人教版八年级数学上册培优辅导笔记奥数升级(人教版)

第 1 2 讲 与相交有关概念及平行线的判定考 点方 法破译1 .了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2 .掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3 .掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经 典考 题赏析【例 1】如图，三条直线A B、CD、EF相交于点0,一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？Z2【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】0 1.尸为直线/外一点，4、3、C是直线/上三点，且 左=4 c i,PB=5cm,P C=6cm,则点尸到直线/的距离为（)OBA.4cm B.5cm C.不大于 4c，D.不小于 6c，”0 2 如图，一辆汽车在直线形的公路A S 上由A 向 3 行驶，M、N 为位于公路两侧的村庄；设汽车行驶到路AS上点尸的位置时距离村庄M最近.行驶到A B上点Q的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P、。的位置.求NAOC的度数；试说明O D与A B的位置关系.M,0 3.如图，已知A5_LBC于 B,D B L E B T B,并且N C B E ：Z A B D=1 ：2,请作出NC5E的对顶角，并求其度数.当汽车从A出发向B行驶的过程中，在 的路上距离M村越来越近.在的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄越来越远.【例 4】如图，直线A3、CZ）相交于点。，O E L C D,O F V A B,Z D O F=65,求N 5 0E 和NAOC的度数.F【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：NAOP=90 9 O FJLAB.A-c【例 5】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的,并说出它们的名称：夕N 1 和N2：-B N1 和 N3：F N1 和 N6：【变式题组】01.如图，若 E0JLA5 于 O,直线 CO 过点 O,Z E O D：N E O B=1:3,求NAOC、Z A O E的度数.N2 和 N6：02.如图，O 为直线A B上一点，N5OC=3N4OC,OC平分NAOO.DOCN2 和 N4：N3 和 N5：N3 和N4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是:B首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线,其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.角，有“”即有内错角.【解法指导】由可推得A O B C；根据内错角相等，两0 1.【变式题组】如图，平行直线A 3、C 与相交直线E凡GH相交，图中的同直线平行.由N8CO+N40c=1 8 0 ,可 推 得AD/BCx根据同旁0 2.0 3.旁 内 角 共 有（）4.4 对 B.8 对 C.1 2 对D.1 6 对A-BD内角互补，两直线平行.由NACQ=NA4C可推得A 8 O C；根据内错角相等，两直线平行.【变式题组】如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.F0 1.如图,推理填空.(1)V Z A =Z：.AC/ED(_ (已知)如图，A.B.C.D.按各组角的位置判断错误的是（N1和N2是同旁内角N3和N4是内错角N5和N6是同旁内角N5和N7是同旁内角)C：N C=N(已知)：.AC/ED()：Z A =Z(已知)J.AB/DF(0 2.如图，AD 平分N A 4 C,EFDE与AB的位置关系.)平分N O E C,且 N 1 =N 2,试说明【例6】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由 NCBD=NADB；N B C D+N A O C=1 8 0(3)Z A C D=Z B A C【解法指导】图中有/即 即 有 同A(O解:)；AO是/A4c的平分线（已知）：.ZBAC=2Z1（角平分线定义）又平分N O E C （已知）又N 1 =N 2 (已知)：.AB/DE(旁内BC)此时的图形为图.0 3.如图，已知 AE 平分NC4B,CE 平分NACO.NC4E+NACE=90,求证：AB/CD.b 00 4.如图，已知N 43C=N A C 5,BE 平分NA5C,/CD 平分NAC8,NEBF=NEFB,求证：CD/C-DEF.证明：假设图中的12个角中的每一个角都不小于31则 12X31=372 360这与一周角等于3 60 矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31【变式题组】0 1.平面内有1 8条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11.0 2.在同一平面内有2010条直线“1,敢,，。2010,如果。2。3,。4。5.那 么 与“2010的位置关系是_ _ _ _ _ _ _.0 3.已 知n(n 2)个 点 修，P2,P3尸.在同一平面内没有任何三点在同一直线上,设S“表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直-妞66攵蜡 曰X一 c 1 c Q c a c in.mil c_c【例7】如图，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至 少 有 一 个角小于 31。.；/h k/4图 图【解法指导】如图，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，p 尔口UTK W，业於：O2，口3-0 4-V,*05-火!j 0一_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.演练巩固反馈提高0 1.如图，NEAC=NADB=90.下列说法正确的是()A.a的余角只有N 8 B.a的邻补角是NZMCC.N AC F是a的余角 D.a与N A C F互补 D C /第4题图第1题图 F第2题图 弟4赵囹0 2.如图，已知直线AB.CD被 直 线E F所截，则N E M 8的同位角为()A.ZAMF B.NBMF C.NENC D.NEND0 3.