2022年高考数学总复习第5讲：函数的单调性与最值

2022年高考数学总复习第5 讲:函数的单调性与最值i.函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数7U）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的定义任意两个自变量的值如，X 2当X1 X 2时，都有那么当X I。台）在。上是增函数;第 1页 共 1 2 页(2)对勾函数y=x+，(a 0)的增区间为(-8,证 和+8),减区间为 一,，0)和(0,犯 .(3)在区间。上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.(4)函数/(g(x)的单调性与函数y=X)和=g(x)的单调性的关系是一同增异.减”.2.函数最值存在的2个结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.匚学情自测验收n一、思考辨析(正确的打“J ”，错误 的 打“X ”)(1)函数y=:的单调递减区间是(一8,0)U(0,+).()(2)若定义在R上的函数人划有人-1)X1）,故当。（1,3）时，_/U）在 1,2 上单调递增.1 1法二：（导数法）因为/（=2 一/=芳 一,因为 1WXW2,.1WX3W8,又 l VaV3,所以2加 一1 0,所以/（x）0,所以函数义工）=加+；（其 中laV3）在 1,2 上是增函数.力点 注 定义法证明函数单调性的一般步骤：任取XI，X 2 D,且尤1 VX2；作差兀H）-/（X2）；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断人船）一儿切的正负）；下结论（即指出函数7 U）在给定的区间。上的单调性）.炳 典 物1.函数/（x）=|x 2|x的单调递减区间是（）A.1,2 B.-1,0 C.（0,2 D.2,+0 0）X22 x,x 2 2,A 由题意得，加）=_d+2丫 尤 2当x 2 2时，2,+8）是函数兀r）的单调递增区间：当x V 2时，（一8,1 是函数*）的单调递增区间，口，2 是函数次x）的单调递减区间.2.判断并证明函数兀r）=（aW0）在（-1,1）上的单调性.解 法一：（定义法）设一1 V九1 Vx 2 V1,於尸行毕|1+圈）,加）一%2）=&（1 +/卜（1 +昌）a（x2x）,十=；7 7；7?由于-1 Vx i X2 0,X 1 0 时，/（x i）/（x 2）0,第5页 共1 2页即/1）於2）,函数/（X）在（一1,1）上递减；当a V O时，式阳）一/（无2）V 0,即 於i）V於2）,函数人x）在（-1,1）上递增.法二：（导数法）（x）=aQ-l)o x q(x 1)2 (%1)2,所以当 a0 时，f（x）0,当 a VO 时，f（x）0,即当a 0时，/）在（一1,1）上为单调减函数，当。0时，於）在（一1,1）上为单调增函数.考 点2函数的最值喉通法 求函数最值的5种常用方法及其思路（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.（x-a）2（x W O）,屈法例（1）若函数加）=1,1 ,八 的最小值为.穴0）,则实数。的取值%+x+c i（x0）范围是（）(3)函数 =而 一x(x N 0)的最大值为.(1)D (2)3 (3)(1)当 x 0 时，|x)=x+：+a 2 2+a,当且仅当 x=(,即x=1时，等号成立.第6页 共1 2页故当x=1时取得最小值2+，r)的最小值为用),:.当%40 时，J(x)=(xa)1 2 单调递减，故4 2 0,1 5 ；*)=“+仇。0)在;，2上是增函数，.,.y(X)m in=4 =,./(X)m ax=*2)=2.(-2a+b=,即J 解得 a=l,b=2-、-32,一点 评(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域.如本例(3).(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值.如本例(1).(3)若函数式x)在区间 a,b上单调，则必在区间的端点处取得最值.如本例(2)；若函数凡外在区间 a,b上不单调，则最小值为函数九r)在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值，最大值为函数y u)在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值.r+4歌 典 题1 .函数段)=x的值域为.此时的最小值为/(0)=/,故2+。2屋，得一又。2 0,得0WW2.