高考总复习_集合与函数概念知识点

第一章 集合与函数概念知识网络第一讲 集合知识梳理集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3 种表示方法：列举法、描述法、韦恩图;3.集合中元素与集合的关系：4.常见集合的符号表示文字语言符号语言属于e不属于g数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号N竺 或 心ZQRC集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同Aq B旦AoA =B子集A中任意一元素均为B中的元素A q B或B 3 A真子集A中任意一元素均为B中的元素，且 B中至少有一元素不是A的元素AB空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 C A ,(/)噎 B(8 w )三：集合的基本运算两个集合的交集:A P l B=|x|x e A.H.x e ；两个集合的并集：A U B =x|x e A或x e 3 1设全集是U,集合A U，则C A =x|x e U且x纪A 方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.交并补nuA C l 8 =x 1 x A,8 A U 8 =xlx A,如 8 CVA=|x|x e U月.元电 A(3Do重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算.重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2.集合的表示法(1)列举法要注意元素的三个特性：(2)描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如&=/(x)、yy=/(%)(x,y)|y=/(x)等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误:问题：已知集合M=I x|二+乙=1 ,=卜 号 +=1,则McN=()1 9 4A.；B.(3,0),(0,2)；C.-3,3 ；D.3,2 2 2 错解 误以为集合M表刁 椭 圆 h =1，集合N表 小 直 线 I-=1 由于这直9 4 3 2线 过 椭 圆 的 两 个 顶 点，于 是 错 选B 正解C；显然M=x|-3 4 x 3,N =R,故 加 口 =一3,3(3)V e nn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用V e nn 图。3 .集合间的关系的几个重要结论(1)空集是任何集合的子集，即“三4(2)任何集合都是它本身的子集，即A =A(3)子集、真子集都有传递性，即若A =B C ,则A =C4 .集合的运算性质(1)交集：AnB=8 nA；=4口。=。；AC B A,ABBAnB=A =AqS；(2)并集：AU 6 =8 U A;AU A=A；4 U 0 =A;A U 8%，A J B B AU B=AoBq A；(3)交、并、补集的关系 A JCVA =U Q(A P l 8)=(Q A)U (Q B)；C。(A U 8)=(Cb,A)P l (Ct；B)热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题 型1：集合元素的基本特征 例1(20 0 8年江西理)定义集合运算：A*B =zz=xy,x e A,y e B .设A =l,2,8=0,2,则集合A*B的所有元素之和为()A.0；B.2；C.3；D.6 解题思路 根据A *B的定义，让x在A中逐一取值,让 在8中逐一取值，孙 在值就是A *B的元素 解析:正确解答本题，必需清楚集合A*3中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知A*8 =0,2,4 ,故应选择 D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点,这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。题型2：集合间的基本关系 例 2.数集X =(2+1)凡2 与丫=(4%1)办攵e Z 之的关系是()A.；B.YX；c.x=y；D.Xl 解题思路 可有两种思路：一是将x 和 y的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。解析从题意看，数集x 与y之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能；同样，B也不能成立；而如果D成立，则 A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义,逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。新题导练1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于20 0 8年 8 月 8 日在北京举行，若集合A=参加北京奥运会比赛的运动员,集合B=参加北京奥运会比赛的男运动员,集合C=参加北京奥运会比赛的女运动员，则下列关系正确的是()A.AcB B.BcC C./I P l 5 =C D.8l j C =A 解析D；因为全集为4,而 6 U C=全集=A2.(20 0 6 山 东 改 编)定 义 集 合 运 算：A(8)8=z|=x y+e A,y 8 ,设集合A =1,0 ,B=2,3 ,则集合A B的所有元素之和为 解析 1 8,根据A(8)8的定义，得到A S)8=0,6,，故 A 8)8的所有元素之和为183 .(20 0 7湖北改编)设P和 0是两个集合，定义集合户一。=x lx e P,且任。,如果P=x|lo g3 x 1,Q =x|x|1,那么 P-Q 等于 解析 x|lx 3)；因为P =x|lo g 3X l =(0,3),e =x|x|l)=(-l,l),所以P-Q=(l,3)4 .研究集合A =x|y =x 2-4 ,B -=X2-4),C =(x,y)|y =-4 之间的关系 解析A与 C,8 与C都无包含关系，而 3 三A；因为4 =卜 卜=，4 表示y =2 4的 定 义 域，故 人=/?