函数概念&ampamp;基本初等函数——2021届高三数学一轮复习讲义

专题2-1 函数的概念与表示函数的概念及表示内容1、函数的要素，求定义域、值域，映射的概念2、函数的表示：图像法、列表法、解析法知识点1、概念2、要素：定义域、对应法则、值域集合论描述函数映射集合A、B非空数集非空集合对应关系在对应关系/下,V x S A,三唯一f：A B的函数户A r 8 的映射记法y=f(x),xGA函数y=/(x),x w A 中(l)x 为自变量，取值范围A叫函数的定义域(2)/为 x-y 的对应法则(3)x 在对应关系/下得到的y 的集合叫函数的值域U83、表示法：解析法、图像法、列表法易错点1、函数是一种映射，但映射不一定是函数2、函数与映射区别：是否为数集例 1 与函数y=x相同的函数是()B _ y=y C y=（y x）2 D y=lo gM（a 0 且存 1）【答案】D【分析】函数是否相同：定义域、对应法则是否相同【详解】y=x:x&R,A 中 y=|x|,x /?；B 中在0；C 中 应0；D 中 y=x lo&M=x,X E/?只有D：化简后为），=苫，且 x/?,即与原函数y=x 相同【考核】相同函数：定义域、对应法则相同例 2 以下函数中，定义域为0,+8）的函数（）A y=y x B y-2x C y=3 x+1 D y=（x-1 -【答案】A【分析】数的性质-解析式有意义判断定义域：偶次根式中被开方数非负、分数的分母不为0 等【详解】A 中 y=y x,x 0；B、C、D 中 xeR【考核】求函数定义域例 3函数f（x）=ln（7 1-x2-x）的定义域（）答 案 一 专 士 需【分析】解析式有意义：=7 被开方数非负、-x）的真数大于0【详解】P二4 得：A/1-A：2-x 0 2 2【考核】求函数定义域例 4 已知/(x+2)=4x+3,则/(x)=()A 4 x-5 B 4 x+5 C 4 x+1 3 D 4 x-1 3【答案】A【分析】已知/(x)向左平移2 后的/(x +2)解析式求原解析式【详解】换元法：令x +2=X,x =X-2,有/(X)=4(X 2)+3 =4X 5 ；最后用x代换X即可【考核】复合函数/(g(x)求原函数解析式/(x),注意定义域在换元前后的变化例 5已知函数/(x)在定义域(0,+8)上是单调函数，若对于Vx e(0,+8),/(/(x)-1)=2,X则函数/(X)的 解 析 式()A /(x)=x B /(x)=C /(x)=x +l D /(x)=4-1X X【答案】D【分析】己知/在(0,+00)上是单调，而 V x (0,y)(/(x)-L)=2 即可确定/a)书+lX X为常数【详解】令/(x)二 加 /(x)=m +,而由题意知/(6)=2X X/./(7?!)=m+=2,/n=l：/(x)=1 +m x【考核】函数单调性、函数的定义例 6 若函数/(x)满足/(X)+2/(L =3X,则/(2)=()xA O B 1 C-l D 2【答案】C【分析】工)+2/(1)=3 求/(2)：换元方式交换函数不同项位置，达到消元的目的x1 1 3 1【详解】令 乂=一，/()+2/(%)=,结 合/(#+2/(一)=3%x X X xA 9*3 f(x)=3x：f x=x f 有 f(2)=-1X X【考核】求抽象函数的函数值例7函数y=/(ln x)的定义域e,e2,则函数y=/(/)的定义域为()A 0,I n 21 B 0,2 C l,2 D e,e2【答案】A【分析】)=/(也 ),工%02可得/(幻,工1,2,再求/()定义域【详解】/(x),x el,21，在 /)中,x e0,ln 2【考核】求复合函数的定义域：外函数的定义域是内函数的值域总结1、解析式的求法(1)待定系数法：函数类型确定的情况(2)换元法：复合函数/(g(x)解析式已知的情况，注意换元后的取值范围(3)凑配法：已知/(g(x)=E(x),用g(x)表示尸(x),最后用x 替换g(x)得到/(x)解析式2、定义域的求法(1)已知解析式：构造使解析式有意义的不等式组，求解(2)实际问题：结合和实际意义构造不等式组，求解(3)复合函数：外函数定义域是内函数的值域分段函数内容了解分段函数简单应用知识点1、概念：自变量*在不同区间，有不同的对应法则2、它是一个函数3、定义域：各段定义域区间的并集4、值域：各段值域的并集例 1函数/(%)=x 1,x 之 02-,x 0，若/(a)=a,则实数的值(kx)A 1 B-1 0 2 或-1 D 1 或-2【答案】B【分析】分类讨论：a NO或 a 0【详解】。