新课标高中数学人教A版必修一第二单元教案

2.1.1 指数与指数鬲的运算（二）（一）教学目标1 .知识与技能.（1）理解分数指数幕的概念；一（2）掌握分数指数 幕和根式之间的互化；_（3）掌握分数指数幕的运算性质；一（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.一2 .过程与方法一通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幕的概念，和指数幕的性质.一3 .情感、态度与价值观一（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；一（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；一（3）让学生体验数学的简洁美和统一美、（-）教学重点、难 点 一1 .教学重点：（1）分数指数幕的理解；一（2）掌握并运用分数指数幕的运算性质；一2 .教学难点：分数指数 幕概念的理解一（三）教学方法一发现教学法一1 .经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律、2.在学生掌握了有理指数幕的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到般的研究方法、（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出回顾初中时的整数指数格及运算性质.一优=4 Q Q 4 =1 （4 W 0）老师提问，一学生回答.学习新知前的问题0 无意义an(0)(am)=amn(an)m=amn,(ab)n=anbn什么叫实数？一有理数，无理数统称实数.一简 单 复习，不仅能唤起学生 的 记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.复习引入观察以下式子，并总结出规律：6 7 0.2y=a2=a5 _ J(a&丫 =Q =Q，(3)ja2=W dy=a3=a4 _妤=汨7=/=/小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，(分数指数募形式).根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幕的形式.如：.=cP=(a 0)_yjb=b=(b0)yfc=c=(c 0)即：a=q (a 0,N,1)老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，(分数指数幕形式)”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幕的形式从而推广到正数的分数指数 幕的意义.数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的.形成为此，我们规定正数的分数指数幕的意义为：一学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论.教师巡视指导.让 学生经历从概念a-O,m,n E N*)正数的定负分数指数幕的意义与负整数幕的意义相同.-1 L 1即：a =0,加，e N*)a规定：0的正分数指数疑等于0,0的负分数指数幕无意义.说明：规定好分数指数幕后，根式与分数指数基是可以互换的，分数指数基只是根式的一种新的写法，而不是 2 1 1am-am-am am(a 0)“特殊一一般”，“归纳一猜想”，是培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数暴的再发 现 过程，有利于培养学生的创造能力.深化概念由于整数指数幕，分数指数幕都有意义，因此，有理数指数幕是有意义的，整数指数基的运算性质，可以推广到有理数指数塞,即：(1)ar-a=a+a 0,r,se Q)(2)(a，=as(a 0,r,5 e Q)(3)(ab)r=arbr(Q 0,b 0,re Q)若a0,P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P 5 7-P 5 8-让学生讨论、研究，教师引导.通过本环节 的 教学，进一步体会上一环节的设 计 意图.即：行 的不足近似值，从由小于后的方 向 逼 近 行，垃的过剩近似值从大于、历的方向逼近近.所以，当行不足近似值从小于行的方向逼近时，5&的近似值从小于5 0 的方向逼近5垃.当J 5 的过剩似值从大于J 5 的方向逼近 正 时，5行的近似值从大于5拉的方向逼近5行，(如课本图所示)所以，5女是一个确定的实数.一般来说，无理数指数毒ap(a 0,p是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数慕的性质同样适用于无理数指数累.无理指数幕的意义，是用有理指数暴的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考：2。的含义是什么？由以上分析，可知道，有理数指数幕，无理数指数累有意义，且它们运算性质相同，实数指数 幕有意义，也有相同的运算性质，即：d =/+s(a O jw R,s e R)(ar)s=ars(a 0,r G R,S G R)(a*b)r=arb(a 0,r G 7?)应用例题学生思考，口答，教师板演、通过举例例 136,例 2）求值点评.这二个例2 -1 1 6 -8 3；2 5 2；（-）-5；喻）4.例 2 （P5 6,例 3）用分数指数幕的形式表或下列各式（。0）例 1 解：2 2 8?=Q33 x-=2 3=22=4 ；题 的 解答，巩固所学的分数指数塞a3.a；a2 ；y f/a.2 5 W=(5 2 尸与根式的分析：先把根式化为分数指数累，再由运算性质来运算.3+，1解：.y a=a3=a 5=*；,2 2+2 8Q2 4Q2=Q2=Q 3=a3,=5 叫)=5；5(1)-5=(2-)-5=2(-5)=3 2 ；互化，以及分数指数幕的求值，提高运 算 能y Ja=J a =(排)2=cP.鼾 二(|)4 吟=(2 尸.2 7力.课堂练习：P 5 9 练 习 第 1,2,3,4题补充练习：（2 +l）4.（j _）2 +l1.计算：-?一 的 结 果；4 8-23 8 ,例 2分析：先把根式化为分数指数暴，再由运算性质来运算.解：ay.a=t z3-a22.若%=3,QO=384,1 73H =a 2=a2；求生 （%）；的值.