,
海里
又航行速度为30海里/小时,所以航行时间为1小时。
21. (本小题满分10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.角A,B,C成等差数列.
(1)求的值;
(2)边a,b,c成等比数列,求的值.
参考答案:
(1)由已知2B
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