下列语句中正确的是()A.在同一平面内，一条直线只有一条垂线B.过直线上一点的直线只有一条C.过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D.垂线段就是点到直线的距离0 4.如图，N B A C=9 0 ,A O J L B C 于。，则下列结论中，正确的个数有（）4 B J L A C AD与 AC互相垂直点C到 的 垂 线 段 是 线 段 A3线段A B的长度是点B到A C的距离垂线段B A是 点B到A C的 距 离 4。B DA.0 B.2 C.4 D.61 1.如图，已知 B E 平分N A B。，D E 平分NC05,且NE=NA5E+NE0C.试说明A 5 a)?1 2.如图，已 知B E平分N A 8 C,C F平分NBQ）,N 1 =N 2,那么直线48与。的位置关系如何？0 5.点 A、8、C是直线/上的三点，点尸是直线/外一点，且 B 4=4 c/,P B=5cm,P C=6 c m,则点尸到直线/的距离是（）A.4cm B.5cm C.小于 4 c,D.不大于 4 c i0 6.将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则NAO5+NOOC1 3.第 9题图1 4.如图，推理填空:_ _ _ _ _：.AC/ED(2)V Z 2=_ _ _ _ _ _：.AC/ED(3)V Z A+_ _ _ _ _J.AB/FD.（已知）（已知）=1 8 0 （已知）0 7.如图，矩形 A 5 C D 沿 E F 对折，且N O E F=7 2 ,贝!J N A E G=.0 8.在同一平面内，若直线防。2,。3“4,则 G o.（G与。1 0不重合）0 9.如图所示，直 线 a、。被直线c所截，现给出下列四个条件：N 1 =N 5,N 1 =N7,N 2+N 3=1 8 0 ,N4=N7,其中能判断a b 的条件的序号是.1 0.在同一平面内两条直线的位置关系有如图，请你填上一个适当的条件培优升级奥赛检测0 1.平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）A.1,3 B.0,1,3 C.0,2,3 D.0,1,2,30 2.平面上有10条直线，其中4 条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面 分 成（）部分.A.60 B.55 C.50 D.450 3.平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6 个点之外，这些直线最多还有（）个交点.A.35 B.40 C.45 D.550 4.如 图，图 上 有 6 个 点，作两两连线时，圆内最多有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 交点.0 5.如图是某施工队一张破损的图纸，已 知 a、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.0 6.平 面 上 三 条 直 线 相 互 间 的 交 点 的 个 数 是（）A.3 B.1 或 3 C.1 或 2 或 3D.不一定是1,2,30 7.请你在平面上画出6 条 直 线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？0 8.平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？【解】：AB/CD BC/AD.NA+NB=180。N B+N C=180。（两条直线平行，同旁内角互补），N A=N C ：NA=38；.NC=38【变式题组】0 9.如 图，在 一 个 正 方 体 的2个面上画了两条对角线4 5、A C,那 么 两 条 对 角 线 的 夹 角 等 于（）A.60 B.75 C.90 D.1351 0.在 同 一 平 面 内 有9条直线如何安排才能满足下面的两个 条 件？任意两条直线都有交点；总 共 有29个交点.第13讲 平行线的性质及其应用考 点 方 法 破译1.掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；2.初步了解命题，命题的构成，真假命题、定 理；3.灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关 系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经 典 考 题 赏析【例1】如图，四 边 形A5CQ中，AB/CD,C的度数.【解 法 指 导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；BC/AD,ZA=38,求 ND0 1.如图，已 知AOB C,点E在8 0的延长线上，若N4OE=155。，则NDBC的 度 数 为（）,J0 2.（安 徽）如图，直线/l2,Z l=55,Z 2=6 5 ,则N3 为（）A.50 B.55 C.60 D.6503.施 图，已知尸C/15OE,Z a：ZD：NB=2:3:4,试 求N a、NO、NB的度数.【例2】如 图，已知 A5CDEF,GCLCF,ZB=60,NEFC=45。，两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清 截 线，识别角的关系式关键.求N5CG的度数.【解 法 指 导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和 d_ B角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角 7,CT）E的位置.【解】：AB/CD/EF:.N B=N B C D/尸=NFC。（两条直线平行，内错角相等）又 T N 5 =60。Z E F C=45 A Z BCD=60 ZFCD=45又,.,GC_LCT.,.NGCT=90（垂直定理）ZGCZ=90o-4 5o=45 N证明：N1=N2,N 2=N 3（对顶角相等）所以N1=N 3，BEC（同位角相等两直线平行）NOBC+NC=180（两直线平行，同旁内角互补）V Z C=Z D ：.Z D B C+Z D=1 8 0 二。尸 AC（同旁内角，互补两直线平行）=（两直线平行，内错角相等）BCG=60-4 5=15【变式题组】0 1.如图，已 知AF/BC,且 A F 平分NEAB,N 5=48,则N C 的的度数=（第 3 题图）02.如图，已知N l+N2=180,N 3=N 5.求证:02.如图，已知NABC+NAC5=120,B O、CO 分别NA5C、ZACB,OE 过点。与 BC平行，贝!N