2015届高考数学第一轮复习第三篇三角函数、解三角形细致讲解练理新人教A版

第三篇 三 角函数、解 三 角 形第 1 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 最新考纲1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.诊断-基础知识 由浅入深夯基固本知 识 梳 理1.角的概念的推广(D 定义:角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(按旋转方向不同分为亚免、负角、零角.(2)分类 -I按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连 同 角a在内，可构成一个集合S=|=。+人 360,Z-eZ.2.弧度制的定义和公式(D 定义：把长度等于生鱼氐的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.弧度记作rad.(2)公式:角。的弧度数公式1。1=(弧长用，表示)角度与弧度的换算1。=r a d 1 rad=J弧长公式弧 长/=|a 扇形面积公式S=-1l r=1,a.r2乙 乙3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设。是一个任意角，它的终边与单位圆交于点?(*,力，那么上叫做a的iE弦，记作sin a工叫做a的余弦，记作cos a匕叫做a的正切，记 作 tan aX各象限符号I+II+III十w+口诀I 全正，I I 正弦，I I I 正切，I V 余弦（1）小于9 0的角是锐角.（X）（2）锐角是第一象限角，反之亦然.（X）（3）将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是3 0 .（X）（4）相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.（X）2.任意角的三角函数定义的理解（5）（教材练习改编）已 知 角a的终边经过点A-1,2）,则 s in22m-1：+2 尸 5 ,(J)（6）（2 01 3 济南模拟改编）点尸（t a n。，c o s。）在第三象限，则 角。的终边在第二象限.(V)（7）（2 01 1 新课标全国卷改编）已 知 角，的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线尸=2 不 上，则 cos。=蜚.0(X)感 悟 提升1 .一个区别“小于9 0的角”、“锐 角、“第一象限的角的区别如下:小 于 9 0的 角 的 范 围：(一8,高，锐 角 的 范 围：(0,总，第 一 象 限 角 的 范 围：(2 在“，2 4 口+总(4 6 2).所以说小于9 0。的角不一定是锐角，锐角是第一象限角，反之不 成 立.如 、(2).2.三个防范一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角，如(3)；二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角。的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解,如 .突 破高频考点以 例 求 法 举 反 三考点一象限角与三角函数值的符号判断c o s 0【例 1】(1)若 s in a t a n。0,且-0,则 角。是().t a n aA.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)s in 2,c o s 3,t a n 4 的值().A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在解 析(1)由 s in a t a n。可知s in a,t a n。异号，从 而 a为第二或第三象限的COS Q .角，由7-0,c o s 3 0,/.s in 2 c o s 3 t a n 4 0.答 案(1)C (2)A规律方法 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限.-0 0 0【训练1】设0是第三象限角，且 c o s =c o s V，则可是().A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限0解 析 由。是第三象限角，知行为第二或第四象限角，0cos T0=-c o s -e oc o s 0 时，r=k,/.s in-3 A 3c o s a呼”,3 _ _ _ _A l O s in z+-=-37 1 0+3 1 0=0；当 A 0),当。为多少弧度时，该扇形有最大面积？审题路线 角度化为弧度，求扇形的弧长a S，产分别求&=!?sina今计算得S i.(2)由周长C与半径的关系确定分与a的关系式今代入扇形面积公式确定S用与a的关系式与求解最值.解(1)设弧长为/,弓形面积为S.则JI Ji 10 na=60=,4 1 0,7=X 1 0=-(cm),J o o1 10 JI 1 2 315 弓=5 席一丛=5 义X 105X 10 X sin(2)法一 扇形周长，=2#+/=2A+a 兄.qWp(岳)C 1dl 一d=a-7=-W-2 4+4 a+a2 2,4 16,4+a+当且仅当 =4,即。=2 ra d 时，扇形面积有最大值法 二 由 已 知，得/+2 Q C,5 调=2?=(。一2而七夕一2川+。=-(局+需cd故当=,7=2)?,。=2 r a d 时，这个扇形的面积最大，最大值为定.4 1 6规 律 方 法(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于。的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.学 生 用 书 第 5 0页【训练3】(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为2 0 c m；当扇形的圆心角。等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)设扇形的圆心角为6 r ad,则扇形的周长是2 r+r 9.依题意：6 =(n 2)r ad.扇形的面积 6 =1(J t -2)?.(2)设扇形的半径为r,弧长为贝 I /+2 r=2 0,B P 7=2 0-2 r(0 r 1 0).