；8=g=，-4 表 示 函 数=/一 4的 值 域，B =-4,+0 0)；C =(x,y)|y =x 2 一 4 表示曲线)，=/4 上的点集，可见，B 展 A,而 A与C,8 与 C都无包含关系考点二：集合的基本运算 例 3设集合 4 =卜,2-3 犬 +2=(),B =x|x2+2(a +l)x +(a2-5)=o(1)若An 8 =2,求实数a的值；(2)若AUB=A,求实数。的取值范围若An 8 =2,解题思路 对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。解析 因为 A =x|x2 _3x +2=。=1,2,(1)由/10 8=2知，2 s B ,从而得 2?+4(a +l)+(q2 5)=0,即a2+4 t z +3=0,解得。=-1 或。=一3当。=一1 时，8=4?_ 4 =0 =12,-2，满足条件：当=一3时，B =xx2-4 x +4 =o =2),满足条件所以a =-1或a =-3(2)对于集合3,由 =4(a +l)24(力5)=8(。+3)因为AUB=A,所以8 1 A当(),即a(),即一3时，B =A =1,2才能满足条件，r f 5l +2=2(a +l)a=-由根与系数的关系得 ，2,矛盾1X2=7 5 2 ri a =7故实数a的取值范围是a W 3【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时.，要先对它们进行化简。同时,要注意集合的子集要考虑空与不空，不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.新题导练6.若集合 S=y|y =3,x e R ,T=y|y =x2-l,x e/?),则 507是()A.S：B.T ；C.。；D.有限集 解析A；由题意知，集合S=卜=3/?表示函数、=3*/6/?的值域，故集合S=(0,+o o)；T=(y|y =x2-l,x e?表示函数 y=x2-,xe R的值域，T=-l,+o o),故SP|T=S7.已知集合 加=(x,y)|x +y =2,N =(x,y)|x y =4 ,那么集合用|?为()A.x =3,y =-1；B.(3,-1)；C.3,-1 ；D.(3,-1)解析D；用07表示直线工+丁=2与直线工一=4的交点组成的集合，A、B、C均不合题尼、。8.集合4 =x la x 1 =0 ,5 =工1工2_ 3九 +2=0 ,且4 1y18=8，求实数。的值.解析0,1,；先化简 B 得，8=1,2.由于 A U B =B =故 le A 或 2e A.因此。一1=0或2。-1=0,解得。=1或。=2容易漏掉的一种情况是：A =0的情形，此时。=0.故所求实数a的值为0,1,.2备选 例 题1：已知M =y|y =x +1,N =(x,y)H +)，=1,则A/C lN中的元素个数是()A.0 ；B.1；C.2；D.无穷多个 解析 选A;集合M表示函数y=x+的值域，是数集，并且M =R，而集合N表示满足/+2=1的有序实数对的集合，即表示圆/+/=1上的点，是点集。所以，集合“与集合N中的元素均不相同，因而M P I N =。，故其中元素的个数为。误区分析 在解答过程中易出现直线y =x +l与圆/+V =1有两个交点误选c；或者误认为y =x +l中yeR,而，+/=1中一1 、，从而“仆N =1,1 有无穷多个解而选D。注意，明确集合中元素的属性(是点集还是数集)是准确进行有关集合运算的前提和关键。备选例题2：已知集合4和集合B各有1 2个元索，AD S含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合。的个数：(I)CAUB,且C中含有3个元素；(n)cn Aw。(。表示空集)解法一 因为A、8各有1 2个元素，A P I B含有4个元素，因此，AUB的元素个数是1 2+1 2 4 =2 0故满足条件(I )的集合C的个数是上面集合中，还满足c n A=。的集合C的个数是C；因此，所求集合C的个数是Y=10 8 4 解法二 由题目条件可知，属于B而不属于A的元素个数是1 2 -4 =8因此，在AUB中只含有A中1个元素的所要求的集合C的个数为C；2。；含有A中2个元素的所要求的集合。的个数为G；C；含有A中3个元素的所要求的集合C的个数为G：所以，所求集合C的个数是G；C；+G；C；+G；=1 0 8 4抢分频道基础巩固训练：1.（0 9年吴川市川西中学0 9届第四次月考）设全集U=R,A =x k（x +3）0 ,B =H x O|；B.|x|-3 x O|；C.|x|-3 x -1 ；D.1 x|x -1|解析C；图中阴影部分表示的集合是A P I B,而4 =卜 3 x。,故A P|B =x -3 x0 ,8 =卜 题2%0 则4UB=A.（0,1）；B.（0,2）；C.（-o o,0）；D.（-o o,0）U（0,+o o）解析A；因为 4 =艮 0 c x 1 ,B -x|0 x 1 ,所以 A U 8 =*|0 x 1 3.（苏州0 9届高三调研考）集合-1,0,1 的所有子集个数为 解析8;集合-1,0,1 的所有子集个数为2 3=84.（0 9年无锡市高三第一次月考）集合A中的代表元素设为X,集合3中的代表元素设为y,若三工6 8且 4,则4与3的关系是 解析8 =A或AC8H0；由子集和交集的定义即可得到结论5.(2 0 0 8 年天津)设集合 S=x l|x -2|3,T =x la x a +8 ,S U T =R，则 a 的取值范 围 是()A.-3 6 Z-1；B.-3 a -1C.。3 或。2 1；D.。一1 解析A；S=x I|x -2|3 =x|x 5 ,T=x a x a +f SJT=R所以“一1 ，从而得一3。5综合提高训练：6.P-(m|-m 0 ,Q -?e R m x2+4 mx-4 0 对 于 任 意 实 数x恒 成立则下列关系中立的是()A.P 噎Q：B.Q P;C.P =Q;D.=0tn 0 解析A；当加W O时，有?，即A =(4 m)-4xm x(-4)0Q =m 及卜1 相 o ；当m =0时，mx?+4 mx 4 0也恒成立，故Q =m e R-l m nc/)=。，Qncj)=3 ,故应选 A8