人教部编版九年级数学上册全册教案导学案教师备课教案

第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程教学目标【知识与技能】1.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式.2.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根.【过程与方法】1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其他三种特殊形式.3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念.【情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念.【教学难点】通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念.教学过程一、情境导入（课件展示问题）雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2 m,设计者当初设计它的上部（腰以上）与 下 部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为x m,则其上部高为（2m,由此可得到的等量关系如何？它是关于x 的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗？二、探索新知由上述问题，我们可以得到f=2（2-x）,即f+2 x-4=0.显然这个方程只含有一个未知数，且 x 的最高次数为2,这类方程在现实生活中有广泛的应用.探究问题1如图，有一块矩形铁皮，长 100cm,宽 50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四角突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？教师设置如下问题学生讨论：如果设四角折起的正方形的边长为x c m,则制成的无盖方盒的底面长为多少？宽为多少？由底面积为3600m?可得到的方程又是怎样的？讨论结果：设切去的正方形的边长为x c m,则盒底的长为（100-2x）cm,宽为(5 0-2 x)c m.根据方盒的底面积为3 6 0 0 0?,得(1 0 0-2 x)(5 0-2 x)=3 6 0 0.整理，得4-3 0 0 x+1 4 0 0 =0.化简得x 2-7 5 x+3 5 0=0.由次方程可以得出所切正方形的具体尺寸.探究问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？教师提出以下问题，引导学生思考方程的建模过程：(1)这次比赛共安排多少场？(2)若设应邀请x个队参赛，则每个队与其他几个队各赛一场？这样共应有多少场比赛？(3)由此可列出的方程是什么？化简后的方程是什么？讨论结果：全部比赛的场数为4?7 2 8 .设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共g x(x-l)场.列方程 g x(x-l)=2 8.整理，得 g/-g x =2 8.化简，得 f-x =5 6,即x2-x-5 6 =0.观察思考，口答下面的问题：(1)上面的方程整理后含有几个未知数？(2)按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？(3)有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：(1)都只含一个未知数招(2)它们的最高次数都是2次的；(3)都有等号，是方程.归纳总结像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.一般 地，任 何 一 个 关 于 x 的一元二次方程，经 过 整 理，都能化成如下形式ax2+bx+c =0 0).这种形式叫做一元二次方程的一般形 式.其中以2 是二次项，a 是二次项系数；法是一次项，是一次项系数；c 是常数项.想一想二次项系数”为什么不能为0?在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，b.C一定是正数吗？探究问题3 探究问题2中可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，由此可歹U下表：X1 234567891 0.AT-X-56由上表可得，当48时，X2-X-56=0,所以x=8 是 方 程 x-5 6 =0 的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.学生思考方程-5 6 =0 有一个根为x=8,它还有其他的根吗？当k-7 时，x2-x-5 6 =4 9 -(-7)-5 6 =0,故 x=-7 也是方程f-x-5 6 =0 的一个根.归纳总结使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的根.一个一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为百=。，x2=b.三、掌握新知例 1求证：关于x的方程(苏-8?+1 7)/+2/n r+l=0 ,不论 7 取何值，该方程都是一元二次方程.分析：要证明不论，取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m 2-8 机+1 7?0即可.证明：苏-8/+1 7 =(,-4)+14)2?0.伊-4 p+l 0,即(加-4)2+1?0.不论小取何值，该方程都是一元二次方程.例 2 将方程3 x(x-l)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.分析：一元二次方程的一般形式是ax?+bx +c=0(a?0).因此，方程3 x(x-1)=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等.解：去括号，得 3*2-3X=5X+1 0.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x 2-8 x-10=0.其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.四、巩固练习1.在下列方程中，一元二次方程的个数是()3x?