%a2=a2-cP2+2 =a 3 =Q3；y/a=4 2 2=(ay =a?.练习答案：0 4 +41.解：原式 2 622-2-6=2 =5 1 2；12.解:原 式=3X(128)”3=3X2T.归纳1.分数指数是根式的另一种写法.先让学生独 自 回 忆，然后师生巩固总结2.无理数指数幕表示-个确定的实数.共同总结.本节学习3.掌握好分数指数幕的运算性质，其成 果，使与整数指数舞的运算性质是一致的.学生逐步养成爱总结、会总结的习惯和能力.课后作 业：2.1第 二 课 时 习 案学生独立完成巩固新知作业提升能力备选例题例1计算(1)(2 1)+2-2-(2 2-(0.0 1)5.1 2 _ 2(1)(0.0 0 0 1)-4 +(2 7卢-()-2 +(1)-5【解 析】原 式=(0 1 4)-4 +6 3)3 _ (3 2 1 2 +吟)2。=o,l,+3=1 0 +9-+2 7 =.7 7【小结】一般地，进行指数暴运算时，化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.例2化简下列各式：(1 )白 鼻+卿cT，+a ;4(2)f (2 0 x始.【解析】31 1 _ 2 I”3/_ 1 _ 1(1 )原 式=储2 a 2 3 a 3 2a 2=+九-22 7=Q3+(5)5 +(q _ 2)32 7 _2 2_7 _2=。3 3 =。3 6 3_ 1+2 a 2 3 =。6 ；(2)原式二j”；?工十川一：叭蓝4/)3+2 a3Z)3+a3 a3i 1 I 2 I I 2 i73(t 73-2b3)(a3+2a3b3+4 b3)a3：=-2 -1-1-2-1-a 4力3 +2。3方3 +4 。3 一2方31 1!=3 .。3 .3 =Q【小结】(1)指数幕的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数暴化为正指数事的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幕的形式表示，便于用指数运算性质.(2)根据一般先转化成分数指数幕，然后再利用有理指数幕的运算性质进行运算.在(3)利用分数指数幕进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幕的形式,将根式化为分数指数 幕的过程中,性质准确求解.如7(-2)6=(-2)6 2 =(2 6)5 =8一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算但不能既有根式又有分数指数基.2.1.1 指数与指数塞的运算（三）.O.m.n e N*)师：总结完善知，为引m 新课作入a n=f （Q0,加,N ）an2.分数指数基的运算性质.铺垫.a-as a+s(a 0,r e R,se R)(a0/e R,s e R)(a *b)r=a1 bf(a 0,r G R)应例1.（P5 6,例4）计算下列各式（式学生思考，口答，教师板演、点用中字母都是正数）一评.-(1)例1 （先由学生观察以上两个通举2 1 1 1 1 5(2 362)(-6 a2i3)-(-3 a666)式子的特征，然后分析、提问、解答）过这二例1 3分析：四则运算的顺序是先算乘个例题(2)(m 4 n 8)8方，再算乘除，最后算加减，有括号的 解的先算括号的.整数幕的运算性质答，巩及运算规律扩充到分数指数暴后，其固所学运算顺序仍符合我们以前的四则运的分数算顺序.指数嘉我 们 看 到（1）小题是单项式的与根式乘除运算；（2）小题是乘方形式的运的 互算，它们应让如何计算呢？化，以其实，第（1）小题是单项式的及分数乘除法，可以用单项式的运算顺序进指数幕行.的 求第（2）小题是乘方运算，可先值，提按积的乘方计算，再按幕的乘方进行高运算计算.能力.解：（1）原式例 2.(P57例 5)计算下列各式(1)(V 25-A/125)-/252(2),L (0)2 1 1 1 1 5=2 x(6)+(官+3 7=4 而=4a1 3(2)原式=(加)8(户)82 -3=m n例 2分析：在 第(1)小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数 幕再计算，这样就简便多了，同样，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幕后再由运算法则计算.解：(1)原式=1 I 1(2 5?1 2 5 5)+2 5，2 3 1=(5?-5 5)+5 52_ _ 3 _ 2=5 r2 -5 2-i=5 7-5=V 5-5(2)原式a2 2-=“23存 於=#=聒.小结:运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，乂含有负指数.练习答案：课堂练习：化简：2 _ 9 _(1)(囱尸-v io o2；(2)13 +2后-，3-2及；(3)小曲八._2 _2解 原式=3-3 x l()3 x l(n2 11=3x l O；(2)原式=1+行(1 +行)=2；1 1 (3)原式=(3 1)户户3 J_ 3=(Q5)=Q2/强化解题技巧.归1.熟练掌握有理指数幕的运算法先让学生回顾反思,然后师生共巩纳贝IJ,化简的基础.同总结，完善.固本节总2.含有根式的式子化简，一般要先学习成结把根式转化为分数指数暴后再计果，形算.成知识体系.课作业：2.1第三课时 习案学生独立完成巩固新后知作提升能业力备选例题!_1例1已知+j5 =3 ,求下列各式的值.4 +心/+-2；3 _3臣一。5【分析】从已知条件中解出。的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法1从 整 体 寻 求 结 果 与 条 件=3的联系，进而整体代入求值.【解析】(1)将/+/5=3两边平方，得Q +Q-+2 =9.即 Q+G=7.(2)将上式平方，有/+/2+2 =4 9.a2+a2=4 7.3 _ 3 1 I(3)由 于/-a 2=(标)3 _(j2)3-3 3=+。+1=8.【小结】对 条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换 或 求值后代换”两种方法求值.1”,一 八珏 X-l X +1 X-X3例2化简 j +-j-./+/+1 x+l -1【分析】根据本题的特点，须注意到!1 2 1x-1=(x )3-I3=(X，-1).(+/+1),X +1 =(x )3 +13=+1)(%+1),2 1 1 i 1 1x-x=x3(x H2-11=/(3 -l)