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广东省阳江市岗美第二中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知为全集,,则( )
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
C
略
2. 某展室有9个展台,现有3件展品需要展出,要求每件展品独自占用1个展台,3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,且3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台,则不同的展出方法种数为( )
A.60 B.54 C.48 D.42
参考答案:
D
3. 已知函数,若对任意,都有,则实数m的取值范围是( )
A. [4,+∞) B.
C. [3,+∞) D.
参考答案:
B
【分析】
先判断出的单调性,然后将不等式转化为,根据单调性,得到对任意恒成立,根据一次函数的单调性,得到最大值小于等于,从而得到关于的不等式,解得的范围.
【详解】函数,
当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递增,
所以在上单调递增,
所以不等式转化为
因为在上单调递增,
所以对任意恒成立,
即
而单调递增,
所以得到
解得
故选:B.
【点睛】本题考查根据函数的单调性解不等式,不等式恒成立问题,根据函数单调性求最值,属于中档题.
4. 若,则“”是“”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
参考答案:
C
5. 一个三棱锥的侧棱长都相等,底面是正三角形,其正(主)视图如右图所示.该三棱锥侧面积和体积分别是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 已知,且,,则( )
A.ln2 B.ln3 C. D.
参考答案:
A
7. 已知两条不重合的直线和两个不重合的平面有下列命题:
①若,则; ②若则
③若是两条异面直线,则
④若则. 其中正确命题的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
略
8. “”是“函数为奇函数”的 ( )
A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C.充要条件 D. 非充分非必要条件
参考答案:
A
略
9. 电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、收视人次如下表所示:
连续剧
连续剧播放时长/min
广告播放时长/min
收视人次/万人
甲
70
5
60
乙
60
5
25
电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min,广告的总播放时长不少于30min,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍,分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数,要使总收视人次最多,则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为( )
A.6,3 B.5,2 C.4,5 D.2,7
参考答案:
A
依题意得,目标函数为,
画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值.
10. 在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=60°,a=,b+c=3,则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.2
参考答案:
B
【考点】HR:余弦定理;HP:正弦定理.
【分析】由余弦定理可得:a2=(b+c)2﹣2bc﹣2bccosA,代入已知从而解得:bc的值,由三角形面积公式S△ABC=bcsinA即可求值.
【解答】解:由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣2bc﹣2bccosA,
∴代入已知有:3=9﹣3bc,从而解得:bc=2,
∴S△ABC=bcsinA==,
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知i为虚数单位,则 =________
参考答案:
2
略
12. 已知是奇函数, 则的值是 .
参考答案:
13. 为了解某团战士的体重情况,采用随机抽样的方法.将样本体重数据整理后,画出了如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三个小组频率之比为1:2:3,第二小组频数为12,则全团共抽取人数为_______.
参考答案:
48
【分析】
先求出频率分布直方图左边三组的频率和,再求全团共抽取的人数.
【详解】由题得频率分布直方图左边三组的频率和为
所以全团抽取的人数为:=48.
故答案为:48
【点睛】本题主要考查频率分布直方图频率和频数的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14. 已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=,且f(x+2)=f(x),g(x)=,则方程f(x)=g(x)在区间[﹣8,3]上的所有实根之和为 .
参考答案:
﹣12
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用函数的周期性和对称性,结合图象可得方程的根.
【解答】解:由f(x+2)=f(x),知f(x)是周期为2的周期函数.
分别作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象,如图所示.
这两个函数的图象关于点P(﹣2,2)中心对称,故它们的交点也关于点P(﹣2,2)中心对称,
从而方程f(x)=g(x)在区间[﹣8,3]上的所有6个实根也是两两成对地关于点P(﹣2,2)中心对称,
则方程f(x)=g(x)在区间[﹣8,3]上的所有实根之和为3×(﹣4)=﹣12.
故答案为:﹣12.
【点评】本题主要考查根的存在性及根的个数判断,函数的周期性以及对称性的综合应用,综合性比较强.
15. 复数的模等于______.
参考答案:
略
16.
已知,则的值为__________.
参考答案:
17. 抛物线y2=12x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,则△FPM的外接圆的方程为 .
参考答案:
考点: 抛物线的简单性质.
专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: 利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线,设M(﹣3,m),则P(9,m),求出△PMF的边长,写出有关点的坐标,得到外心Q的坐标,△FPM的外接圆的半径,从而求出其方程.
解答: 解:据题意知,△PMF为等边三角形,PF=PM,
∴PM⊥抛物线的准线,F(3,0)
设M(﹣3,m),则P(9,m),等边三角形边长为12,如图.
在直角三角形APF中,PF=12,解得外心Q的坐标为(3,±4). 则△FPM的外接圆的半径为4,
∴则△FPM的外接圆的方程为.
故答案为:.
点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质,直线与抛物线的综合问题.考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知定义域为的函数是奇函数。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围;
参考答案:
解:(Ⅰ)是定义域为R的奇函数,,
又,即,解得
(Ⅱ)因为 是在R上的单调递减函数
而
所以 ,即 而
故
略
19. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
设函数为实数).
(1)若为偶函数,求实数的值; (2)设,求函数的最小值.
参考答案:
(1)由已知;
(2),
当时,,由得,从而,
故在时单调递增,的最小值为;
当时,,故当时,单调递增,当时,单调递减,则的最小值为;
由,知的最小值为.
20. (12分)函数的图象上有两点A(0,1)和B(1,0)
(Ⅰ)在区间(0,1)内,求实数a使得函数的图象在x=a处的切线平行于直线 AB;
(Ⅱ)设m>0,记M(m,),求证在区间(0,m)内至少有一实数b,使得函数
图象在x=b处的切线平行于直线AM.
参考答案:
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性。B11 B12
【答案解析】(I);(II)见解析。
解析:(Ⅰ)解:直线AB斜率kAB=-1
令
解得 …………………………………………………………………………4
(Ⅱ)证明:直线AM斜率
考察关于b的方程
即3b2-2b-m2+m=0
在区间(0,m)内的根的情况
令g(b)= 3b2-2b-m2+m,则此二次函数图象的对称轴为
而
g(0)=-m2+m=m(1-m)
g(m)=2m2-m-m(2m-1) ………………………………………………………8
∴(1)当内有一实根
(2)当内有一实根
(3)当内有一实根
综上,方程g(b)=0在区间(0,m)内至少有一实根,故在区间(0,m)内至少有一实数b,使得函数图象在x=b处的切线平行于直AM …………………………………………………12
【思路点拨】(Ⅰ)求出导数,求出切线的斜率f′(a),求得直线AB的斜率,令f′(a)=﹣1(0<a<1)解方程即可得到a;(Ⅱ)求出直线AM斜率,直求出线在x=b处的切线斜率为f′(b),由切线平行于AM,可令f′(b)=m2﹣m﹣1,考察3b2﹣2b﹣m2+m=0在区间(0,m)内的根的情况,令g(b)=3b2﹣2b﹣m2+m,求得g(0),g(m),g(),对m讨论:当0<m<时,当≤m<1时,当m≥1时,由零点存在定理,即可得证.
21. 在△中,角的对边分别为,已知,且,,求: (Ⅰ)(II)△的面积.
参考答案:
22. 设的三个内角所对的边,且满足.
(1)求角B的大小;
(2)若,试求的最小值.
参考答案:
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