天津第五十一中学高二数学理月考试题含解析

天津第五十一中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形， 四边形ABEF是矩形，且AF＝，G是EF的中点， 则GB与平面AGC所成角的正弦值为（    ）                                                      A. B.         C.     D. 参考答案： D 略 2. 在正方体ABCD-A1B1C1D中，两条面对角线A1D与AC所成角的大小等于  （   ） A．450　　　            B．600　　          C．900              D．1200 参考答案： B 略 3. 若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是         （   ）    A．         B．       C．       D． 参考答案： B 4. 抛物线的焦点到准线的距离是                             （     ） A．            B．              C．             D． 参考答案： C 5. 由①安梦怡是高二（1）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（    ） A. ②①③ B. ②③① C. ①②③ D. ③①② 参考答案： D 【分析】 根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，即可求解. 【详解】由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是： 大前提：③高二（1）班的学生都是独生子女； 小前提：①安梦怡是高二（1）班的学生； 结论：②安梦怡是独生子女，故选D. 【点睛】本题主要考查了演绎推理中的三段论推理，其中解答中正确理解三段论推理的形式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 6. 函数是 （A）周期为的奇函数                （B）周期为的偶函数 （C）周期为的奇函数               （D）周期为的偶函数 参考答案： A 7. 圆的半径为(     ) A. B. C. D. 参考答案： B 8. 抛物线x2=2y的准线方程为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程． 【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=2y，焦点在y轴上； 所以：2p=2，即p=1， 所以： =， ∴准线方程 y=﹣=﹣， 故选D． 【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置． 9. 用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是(　　) A．2　　　 B．3          C．4  D．5 参考答案： C 10. 设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为(     ) A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】由已知条件推导出PF2⊥x轴，PF2=，PF2=，从而得到=，由此能求出椭圆的离心率． 【解答】解：∵线段PF1的中点在y轴上 设P的横坐标为x，F1（﹣c，0）， ∴﹣c+x=0，∴x=c； ∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴， ∵∠PF1F2=30°， ∴PF2=， ∵PF1+PF2=2a，∴PF2=， tan∠PF1F2===， ∴=，∴e==． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的灵活运用． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若双曲线与椭圆有相同的焦点,且经过点(0,3), 则双曲线的标准方程为                 ． 参考答案： 12. 已知平面α∩平面β=l，a?β，a∥α，那么直线a与直线l的位置关系是　　． 参考答案： 平行 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】根据直线和平面平行的判定定理和性质定理进行判断证明即可． 【解答】解：a与b的位置关系：平行． 设过a的平面γ有γ∩α=b， ∵a∥α，γ∩α=b， ∴a∥b， ∵a?β， ∴b∥β， ∵α∩β=l， ∴b∥l， ∵a∥b， ∴a∥l 【点评】本题考查线面平行的判定定理和性质定理的运用，两直线位置关系的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 13. 定义在上的可导函数，其导函数为满足恒成立，则不等式的解集为          ． 参考答案： (2,+∞) 14. 在直角坐标系中，直线的倾斜角是       .  参考答案： 略 15. 以为圆心，并且与直线相切的圆的方程为__________． 参考答案： 因为点到直线的距离， 所以由题意可知， 故所求圆的方程为：． 16. 定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，2）时，；②?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，x3，…xn，…，若，则x1+x2+…+x2n=　　． 参考答案： 6×（2n﹣1） 【考点】数列与函数的综合；函数零点的判定定理． 【分析】利用已知当x∈[1，2）时，；?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．