天津津沽实验中学高一数学文月考试题含解析

天津津沽实验中学高一数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（    ） A．       B．     C．     D． 参考答案： D 略 2. 已知直线l1: y=xsinα和直线l2: y=2x+c，则直线l1与l2  （  ） A.通过平移可以重合                    B.不可能垂直 C.可能与x轴围成等腰直角三角形        D.通过绕l1上某一点旋转可以重合 参考答案： A 3. 在中，,是它的两边长，S是的面积，若，则的形状是（     ） A．等腰三角形      B．等边三角形       C．直角三角形     D．等腰直角三角形 参考答案： D 略 4. 已知函数是定义在区间上的偶函数，当时，是减函数，如果不等式成立，则实数的取值范围（    ）． A． B．(1,2) C． D． 参考答案： A 解：偶函数在上是减函数， ∴其在上是增函数，由此可以得出，自变量的绝对值越小，函数值越大， ∴不等式可以变为， 解得． 故选． 5. 设则下列不等式中恒成立的是（  ）    A           B      C        D  参考答案： C 6. 下列两个变量不是相关关系的是（   ） A．人的身高和体重                        B．降雪量和交通事故发生率 C．匀速行驶的车辆的行驶距离和时间        D．每亩施用肥料量和粮食亩产量 参考答案： C 略 7. 一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2012个圆中共有●的个数是（　　） A．61 B．62 C．63 D．64 参考答案： A 【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】将圆分组：把每个实心圆和它前面的连续的空心圆看成一组，那么每组圆的总个数就等于2，3，4，…，构成等差数列．根据等差数列的求和公式可以算出第2012个圆在之前有多少个整组，即可得答案． 【解答】解：根据题意，将圆分组： 第一组：○●，有2个圆； 第二组：○○●，有3个圆； 第三组：○○○●，有4个圆； … 每组的最后为一个实心圆； 每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n组圆的总个数为 sn=2+3+4+…+（n+1）== 因为=1952＜2011＜=2015 则在前2012个圈中包含了61个整组，和第62组的一部分， 即有61个黑圆， 故选A 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 参考答案： B 【详解】因为， 所以，故选B. 点评：本题较简单，二倍角公式的考查 9. 已知向量a，b，且，则一定共线的三点是（    ） A．A、B、D     B．A、B、C     C．B、C、D     D．A、C、D 参考答案： A 略 10. 已知圆的圆心是，半径长是，则圆的标准方程为（  ） A.              B.             C.             D. 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数y＝sin2x＋2cosx在区间[－，a]上的值域为[－，2]，则a的取值范围是__. 参考答案： [0，] 【分析】 应用同角三角函数基本关系式，函数可以化为关于cosx的解析式，令t＝cosx，则原函数可化为y＝﹣（t﹣1）2+2，即转化为二次函数的最值问题，含参数的问题的求解． 【详解】解：由已知得y＝1﹣cos2x+2cosx＝﹣（cosx﹣1）2+2，令t＝cosx，得到：y＝﹣（t﹣1）2+2，显然当t＝cos（）时，y，当t＝1时，y＝2，又由x∈[，a]可知cosx∈[，1]，可使函数的值域为[，2]，所以有a≥0，且a，从而可得a的取值范围是：0≤a． 故答案为：[0，]． 【点睛】本题考查三角函数的值域问题，换元法与转化化归的数学思想，含参数的求解策略问题． 12. 已知函数f（x）=4ax﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过一个定点P，且点P在直线mx+ny﹣1=0上，则2m×16n的值是　　． 参考答案： 2 【考点】指数函数的单调性与特殊点． 【专题】对应思想；转化法；不等式的解法及应用． 【分析】根据指数函数过定点的性质求出P的坐标，再根据点和直线的关系，以及指数幂的运算法则即可得出结论． 【解答】解：当x﹣1=0，即x=1时，f（x）=4， ∴函数f（x）=4ax﹣1的图象恒过定点P（1，4）， 又点P在直线mx+ny﹣1=0上， ∴m+4n=1， ∴2m×16n=2m?24n=2m+4n=21=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了指数函数的图象和性质的应用问题，解题的关键是熟记点与直线的位置关系以及指数幂的运算法则，是基础题． 13. 命题“若”的否命题为                  ； 参考答案： 若，则；   14. 若点在直线上，过点的直线与曲线只有一个公共点，则的最小值为__________ 参考答案： 略 15. （4分）函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间?D，使得函数f（x）满足：①f（x）在内是单调函数；②f（x）在上的值域为，则称区间为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有   ． ①f（x）=x2（x≥0）；②f（x）=3x （x∈R）； ③f（x）=（x≥0）；④f（x）=|x|（x∈R）． 参考答案： ①③ 考点： 函数的图象． 专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用． 分析： 由题意，根据倍值区间的定义，验证四个函数是否存在倍值区间即可，先令f（x）=2x，至少有两个不同的解，且在解构成的区间上单调即可． 