广东省阳江市岗美第二中学高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省阳江市岗美第二中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知为全集，，则（   ） （A）       （B） （C）          （D） 参考答案： C 略 2. 某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，且3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法种数为（    ） A.60                 B.54                 C.48               D.42 参考答案： D 3. 已知函数，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（    ） A. [4,+∞) B. C. [3,+∞) D. 参考答案： B 【分析】 先判断出的单调性，然后将不等式转化为，根据单调性，得到对任意恒成立，根据一次函数的单调性，得到最大值小于等于，从而得到关于的不等式，解得的范围. 【详解】函数， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以不等式转化为 因为在上单调递增， 所以对任意恒成立， 即 而单调递增， 所以得到 解得 故选：B. 【点睛】本题考查根据函数的单调性解不等式，不等式恒成立问题，根据函数单调性求最值，属于中档题. 4. 若，则“”是“”的 （A）充分不必要条件           （B）必要不充分条件        （C）充要条件                 （D）既不充分也不必要条件 参考答案： C 5. 一个三棱锥的侧棱长都相等，底面是正三角形，其正（主）视图如右图所示.该三棱锥侧面积和体积分别是 A.   B.  C.   D. 参考答案： A 略 6. 已知，且，，则（  ） A．ln2          B．ln3        C．        D． 参考答案： A 7. 已知两条不重合的直线和两个不重合的平面有下列命题： ①若，则； ②若则 ③若是两条异面直线，则 ④若则. 其中正确命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： C 略 8. “”是“函数为奇函数”的       （      ） A.充分非必要条件         B. 必要非充分条件 C.充要条件               D. 非充分非必要条件 参考答案： A 略 9. 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、收视人次如下表所示： 连续剧 连续剧播放时长/min 广告播放时长/min 收视人次/万人 甲 70 5 60 乙 60 5 25 电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min，广告的总播放时长不少于30min，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（    ） A．6,3 B．5,2 C．4,5 D．2,7 参考答案： A 依题意得，目标函数为， 画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值． 10. 在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a=，b+c=3，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D．2 参考答案： B 【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理． 【分析】由余弦定理可得：a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，代入已知从而解得：bc的值，由三角形面积公式S△ABC=bcsinA即可求值． 【解答】解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA， ∴代入已知有：3=9﹣3bc，从而解得：bc=2， ∴S△ABC=bcsinA==， 故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知i为虚数单位，则 =________ 参考答案： 2  略 12. 已知是奇函数, 则的值是           . 参考答案： 13. 为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为_______． 参考答案： 48 【分析】 先求出频率分布直方图左边三组的频率和，再求全团共抽取的人数. 【详解】由题得频率分布直方图左边三组的频率和为 所以全团抽取的人数为：＝48. 故答案为：48 【点睛】本题主要考查频率分布直方图频率和频数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 14. 已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有实根之和为　　． 参考答案： ﹣12 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用函数的周期性和对称性，结合图象可得方程的根． 【解答】解：由f（x+2）=f（x），知f（x）是周期为2的周期函数． 分别作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象，如图所示． 这两个函数的图象关于点P（﹣2，2）中心对称，故它们的交点也关于点P（﹣2，2）中心对称， 从而方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有6个实根也是两两成对地关于点P（﹣2，2）中心对称， 则方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有实根之和为3×（﹣4）=﹣12． 故答案为：﹣12． 【点评】本题主要考查根的存在性及根的个数判断，函数的周期性以及对称性的综合应用，综合性比较强． 15. 复数的模等于______. 参考答案： 略 16.   已知，则的值为__________． 参考答案： 17. 抛物线y2=12x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，则△FPM的外接圆的方程为　　． 参考答案： 考点： 抛物线的简单性质． 专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线，设M（﹣3，m），则P（9，m），求出△PMF的边长，写出有关点的坐标，得到外心Q的坐标，△FPM的外接圆的半径，从而求出其方程． 解答： 解：据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM， ∴PM⊥抛物线的准线，F（3，0） 设M（﹣3，m），则P（9，m），等边三角形边长为12，如图． 在直角三角形APF中，PF=12，解得外心Q的坐标为（3，±4）． 则△FPM的外接圆的半径为4， ∴则△FPM的外接圆的方程为． 故答案为：． 点评： 本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知定义域为的函数是奇函数。 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围； 参考答案： 解：（Ⅰ）是定义域为R的奇函数，，             又，即，解得  （Ⅱ）因为  是在R上的单调递减函数      而      所以 ，即   而      故  略 19. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 设函数为实数). (1)若为偶函数，求实数的值；  (2)设，求函数的最小值. 参考答案： (1)由已知； (2)， 当时，，由得，从而， 故在时单调递增，的最小值为； 当时，，故当时，单调递增，当时，单调递减，则的最小值为； 由，知的最小值为. 20. （12分）函数的图象上有两点A（0，1）和B（1，0）    （Ⅰ）在区间（0，1）内，求实数a使得函数的图象在x=a处的切线平行于直线 AB；    （Ⅱ）设m>0，记M（m，），求证在区间（0，m）内至少有一实数b，使得函数          图象在x=b处的切线平行于直线AM. 参考答案： 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性。B11 B12 【答案解析】（I）；（II）见解析。 解析：（Ⅰ）解：直线AB斜率kAB=－1  令 解得 …………………………………………………………………………4 （Ⅱ）证明：直线AM斜率 考察关于b的方程 即3b2－2b－m2+m=0  在区间（0，m）内的根的情况  令g(b)= 3b2－2b－m2+m，则此二次函数图象的对称轴为 而 g(0)=－m2+m=m(1－m) g(m)=2m2－m－m(2m－1)  ………………………………………………………8 ∴（1）当内有一实根 （2）当内有一实根 （3）当内有一实根 综上，方程g(b)=0在区间（0，m）内至少有一实根，故在区间（0，m）内至少有一实数b，使得函数图象在x=b处的切线平行于直AM …………………………………………………12 【思路点拨】（Ⅰ）求出导数，求出切线的斜率f′（a），求得直线AB的斜率，令f′（a）=﹣1（0＜a＜1）解方程即可得到a；（Ⅱ）求出直线AM斜率，直求出线在x=b处的切线斜率为f′（b），由切线平行于AM，可令f′（b）=m2﹣m﹣1，考察3b2﹣2b﹣m2+m=0在区间（0，m）内的根的情况，令g（b）=3b2﹣2b﹣m2+m，求得g（0），g（m），g（），对m讨论：当0＜m＜时，当≤m＜1时，当m≥1时，由零点存在定理，即可得证． 21. 在△中，角的对边分别为，已知，且，，求: （Ⅰ）（II）△的面积.               参考答案： 22. 设的三个内角所对的边，且满足.    （1）求角B的大小；    （2）若，试求的最小值. 参考答案：