故选D.X(2);/()=(，-10g2(x+2)在区间-1,1上单调递减，./U)max=/(l)=3Iog21=3.2(3)令 Z=d，则 为0,所 以 产L p=(7；)+；,当 /=；,即 X=时，ymax4 逆向问题 若函数/U)=-f+优”0)在；,21上的值 域 为2，则4=,b=.第7页 共1 2页4(8,-4 U 4,+)当尤 0 时，犬 尤)=x+(2 4,当且仅当x=2时取等号；当xV O时,一%+(一 野 2 4,4即式x)=x+f 2.当0V xW2时，h(x)=l o g 2 x是增函数，当x2时，(x)=3 x是减函数，所以(幻在x=2时取得最大值/?(2)=1.考 点 3 函数单调性的应用考向1 比较大小酗法比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.觑典例 已知函数/U)的图象向左平移1 个单位后关于y轴对称，当 及汨1 时，/(九 2)A 尤 i)(%2 沏)a bB.c b aC.a c b D.b a cD 根据已知可得函数於)的图象关于直线x=l 对称，且在(1,+8)上是减 函 数.所 以。=一=(|),/(2)次2.5)负3),所 以 b a c.E.u f 本例先由X|)V O 得出於)在(1,+8)上是减函数，然1后借助对称性，化 变 量-5,2,3 于同一单调区间，并借助单调性比较大小.考向2解不等式喉通法 求 解 含“尸的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为H g(x)y w a)的形式，再根据函数的 单 调 性 去 掉,得到一般的不等式g(x)O(x)(或 g(x)V%。).此时要特别注意函数的定义域.觑 典 例 定义在2,2 上的函数段)满足(XI/(X2)O,X|W X2,且,f(a2-a)J(2a-2),则实数。的 取 值 范 围 为()A.-1,2)B.0,2)C.0,1)D.-1,1)C 因为函数段)满足(X1 X2)/U1)-/(X2)O,尤 1 W 九 2,所以函数在-2,2 上单调递增，所以一2 W 2 a 2 0,8)勺(9)，7U)是定义在(0，+8)上的增函数，所以有 0,lx(x 8)W 9,解 得 8 aW 9.考向3根据函数的单调性求参数第9页 共1 2页稀 通 法 利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.(2)需注意若函数在区间a,勿上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.X51 3*例(1)(2 0 1 9郑州模拟)函数尸x-a2在(一 1，+8)上单调递增，则a的取值范围是()A.=3 B.a3C.aW 3 D.a 23(2)已知 +1 ”1满足对任意x W x 2,都 有 酗 二 鲍 0，X 力 XIX2成立，那么a的取值范围是()A.一-!73-221,3Tzfl/flBD.2)C.23-2?无一一2+-3 ,a-3 ,a-3 ,(1)C(2)C(D -v-2-=1 1由题意知a-3 0,所以 a,1(2 a)X 1 +1 W a,3解得邑 aV 2,所以。的取值范围是|,2).故 选C.E zuf分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.如 本 例(2).第1 0页 共1 2页懿 典 题1.若函数“)=2卜一a|+3在区间口，+8)上不单调，则。的取值范围是()A.1,+8)B.(1,+)C.(8,1)D.(8,1 2 x 2 a+3,B 因为函数式x)=2|x-a|+3=J 且函数式x)=2仅一1 2%+2。十3,x 4.递增，则实数a的取值范围是()A.(-8,1 C.4,+8)D 作出函数/(x)的图象如图所示若函数y=/U)在区间(a,a+1)上单调B.1,4 D.(一8,1 U 4,+8)，由图象可知7U)在(a,a+l)上单调递增,需满足a 2 4或a+1 W2,即a W l或a 2 4,故 选D.y=log2%(x 4)()2 4 y=-x2+4xG w 4)3.已知函数xV0b n(x+7)/x 0,若 旭T)M则实数的取值范围是()A.(一8,-1)U(2,+00)B.(-8,-2)U(1,+00)C.(一1，2)D.(-2,1)4D 因为当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线.因为当x W O时，函数人处二%3为增函数,当x 0时，.*x)=l n(x+l)也是增函数，第1 1页 共1 2页所以函数次X)是定义在R上的增函数.因此，不等式式2无2)大幻等价于2即/+x-2 V 0,解得一2VxVL第1 2页 共1 2页