天津南开外国语高级中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试题含解析

天津南开外国语高级中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 （      ）          A．              B．               C．                D． 参考答案： A 2. 执行下面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是 (   ) A．120       B．720           C．1440           D．5040                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              参考答案： 【知识点】算法与程序框图L1 B 开始运行时，p=1，k=1＜6， 经过第一次循环得到，k=2，p=2，k＜6 经过第二次循环得到 k=3，p=6，k＜6 经过第三次循环得到 k=4，p=4×6=24，k＜6， 经过第四次循环得到，k=5，p=5×24=120，k＜6， 经过第五次循环得到 k=6，p=6×12=720， k=6＜6不满足判断框中的条件，执行输出， 故输出结果为720． 【思路点拨】按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第五次不满足判断框中的条件，执行输出结果． 3. 设f(n)=N),则集合{x|x=f(n)}中元素的个数是   （  ） A.1               B.2                C.3               D.无穷多个 参考答案： 答案：C 4. 若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是,则输入的的值为     A.           B.              C.              D. 参考答案： B 5. 为等差数列的前项和，，则                 （     ） A．             B．         C．          D．            参考答案： B 略 6. 数列{an}中，an＞0，a1=1，an+2=，若a20=a16，则a2+a3=(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 考点：数列递推式． 专题：点列、递归数列与数学归纳法． 分析：由数列递推式求出a3，结合a20=a16求得a16，然后由an+2=，可得a16=a2，则答案可求． 解答： 解：由a1=1，an+2=，得． ， 即． ∵an＞0，∴． 则由an+2=及求得． ∴a2+a3=． 故选：B． 点评：本题考查了数列递推式，解答此题的关键是对数列规律性的发现，是中档题． 7. 若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是(    ) A .             B．       C．     D． 参考答案： C 对应的点的坐标是,故选C． 8. .已知函数在区间(－∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是(   ) A.     B.      C.        D. 参考答案： A 9. 若函数，又，且的最小值为，则正数的值是（　　） A．                B．               C．               D． 参考答案： B 10. 记数列{an}的前n项和为Sn.已知，，则（   ） A．        B．       C.         D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且, 则该三棱锥的外接球的体积为            ．  参考答案：   －1  12. 设数列{an}的前n项和为Sn，已知数列{Sn}是首项和公比都是3的等比数列，则{an}的通项公式an=　　． 参考答案： 【考点】等比数列的前n项和． 【专题】计算题． 【分析】由等比数列的通项公式可得Sn =3n，再由a1=s1=3，n≥2时，an=Sn ﹣sn﹣1，求出{an}的通项公式． 【解答】解：∵数列{Sn}是首项和公比都是3的等比数列，∴Sn =3n． 故a1=s1=3，n≥2时，an=Sn ﹣sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2?3n﹣1， 故an=． 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，数列的前n项的和Sn与第n项an的关系，属于中档题． 13. 一个三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的体积是       ．   参考答案：      14. 设a＞0，b＞0，若a+b=4，则的最小值为　　． 参考答案： 【考点】基本不等式． 【分析】由已知得=，由此利用均值定理能求出的最小值． 【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b=4， ∴==++≥+2=． 当且仅当时取等号， ∴的最小值为． 故答案为：． 15. 已知函数，若，且，则的取值范围是             . 参考答案： (-1,1) 16. 设，若，设a=        参考答案： 1 17. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为    .     参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0． （1）分别写出曲线C1与曲线C2的普通方程； （2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求线段AB的长． 参考答案： 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），利用平方关系消去参数θ可得曲线C1的普通方程．曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0，利用互化公式可得直角坐标方程． （2）直线方程与椭圆联立可得7x2+8x﹣8=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可得出． 【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），消去参数θ可得：曲线． 曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0，可得直角坐标方程：曲线C2：x﹣y+1=0． （2）联立，得7x2+8x﹣8=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，， 于是． 故线段AB的长为． 19. （本小题满分16分）已知数列有，对任意的，有. （1）求的值；    （2）判断数列是否为等差数列； （3）对于数列，假如常数满足对任意的*都有成立，则称为数列的“上界”.令，求证：3是数列的“上界”. 参考答案： （1），即；  ………………………………………2分    （2）当n=1时，；               ………………………………………3分 20. 设 （1）求函数的单调区间； （2）设，且是曲线上任意两点，若对任意的，直线的斜率大于常数，求实数的取值范围 参考答案： 解：（1）的定义域R， 当时，在上恒成立，即的单调递增区间为R 当时，令，解得             令，解得   所以，的单调递增区间是，单调递减区间是 综上所述，当时，的单调递增区间为R 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是   略 21. 已知函数f（x）=x2﹣x|x﹣a|﹣3a，a＞0． （1）若a=1，求f（x）的单调区间； （2）求函数在x∈[0，3]上的最值； （3）当a∈（0，3）时，若函数f（x）恰有两个不同的零点x1，x2，求的取值范围． 参考答案： 【考点】二次函数的性质． 【分析】（1）根据二次函数以及一次函数的性质求出函数的单调区间即可； （2）通过讨论a的范围求出函数的最小值和最大值即可； （3）求出f（x）的根，求的表达式，得到其范围即可． 【解答】解：（1） x≤1时，函数f（x）的对称轴是x=，开口向上， 故f（x）在上单调递减，在上单调递增． （2）， 当0＜a≤3时，f（x）=2x2﹣ax﹣3a的对称轴是x=＜1， ∴f（x）在[0，）递减，在（，3]递增， 而f（0）=﹣3a＜f（3）=0， ∴f（x）的最小值，最大值f（3）； 当3＜a＜6时，对称轴x=，1＜＜3， 故f（x）在[0，）递减，在（，3]递增， ∴f（x）的最小，最大值f（3）， 当6≤a＜12时， 最小值，最大值f（0） 当a≥12时，最小值f（3），最大值f（0） （3） 当0＜a＜3时，令f（x）=0，可得， （因为f（a）=a2﹣3a＜0，所以x3＞a舍去） 所以， 在0＜a＜3上是减函数，所以． 22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合．设点为坐标原点, 直线与曲线C的极坐标方程为． （1）求直线与曲线的普通方程； （2）设直线与曲线相交于Ａ，Ｂ两点，求证：． 参考答案： （I）直线:        曲线：,         ………………５分 （II）设,由消去得               …………………７分 ∴y1y2=（x1-4）（x2-4）=x1x2-4（x1+x2）+16 ∴ x1x2+ y1y2= 2x1x2-4（x1+x2）+16=0．　…………………10分