可得当x∈[2，4）时的解析式，同理，当x∈[4，8）时，f（x）的解析式，分别作出y=f（x），y=a，则F（x）=f（x）﹣a在区间（2，3）和（3，4）上各有一个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×3，依此类推：x3+x4=2×6，…，x2013+x2014=2×3×2n﹣1．利用等比数列的前n项和公式即可得出． 【解答】解：∵①当x∈[1，2）时，；②?x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）． 当x∈[2，4）时，∈[1，2）， f（x）=2f（x）=2（﹣|﹣|）=1﹣|x﹣3|，x∈[4，8）时，∈[2，4）， f（x）=2f（x）=2（1﹣|x﹣3|）=2﹣|x﹣6|， 同理，则，F（x）=f（x）﹣a在区间（2，3）和（3，4）上各有1个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×3=6， 依此类推：x3+x4=2×6=12，x5+x6=2×12=24…，x2n﹣1+x2n=2×3×2n﹣1． ∴当时，x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=6×（1+2+22+…+2n﹣1）=6×=6×（2n﹣1）， 故答案为：6×（2n﹣1）． 【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能，属于难题． 17. 给出下列命题; ①设表示不超过的最大整数，则 ； ②定义在上的函数，函数与的图象关于轴对称；    ③函数的对称中心为；    ④已知函数在处有极值，则或；    ⑤定义：若任意，总有，就称集合为的“闭集”，已知 且为的“闭集”，则这样的集合共有7个。   其中正确的命题序号是____________ 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (12分)若不等式的解集是， (1) 求的值； (2) 求不等式的解集. 参考答案： 19. 学校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为，且每题正确完成与否互不影响． （1）求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望； （2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？ 参考答案： 【考点】概率的应用；离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（1）确定考生甲正确完成实验操作的题目个数的取值，求出相应的概率，可得考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望； （2）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η，求出相应的期望与方差，比较，即可得出结论． 【解答】解：（1）设考生甲正确完成实验操作的题目个数分别为ξ，则ξ可能取值为1，2，3， ∴，，…（3分） ∴考生甲正确完成题目数的分布列为 ξ 1 2 3 P ∴… （2）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η． ∵η～B（3，），其分布列为： ∴…（6分） ∵…（8分） ∴Dξ＜Dη ∵，…（10分） ∴P（ξ≥2）＞P（η≥2） ①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定； ②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大， 因此，可以判断甲的实验操作能力强．…（12分） 【点评】本题考查随机变量的分布列和数学期望，考查概率知识 的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 20. 已知a1=3，an=2an﹣1+（t+1）?2n+3m+t（t，m∈R，n≥2，n∈N*） （1）t=0，m=0时，求证：是等差数列； （2）t=﹣1，m=是等比数列； （3）t=0，m=1时，求数列{an}的通项公式和前n项和． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）两边同除以2n，由等差数列的定义，即可得证； （2）两边同加上3，由等比数列的定义，即可得证； （3）两边同除以2n，可得=+1+，即为==1+，再由数列恒等式，可得数列{an}的通项公式；再由错位相减法和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和． 【解答】解：（1）证明：t=0，m=0时，an=2an﹣1+2n， 两边同除以2n，可得=+1， 即有是首项为，公差为1的等差数列； （2）证明：t=﹣1，m=时，an=2an﹣1+3， 两边同加上3，可得an+3=2（an﹣1+3）， 即有数列{an+3}为首项为6，公比为2的等比数列； （3）t=0，m=1时，an=2an﹣1+2n+3， 两边同除以2n，可得=+1+， 即为==1+， 即有得=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣） =+1++1++…+1+， =n﹣1+=n+2﹣， 则an=（n+2）?2n﹣3， 前n项和Sn=3?2+4?22+5?23+…+（n+2）?2n﹣3n， 可令Rn=3?2+4?22+5?23+…+（n+2）?2n， 2Rn=3?22+4?23+5?24+…+（n+2）?2n+1， 两式相减可得，﹣Rn=3?2+22+23+…+2n﹣（n+2）?2n+1 =4+﹣（n+2）?2n+1 =2﹣（n+1）?2n+1， 则Rn═（n+1）?2n+1﹣2， Sn=（n+1）?2n+1﹣2﹣3n． 21. 已知四边形是菱形，，四边形是矩形，平面平面，分别是的中点. (Ⅰ)求证：平面平面； (Ⅱ)若平面与平面所成的角为，求直线与平面所成的角的正弦值. 参考答案： 解: (Ⅰ)分别是的中点 所以------------①  连接与交与 ,因为四边形是菱形,所以是的中点 连,是三角形的中位线 -------