2022年高考数学总复习第59讲：直线与椭圆

2022年高考数学总复习第59讲：直线与椭圆考 点1直线与椭圆的位置关系琢通法研究直线与椭圆位置关系的方法直线与椭圆位置关系的判定方法，直线与椭圆方程联立，消去义或无)后得到关于M或 y)的一元二次方程时，设其判别式为,0 0直线与椭圆相交.=0 0直线与椭圆相切.vo o 直线与椭圆相离.歌 典 即1.若直线丁=履+1与椭圆曰+二 总有公共点，则m的取值范围是()A.m 1 B.m0C.0 m 5且机D,机2 1且D 直线y=h+l恒过定点(0,1),r2 v2 要使直线y=A x+l与椭圆彳+蔡=1总有公共点，02 I2只需5+而 1 即加2 1 又 加工5,故机的取值范围为加2 1且加工5,故选D.2.已知直线/：y=2x+m,椭 圆C：，+=1.试问当加取何值时，直线/与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.y=2x+m,解 将直线/的方程与椭圆C的方程联立，得方程组(X2 y2 E=l，第1页 共1 9页将代入，整理得9/+8 /+2加24=0.方程根的判别式 =(8 m)2一4X9X(2/-4)=-8渥+144.(1)当(),即一3啦机3啦 时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线/与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当=(),即，=3 6时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线/与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线/与椭 圆。有且只有一个公共点.(3)当AV。，即?一3/或 机36时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线/与椭圆C没有公共点.力点评(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数；(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.考 点2弦长及中点弦问题考向1中点弦问题赛 通法处理中点弦问题常用的求解方法点差法根与系数的关系即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解即设出弦的两端点坐标后，代 入圆锥曲线方程,并将两式相减，式中含有看+x,y+y,二三个未知量，这样就直接联系了中 点 和 直 线 的 斜 率，借用中点公式即可求得斜率卿典例 过椭圆版+1=1内一点P(3,1),且被点P平分的弦所在直线的方程是()A.4x+3y13=0 B.3x+4y13=0C.4x3y+5=0 D.3九 一 外+5=0(2)一题多解(2019 惠州模拟)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2),直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1,则这个椭圆的方程为第2页 共1 9页(1)B (2)+舌=1 (1)设所求直线与椭圆交于A(x i,y i),8(X 2,”)两点,又P(3,1)是A B的中点.V 2 V I 3.*.XI+X2=6,y i+y 2=2,:AB=-T.X2 X 43故直线A B的方程为y 1=-a(x 3),即 3 x+4 y-1 3=0,故选 B.(2)法一：(直接法)椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),设椭圆方程j y2 x2为 而+Qlg。)，由产+产消去X，,y=3 x+7得(1 0 序+4)y一 1 4 s 2+4)y 9+1 3+1 9 6=0,设直线y=3 x+7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x i,y i),B g yi),由题意知工=1,1 4 (/+4)、：.y+y2=-0支+4 =2,解付=8.所求椭圆方程为+=1.o 1Z法二：(点差法),椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2),设椭圆的方程y为廿+4设直线)，=3 x+7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x i,川)，8(X 2,”)，则P+4+=b、岛+*，第3页 共1 9页一得(y i-)吃)(y i+)从+4(x i X I)(X 1+九2)1?=0,即以二%X X 2y i +V 2 庐+4X+%2又 弦A 3的中点的纵坐标为1,故横坐标为一2,V 1 V 2 2 X 1 /+4 、2=3,代入上式得3。丫,=k，解 得 序=8,故所求x x i 2 X (2)b的椭圆方程为卷+=L o I N“点差法”的优点是设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程,并将两式相减，式中含有尤1+1 2,y i+y 2,人三个未知量，这样就直接联系了X X2中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.提醒：与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式总8哝。”=一,即心8=一 空 比 较方便快捷，其中点M的坐标为(比，).。y o 教师备选例题已知椭圆曰+V=1.(1)若过A(2,1)的直线/与椭圆相交，求/被截得的弦的中点轨迹方程；(2)求 过 点 也，3且被P点平分的弦所在直线的方程.解 设弦的端点为尸(x i,y i),。(必”),其中点为A/(x,y),则及+工1=2 x,y i+y =2 y9由于点P,。在椭圆上，则有：y+=1,一春2 1=_ _ B i _=_A X 2 x 2 (”+y i)2 y 心,x y-1所以一方=1？第4页 共1 9页化简得f-2 x+一 2 y=0 (包含在椭圆号+y2=1内部的部分).Y 1由可得弦所在直线的斜率为Z=一5=因此所求直线方程是y 3=m,化简得 2 x+4 y 3=0.I S 典 题 1.(2 0 1 9 江西五市联考)已知直线y=1 x与双曲线ax2+hy2=1(0,*0)的渐近线交于4 B 两 点,且 过 原 点 和 线 段 中 点 的 直 线 的 斜 率 为 一 坐，则 谕 值 为()A一 坐 B.