扇形的面积 S=B=；(2 02 r)r=r+1 0r=(r 5)2+2 5.当r=5 c mE bj,S 有最大值2 5 c m,此时 7=1 0 cm,。=2 r ad.r因此，当。=2 r ad时，扇形的面积取最大值.I课堂小结I1 .在利用三角函数定义时，点 P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.I OP1-一定是正值.2 .三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：全正，二正弦，三正切，四余弦.3 .在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.培 养解 题 能 力 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 芯 提 升 能 力创新突破4 以任意角为背景的应用问题【典例】(2 01 2 山东卷)如图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于1)时，例的坐标为突 破 1：理解点尸转动的弧长是解题的关键，在单位圆中可寻找直角三角形.突破2：在直角三角形中利用三角函数定义求边长.突破3：由几何图形建立/点坐标与边长的关系.解 析 如 图，作轴，P Q L C Q,。为垂足.n根 据 题 意 得 劣 弧=2,故4 DCP=2,则在中，/尸&=2 一万，|C 0|=c os=sin 2,i PQ =s i n 2-3=-c o s 2,所以一点的横坐标为2 一|=2 sin 2,一点的纵坐标为1+|园|=l c os 2,所以P点的坐标为(2 sin 2,1 c os 2),t K OP=(2 sin 2,1 c os 2).答案(2-sin 2,1-c os 2)反思感悟(1)解决此类问题时应抓住在旋转过程中角的变化，结合弧长公式、解三角形等知识来解决.(2)常见实际应用问题有：表针的旋转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等.【自主体验】已知圆0：/+/=4 与 y 轴正半轴的交点为M 点步沿圆。顺时针运动弧长到达点M 以恻为终边的角记为。，则 t a n。=().A.-1 B.1 C.-2 D.2解析 圆 的 半 径 为 2,+的 弧 长 对 应 的 圆 心 角 为:，故 以 QV为 终 边 的 角 为aci=2An+,故 tan a=1.答 案B课 时-题 组 训 练阶梯训练练出高分基础巩固题组（建议用时：40 分钟）一、选择题1.若 s i n。0,贝 U。是（）.A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象 限 角 D.第四象限角解析 V s i n a 0,。在第一象限或第三象限，故。在第三象限.答 案 C2 .（2 0 1 4 汕头一中质检）一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）.J T 2 n A.B.C./3 D./2解析 设圆的半径为匕由题意可知，圆内接正三角形的边长为:凡.圆弧长为小史.该圆弧所对圆心角的弧度数为K答 案 C3.点户从（1,0）出发，沿单位圆f+/=l按逆时针方向运动蜉 弧长到达。点，则 O 的坐标 J为（）.A.（T 阴 B.J*9 C.（，一 D.（一 坐 g2 冗（2 n解析 由弧长公式得,P 点逆时针转过的角度。=丁,所 以。点的坐标为（c o s-1，s i n J,即叫答 案 A/3n 3 哈4.已知点s i n ,c o s 落 在 角0的终边上，且 6 0,2 兀），贝 I J 0的值为（）.n 3 n 5 n 7 nA.-B.-r C.D.r-4 4 4 4解析 由 s i n 牛 0,c o s 牛 V0知 角。是第四象限的角,3 nc o s -40 7 五V t a n 0=-1,夕 0,2 n),Z.0=.,3 n 4s m 4答 案 D5.有下列命题：终边相同的角的同名三角函数的值相等；终边不同的角的同名三角函数的值不等；若 s i n。0,则。是第一、二象限的角；若。是第二象限的角，且 P(x,y)是其终边上一点，则 c o sxyx+y其中正确的命题的个数是().A.1 B.2 C.3 D.4解析 正确，不正确，n 2 n,2 兀 s i n s i n ,而刀与一鼻一角的终边不相同.o J J J不正确.s i n a 0,。的终边也可能在尸轴的正半轴上.不正确.在三角函数的定义中，c o s不论角。在平面直角坐标系的任何位置，结论都成立.答 案 A二、填空题6.已 知 角 的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若？(4,力 是 角 0终边上一点,解析.且 s i n 0则y=因为s i nJ邛所以y 0，且 y=6 4,所 以 尸 一 8.答 案-87.4如图所示，在平面直角坐标系X0中，角。的终边与单位圆交于点4点 4 的纵坐标为则 c o sa=4解析 因为力点纵坐标必=,且 4 点在第二象限，又因为圆。为单位圆，所以/点横坐标53XA=-由三角函数的定义可得c o s a 3答 案-53-5-8.函 数 尸，2 c o s。一1 的定义域为解析V 2 c o s x1 N 0,/.c o s x 2.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示).n J i 1.才 24叮一刀，2k TI+(AeZ).o on JT答案 2 E一w，24兀+工(Aez)J J _三、解答题9.(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S,并 把 S 中适合不等式一36 0 Wa 7 20 的元 素。写出来：6 0。；一21。.(2)试写出终边在直线y=上的角的集合S,并把S 中适合不等式一180 W a 180 的 元 素。写出来.解(l)S=a|。=6 0 +4 36 0 ,4G Z ,其中适合不等式一36 0 W。7 20 的元素a 为一30 0 ,6 0 ,420 ；S=a|a=-21 36 0 ,AG Z ,其中适合不等式一36 0 W。7 20 的 元 素。为-21,339 ,6 99 .(2)终 边 在 上 的 角 的 集 合 是 S=a I36 0 +120 ,k&Z Ua a=k-36 0 +30 0 ,AeZ =。|。=公 180 +120 ,A W Z,其中适合不等式一180 Wa 0,则实数a的取值范围是（）.A.(-2,3 B.(-2,3)C.2,3)D.2,3