时/()=1 =一 2 任 0,+8)舍去a v 0 时/()=a ,6?=1,其中舍去 a 二 la/.a-【考核】根据分段函数区间不同讨论求参数x+a,-x 0例 2 设/(x)是定义在R 上且周期为2 的函数，在区间-1,1)上，/(x)=J 2|-x|,O x M最大值最小值易错点3、“单调区间是A”与“在区间B上单调”：A是“最大”的单调区间,B是A的一个子集；如：y=f,单调增区间 0,+0 0),而在(5,+8)上单调增4、不同区间(不连续)的单调性相同，区间不能写成并集形式。如：;例1函数定义域R且为增函数的是()A y-e B y=x3 Cy=lar Dy=|x|【答案】B【分析】【详解】【考核】函数的图像、单调性、定义域l,x 0例 2 函数，(x)=0,x =0 ,g(x)=f y(x-i)的递减区间()1,x 0=(-0 0,1)或(2,+)而/(%)=lo g x在定义域内t ,，(一8,1)J (2,+O C)T 结合函数图像】【考核】复合函数的单调性例5已知奇函数/(x)在R上是增函数，g(x)=4(x)。若a =g(也 当 ，8=g(2 0 8),c=g(3),则b、c 的大小()A a h c B c h a C b a c D h c 20-8、3的大小关系，根 据f(x)的性质得到g。)的性质判断a.b、c大小【详解】208 2=lo g2 4 lo giS.l 0,/(x)0,且/(x)0 x 0,g x)=f(x)+xf x)0 x0,g(x)T：g(20 8)g(lo g25.1)g(3)【考核】奇偶性、单调性比较函数值大小5 7训练：函数./X x)=丁+3+“，且/(x +2)是偶函数，/,/(2),/弓)大 小 比 较()A /(Z)/(1)/(1)B /(1)/()4)C /(|)/(1)/(1)D /|)/(|)7(1)【注意】/(x+2)是偶函数：/(x+2)=/(-x +2)-x+6,x 例6若函数/(x)=(。0且。#1)的值域是4,+0 0),则实数。的取值范围3 +lo g4 x,x 2【答案】la 2单调增a 1有x 2 恒成立综上：1 a 22 (a 0且。于1)的值域R,则实数a的取值范围_ _ _ _ _2a*-3a,x 2Y训 练 函 数/(幻=一 一()1-XA (-8,1)U (1 ,+8)是增函数 B (-O O,1)U(1,+8)是减函数C (-8,1)和(1,+8)是增函数 D (-8,1)和(1,+8)是减函数总结3、单调性判断及区间求法(1)定义法：设元、做差、变形、符号判断、结论(2)图像法：图像的升降情况(3)导数法：导函数在对应区间的符号(4)基本初等函数和差形式：增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减(5)复合函数：各层减函数的个数为偶数“增函数，各层减函数的个数为奇数-减函数4、单调性处理相关问题(1)比较函数值大小：构造函数-由函数性质将自变量值转化到同一单调区间-比较大小【自变量值要在定义域内】(2)求参数范围或值：参数作为已知“函数图像(单调性)“确定单调区间”与已知单调区间比较(3)不等式问题：同一函数下，不同函数值对应的自变量值大小比较【保证自变量在同一单调区间内】奇偶性内容结合实际函数，理解函数奇偶性的含义知识点若函数/(X)中V x W/f(x)=f(-x)-/(x)=/(t)偶函数奇函数y轴对称原点对称5、奇函数/(幻在原点处有意义，则/(0)=06、偶函数/，则/(x)=/(|x|)7、xe D,/(x)=O且O关于原点对称的非空数集，既是奇又是偶函数8、两个对称区间上：奇函数单调性相同，偶函数单调性相反易错点1、奇偶性判断时，先要判断定义域区间是否关于原点对称2、分段函数奇偶性：不要将局部奇偶性看成函数的奇偶性例1函数/(x)在(22)上为奇函数，当x e(0,2)时，/(x)=2*1则/(lo g?