+7=0,/+/x+c=0?,(x-2)(x+5)=x2-1?,3/-。=0.A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个2 .已知方程5+m x-6 =0 的一个根是x =3,则m的值为.3.关于x的方程(a-l)f+3x =o 是一元二次方程，则 的取值范围是.4.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数和常数项.(1)4 个完全相同的正方形的面积之和是2 5,求正方形的边长x;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长工答案：L A 2.-13 3.“W 1 4.(1)4x2-2 5=0,其中二次项系数为4,一次项系数为0,常数项为-2 5；(2)x2-2 x-100=0,其中二次项系数为1,一次项系数为12,常数项为-100.五、归纳小结1.本节课要掌握：(1)一 元 二 次 方 程 的 概 念；(2)一元二次方程的一般形式a?+b x+c=0(a?0)和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用.2 .通过这节课的学习，你还有那些收获？布置作业从教材习题2 1.1 中选取.教学反思1.注重知识的前后，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合,师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.3.增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.4.对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.2 1.2解一元二次方程2 1.2.1 配方法第1课时 用直接开平方法解一元二次方程教学目标【知识与技能】1.会利用直接开平方法解形如了=p（p?0）的一元二次方程.2 .初步了解形如（x+）2 =p（p?0）的方程的解法.3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.【过程与方法】在学习与探究中是学生体会类比、转化、降次的数学思想及运用类比进行学习的方法.【情感态度】使学生在学习中体会愉悦与成功感，感受数学学习的价值.【教学重点】熟练而准确地运用直接开平方法求解一元二次方程.【教学难点】探究（X+丁 =p（p?0）的解的情况，培养分类要论的思想.教学过程一、复习导入如果/=，那 么 X 叫 做 a的,记作；如果f=4,那么记作;3的平方根是；0的平方根是:-6 的 平 方 根 是.三、探索新知探究问题 一桶油漆可刷的面积为I S O O d n?,李林用这桶油漆恰好刷完1 0 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗大？教师设置如下问题学生讨论：如果设一个盒子的棱长为xdm,则它的外表面积为多少？1 0 个这种盒子的外表面积的和为多少？由此可得到的方程又是怎样的？你能求出它的解吗？讨论结果：设其中一个盒子的棱长为x d m,则 这 个 盒 子 的 表 面 积 为 d m?.根据一桶油漆可刷的面积，列出方程1 0?6?1 5 0 0.整理，得/=2 5.根据平方根的意义，得 户？5,即修=5,X 2=-5.可以验证，5和-5 是方程的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 d m.归纳总结一般地，对于方程=0，（I ）（1）当 0 0 时，根据平方根的意义，方 程（I ）有两个不相等的实数根司=-，x2=/p （2）当？=0 时，方 程（I ）有两个相等的实数根因=超=0；（3）当 p/2.（5）原 方 程 可 化 为（x-2）2=5.两 边 开 平 方，得x-2=?布，即国=2+/5,%2=2-布.（6）整理，得9/=-4,即/=.因为当?0时，对任意实数X,都有所以此方程无实数根.六、巩固练习1.若f -4x+p=（x+q/，那么p,g 的值分别是（）A.p=4,cp-1 B.p=4,q=-2 C.叶-4,q=2 D.尸-4,q=22.方程3x2+9=0的 根 为（）A.3 B.-3 C.3 D.无实数根3.如果方程2（x-3日=7 2,那么，这个一元二次方程的两根是.4.如果。，方为实数，满足/5 E+62-128+36=0,那么 的值是.5 .解关于x的方程-n.6 .已知方程(x-2)2=/2-l的一个根是x =4,求？的值即方程的另一个根.答案：1.B 2.D 3.9 或-3 4.-85 .当“2 0 时:x+ni=上 品，X FG -m,X2=yf n-；当 0时，方 程(H)有两个不相等的实数根由 =-77,电=-”+)；(2)当片0 时，方 程(I I)有两个相等的实数根不=巧=-；(3)当p0时，因为对任意实数x,都有(x+)2?o,所以方程(I I)无实数根.试一试 师生共同完成教材第9 页练习.八、巩固练习1 .将二次三项式f-4 x+l 配方后得()A.(X-2)2+3 B.(X-2)2-3 C.(X+2)2+3 D.(X+2)2-32 .已知X2-8X+1 5=0,左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是()A.X2-8X+(-4)2=31 B.X2-8X+(-4)2=1C.f+8X+4?=l i D.x2-4x +4=-1 13.如果痴2+2(3-2/n)x+3，-2 =0(机？0)的左边是一个关于x的完全平方式，则，等于()A.l B.-l C.1 或 9 D.-1 或 94.方程x2+4x-5=0 的解是.5.代数式X-；2的值为0,则 x的值为_.x2-16.要使一块长方形木板的长比宽多3d m,其面积为2 8d m 2,试求这块长方形木板的长与宽各是多少.答案：1.B 2.B 3.C 4.X,=1,巧=-5 5.26.设长方形木板的宽为x d m,则长为(x+3)d m.根据题意，得 x(x+3)=2 8.解得7=4,巧=-7(舍 去).故长方形木板的长为7 d m,宽为4d m.五、归纳小结1 .通过本节课的学习，你能用配方法解一元二次方程吗？有哪些需要注意的地方？2 .用配方法解一元二次方程涉及那些数学思想方法？布置作业从教材习题2 1.2 中选取.教学反思1 .本节课重在学生的自主参与，进而获得成功的体验，在数学方法上，仍突出数学研究中转化的思想，激发学生产生合理的认识冲突，激发兴趣，建立自信.2 .在练习内容上，有所改进，加强了核心知识的理解与巩固，提高自己解决问