解答： ①f（x）=x2（x≥0）的倍值区间为，故正确； ②如图， 方程3x=2x没有解， 故f（x）=3x （x∈R）没有倍值区间； ③f（x）=（x≥0）的倍值区间为，故正确； ④方程|x|=2x仅有一个解0； 故f（x）=|x|（x∈R）没有倍值区间； 故答案为：①③． 点评： 本题考查了学生对新定义的接受能力及应用能力，属于中档题． 16. 已知点为的外心，外接圆半径为1，且满足，则的面积为          ． 参考答案： 17. 函数与（）的图象所有交点横坐标之和是       ． 参考答案： 4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 交通指数是指交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，记交通指数为T，其范围为[0,10]，分别有五个级别：，畅通；，基本畅通；，轻度拥堵；，中度拥堵；，严重拥堵.在晚高峰时段（），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示. (1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数； (2)用分层抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数； (3)从(2)中抽取的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率. 参考答案： （1）轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数分别为6，9，3；（2）从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1；（3） 【分析】 （1）根据在频率分布直方图中，小长方形的面积表示各组的频率，可以求出频率，再根据频数等于频率乘以样本容量，求出频数； （2）根据（1）求出拥堵路段的个数，求出每层之间的占有比例，然后求出每层的个数； （3）先求出从(2)中抽取的6个路段中任取2个，有多少种可能情况，然后求出至少有1个路段为轻度拥堵有多少种可能情况，根据古典概型概率公式求出. 【详解】(1)由频率分布直方图得，这20个交通路段中， 轻度拥堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(个)， 中度拥堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(个)， 严重拥堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(个). (2)由(1)知，拥堵路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样，从18个路段抽取6个，则抽取的三个级别路段的个数分别为，，，即从交通指数在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分别抽取的个数为2,3,1. (3)记抽取的2个轻度拥堵路段为，，抽取的3个中度拥堵路段为，，，抽取的1个严重拥堵路段为，则从这6个路段中抽取2个路段的所有可能情况为： ，共15种，其中至少有1个路段为轻度拥堵的情况为： ，共9种. 所以所抽取的2个路段中至少有1个路段为轻度拥堵的概率为. 【点睛】本题考查了频率直方图的应用、分层抽样、古典概型概率的求法.解决本题的关键是对频率直方图所表示的意义要了解，分层抽样的原则要知道，要能识别古典概型. 19. （10分）已知函数f（x）=ax2﹣4x+2， （1）若f（2﹣x）=f（2+x），求f（x）的解析式； （2）已知a≤1，若函数y=f（x）﹣log2在区间[1，2]内有且只有一个零点，试确定实数a的取值范围． 参考答案： 考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数零点的判定定理． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）先求出函数的对称轴，从而求出a的值，进而求出函数f（x）的表达式； （2）设r（x）=ax2﹣4x+5，s（x）=log2x（x∈[1，2]），问题转化为两个函数r（x）与s（x）的图象在区间[1，2]内有唯一交点，通过讨论a的范围，结合函数的单调性，从而求出a的范围． 解答： （1）∵f（2﹣x）=f（2+x）， ∴f（x）的对称轴为x=2， 即，即a=1， ∴f（x）=x2﹣4x+2． （2）因为 设r（x）=ax2﹣4x+5，s（x）=log2x（x∈[1，2]） 则原命题等价于两个函数r（x）与s（x）的图象在区间[1，2]内有唯一交点 当a=0时，r（x）=﹣4x+5在区间[1， 2]内为减函数，s（x）=log2x（x∈[1，2]）为增函数， 且r（1）=1＞s（1）=0，r（2）=﹣3＜s（2）=1， 所以函数r（x）与s（x）的图象在区间[1，2]内有唯一交点 当a＜0时，r（x）图象开口向下，对称轴为 所以r（x）在区间[1，2]内为减函数，s（x）=log2x（x∈[1，2]）为增函数， 则由，所以﹣1≤a＜0， 当0＜a≤1时，r（x）图象开口向上，对称轴为， 所以r（x）在区间[1，2]内为减函数，s（x）=log2x（x∈[1，2]）为增函数， 则由，所以0＜a≤1， 综上所述，实数a的取值范围为[﹣1，1]． 点评： 本题考查了求函数的解析式问题，考查了函数的单调性，考查了分类讨论思想，是一道中档题． 20. （12分）如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且 与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航 行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？ 参考答案： 由题知,, 海里 , 海里 又航行速度为30海里/小时，所以航行时间为1小时。 21. （本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列． (1)求的值； (2)边a，b，c成等比数列，求的值． 参考答案： (1)由已知2B