；)的值()A-2 B-j c7 D 仍-1【答案】A【分析】/(一工)=一/(幻,而21082：0,应用奇函数定义把自变量值转化到已知区间【详解】/(lo g21)=-/(-lo g21)=-/(lo g23),0lo g232 /(lo g23)=2嘀3 7=3 7=2,HP/(lo g21)-/(lo g23)=-2【考核】奇函数定义例2函数/(x)=V3-x2+VX2-3的奇偶性【答案】偶函数【分析】奇偶性定义验证【详解】f(-x)=,3-(-无)+J(-X)2-3=A/3-X2+Vx2-3=/(x)【考核】奇偶性定义例 3/(x)是奇函数，x e(0,+o o),/(j；)=-x2+2x,若 x w(-o o,0),则/(x)=【答案】X2+2X 分析】利用/(X)=/(X)得到对称区间解析式【详解】令 x e(-,0),/(-%)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x/(x)=-f(-x)=x2+2x【考核】奇函数定义求对称区间解析式例4函 数/(力=1!1(/*+1)+公为偶函数，则4=【答案】43【分析】利用/(x)=/(x)得到方程【详解】ln(e3 +D +）为奇函数,则。=厂例 5 以下函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）1 八 ,1+xA)G B y=EC j=t a r i D y=2*【答案】B【分析】1、定义域是否关于原点对称，图像是否对称；2、数形结合判断增减性【详解】1、定义域都是对称的；2、A、B、C 都是奇函数，D非奇非偶；3、如下图知：只有 B 在定义域内单调增，而 A、C 在特定区间内有单调性，整个定义域中不具有单调性【考核】奇偶性、单调性训练判断函数/(x)=(x-l)J 的奇偶性V i-x总结2、判断奇偶性方法(1)定义法定义域是否关于原点对称/(x)与/(-x)的关系(2)图像法关于原点对称，奇函数 关 于 J 轴对称，偶函数(3)性质：奇+奇=奇，偶+偶=偶；奇义奇=偶，偶义偶=偶，奇义偶=奇3、奇偶性求解析式待求区间的自变量转化到已知区间，利用奇偶性求解析式或构造方程，得到/5)的解析式4、奇偶性求参数待定系数法：根据/(-x)/(x)=得到方程，求出参数周期性内容1、函数周期性、最小正周期2、判断、应用简单函数的周期性知识点1、函数y=/(x),V x e/,都有T+x)=/(x),则y=/(x)为周期函数，且 T 为函数的周期2、周期函数y =/(x)所有周期中的最小正数，叫做/(x)的最小正周期例 1 函数 F(x)=13 r _Xv2 Xr-un，则/(-9)=_ _ _ _ _/(x +2),x 0【答案】2(分析】利用周期性将自变量转化到己知解析式的区间内【详解】x 0(x)=/(x+2)知：/(-9)=/(-1)=/(1)=2【考核】利用周期性转化自变量的区间a x +l,-lx 0例2 7(元)在R上周期为2的函数，在-1,1上，(x)=I公+2,a、6 G R,若-,0 x 1.x +1尺)二磅则 a+3b=【答案】-10【分析】利用周期性得到方程组【详解】在R上有/(x)=/(x +2)【考核】周期性求参数例3/(无)在R上的奇函数，/(x+1)是偶函数，当x w(2,4),/(x)=|x -3|,则/(1)+/(2)+/(3)+/(4)【答案】0【分 析】奇偶性得到函数的周期，应用周期求值【详 解】、S)T(x)可得：I/(x+1)=/(1-