-手_ s f i n _ 2 i/jJ 2 2 7A 由 双 曲 线 加+勿 2=1 知其渐近线方程为 苏+力 步;。，设 A(x i,y i),B(X2 f 2),则有。齿+力彳=0,axi+byi=09 由一得。(九 彳 一 足)=一 仇彳一灵)，整理得,一 _ =一,设 A 8的中入 I I X 2 X1 X 2 I)、c,y o 2 y o yi+yi 小一，.事点为 M(x o,y o),则 攵=孟=刀=箱+%2=一方-又知攵AB=-1,.x(1)=一齐 玛=一 坐 故 选 A.(-1,0)设直线A 8的方程为尸网x+l)(M 0),代入，+y 2 =,整理得(1 +4 F x+2 M-2=0.因为直线A B过椭圆的左焦点口且不垂直于x轴，第5页 共1 9页所以方程有两个不等实根.设 A(,y i),8(x 2,”)，A8 的中点 M%o，冲)，.4 3则 X l+x 2=-2 烂+1 12 1 c2 k%o=(x i +工)=-2 炉+，yo=A(xo+1)=2.+1因为点A和 点 8 关于直线/对称，所以直线/为A5的垂直平分线，其方程为y-y o=1(xxo).,2 K R A2 1 1令 y=O,得XG=XO+6。=+2.+=2 F+1 =-2+4 +2,因为左去0,所以一；4 G 2),则|45|=yl(1+Z?)(xi+%2)24xi X 2=、y(l+/(yi+p)2 4yi y2 (左为直线斜率).哪典例(2 019.武汉模拟)设离心率为坐的椭圆E：最+捻=1(。泌 0)的左、右焦 点 分 别 为 尸 2,点尸是E上一点，PFPF2,PFIB内切圆的半径为吸一1.(1)求 E的方程；(2)矩形A8 CO的两顶点C,。在直线y=x+2上，A,8 在椭圆E上，若矩形 A3CD的 周 长 为 呼，求直线A3的方程.解 (l)R t/i P B E 2 内切圆的半径=；(小 1|+|尸 2|一尸1E 2|)=。一的 依题意有 a-c=yf2-1.第6页 共1 9页5又 彳=半，则 a=啦，c=,从 而 8=1.故椭圆E的方程为5+2=1.(2)设直线A B的方程为y=x+m,代入椭圆E的方程，整理得3+4wx+2 m 2 2=0,由 ()得一小根小.设 A(X 1，1)，3(X 2，2)，4 m 2 m2 2则 X I +X 2=一7，XX2=.厂 4y 3 2AB=yl2 x2 x=3 .易知出q则由一 小 t(小 知 出。=所以由已知可得|A B|+|B C|=1 陪，4 j3-m2 2 m 11走即3 +否=6 整理得 41 加2+3 0Z-71=0,71解 得zn=l 或/”=一 五(均满足一审加小).71所以直线A B的方程为y=x+l或 y=x 一五.I S 点 评 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.教师备选例题已知椭圆：?+=1 的焦点在X轴上，A是 E的左顶点，斜率为如0)的直线交E于 A,M两点，点N在E上,M A 1 N A.(1)当 t=4,|A M|=|A N|时，求 A M N 的面积；(2)当 2 1A M =|A N|时，求 G的取值范围.解(1)设 M(xi,yi),则由题意知yi 0.7 7当/=4 时，椭圆石的方程为，+左=1,A(2,0).第7页 共1 9页jr由|AM=|AN及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为疝因此直线AM的方程为y=x+2.?2将 x=y2 代入+1=1,得 7y212y=0,12解得）=0或y=7，所以户=万.1 12 12 144所以 SAMN=2X2XX=49.（2）由题意知/3,Z0,4（3，0）,设 M（xi,yi）,?2将直线AM的方程y=A（x+3）代入：+=1,得（3+饮 今 尤2+2寸i,戊2%+产223/=0.3 （3点）得3+点故|AM|=M+3仙+。由题设知，直线AN的方程为y=；（x+也），Kc m r p 6/cJt（1+Z：2）故同理可得|AN=3 F+f2 k由2 1A M =H M，得 讦 薜=市 斤即（炉一2=3攵（2攵-1）,3厂 L,A-A、c ,3k（2k-1）当女=也时上式不成立，因此r=瓦工.t3等价于,内一2M+A2（左 一2）（K+1）3一 2 0,即M|0 即 45,设 A(xi,y i),5(x2,*),则九i+及=y,xii2=4 -$1),B=yj(1+1)(xi+%2)24XIX2=/5 耳包(当且仅当r=0时取等号).2.如图，在平面直角坐标系x O y中，椭 圆+徐=I 1(&心0)的离心率为盘过椭圆右焦点尸作两条互 相 垂 4七S r直的弦A B与CD当直线A 8斜率为0时，AB=4.(1)求椭圆的方程；(2)若|A B|+|8|=当，求直线A B的方程.c 1 解(1)由题意知 e=z=/,2 a=4.又/=+/,解得。=2,b=y/3,c=l,9 2所以椭圆方程为1+看=1.(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|A 8|+|C D|=7,不满足条件.当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设 直 线 的 方 程 为y=k(x1),A(xi,y i),3(x2,y2),则直线C D的方程为y=一第9页 共1 9页将直线A 8方程代入椭圆方程中并整理得(3+4后)/-83x+4R1 2=0,则8女2 4女212 I_Xl+x2=3+4M，X.X2=3+4户,所以依阴=4 后+IM X2|=、R+l、(Xl+x2)2 -4x1X2=12(F+l)3+4/同理，CD=43+后12(M+l)-3-+4所以|A8|+|CD|12(F+l)12(3+1)3+4 炉-+-3+484 g+1)2 48=(3+4K)(3+4)=解得k=l,所以直线A B的方程为x-y 1 =0 或x+y 1 =0.考点3直线与圆锥曲线的综合问题既通法解决直线与圆锥曲线的综合问题的一般步骤第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出 ()时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于xix2,xi+x2(或yi”，yi+y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.物 典 例 椭圆C：5+方=1(。0)的左、右焦点分别是Fl,Fl,离心率为争过 Fi且垂直于x 轴