普通高校招生统一考试试题大全（A卷）数学

A目 录 2021年普通高等学校招生全国统一考试 海南卷理科数学 2021年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷数 学 理 2021年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷数 学 理工类 2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 必修+选修I 2021年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷口理科数学B卷 目 录 2021年普通高等学校招生全国统一考试 海南卷文科数学 2021年普通高等学校招生全国统一考试 江西卷文科数学 2021年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷文科数学 2021年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷数 学 文史类 2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 必修+选修I 2021年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷n文科数学（必修+选修I）2021年普通高等学校招生全国统一考试 海南卷理科数学数 学 理试题头说明：本试卷分第一卷 选择题和 第 二 卷 非选择题两局部，其中第二卷第22-24题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考前须知：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性 签字笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域 黑色线框内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.参考公式：样本数据X1 ,X2 ,.r%的标准参5=一君2 一 区-X)2+(%-X)2其中亍为样本平均数柱体体积公式V=S h其 中5为底面面积，力为高锥体体积公式l/=-S h3其 中S为底面面积，,为高球的外表积、体积公式，4,S=4K/?2,V=-K/?33其中月为球的半径一、选 择 题：本大题共12小 题，每 题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.函数y=2sin(ox+(pa)0)在区间 0,2句的图像如下：那么。=(A.1 B.2 C.-D.-23z2 一 2z2.复 数 z=l i,那么 一-=()A.2z B.-2z C.2D.-23 .如果等腰三角形的周长是底边长的5 倍，那么它的顶角的余弦值为A5 c 3 一 百 7A.B.-C.D.-18 4 2 84.设等比数列 q 的公比q=2,前 项和为Sn,那 么&=a2A C n)15 c 17A.2 B.4 C.D.2 25.删6.力 方 电0,那么使得(1-a,x)2 l(z=1,2,3)者 B 成立的x 取值范围是 r IA.0,k a)(2)B.0,C.a(0,r 3-sin 70 r/.-=I2-cos2100)D五D.-2A?C.28.平面向量a,b 共线的充要条件是)A.a,6方向相同B.a,6两向量中至少有一个为零向量C.3/L e R,bAa D.诙 不 全 为 零 的 实 数4,4 ,=09.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有A.20 种 B.30 种 C.40 种 D.60 种10.由直线=，,m 2 ,曲线y =,及x轴所围图形的面积为2 xA15 c 17 1 ,C r cA.B.C.In 2 D.21n 24 4 211 点P在抛物线V =4x上，那么点P到点。(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点。的 坐 标 为 A.1,C.(1,2)D.(L-2)12.删第二卷本卷包括必考题和选考题两局部 第13题 第21题为必考题，每个试题考生都必须做答 第22题 第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小 题，每 题5分.13.向量。=(0,-1,1),b=(4,1,0),|熊+母=屈 且 九0,那么4=.2 214.设 双 曲 线-已=1的右顶点为力，右焦点为尸.过点尸平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交9 16于 点8,那么用的面积为.15.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的9体积为三，底面周长为3,那么这个球的体积为.O16.从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25根棉花的纤维长度 单 位：m m),结果如下：甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352乙品种：284 292 295 304 306 307312313 315 315 316 318 318320 322 322 324 327 329331333 336 337 343 356由以上数据设计了如下茎叶图甲乙3 1277 5 5 02845 4 2292 58 7 3 3 1304 6 79 4 0312 3 5 5 6 888 5 5 3320 2 2 4 7 97 4 1331 3 6 7343r rr根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比拟，写出两个统计结论：；.三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.本小题总分值12分%是一个等差数列，且%=1，%=-5.I 求 4 的 通 项 勺；n求 4 前项和S n的最大值.18.本小题总分值12分如 图，点 Q在正方体ABC。ABCD的对角线6。上，Z P D A =).I)求OP与C C所成角的大小；口求。与平面A4。所成角的大小.19.本小题总分值12分A 8两个投资工程的利润率分别为随机变量用和X 2.根据市场分析，M和及的分布列分别为M 5%10%*2%P8%12%I)在A 8两个工程上各投资100万 元，K和力分别表示投资工程Z和8所获得的利润，求方差DYl t DY2-,口将x(OWxWlOO)万 元 投 资/工 程，100-%万元投资8工 程，/(x)表示投资/工程所得利润的方差与投资8工程所得利润的方差的和.求/(x)的最小值，并指出x为何值时，/(x)取到最小值.注：D(a X+b)=a2D X20.本小题总分值12分)2 2在 直 角 坐 标 系 加 中，椭 圆G ：5+1=18白0的左、右焦点分别为FY.FI.也是抛物线a bC l:y 2=4x的焦点，点 例 为G与G在第一象限的交点，且I怵I =g .(IJ求G的方程；口平面上的点2满 足 丽=砺 +诟，直 线/I I例/V,且 与G交于2,8两 点，假设。4。月=0,求直线/的方程.21.本小题总分值12分设函数/*)=+一1(a,b e Z),曲线y =/(x)在点(2,7(2)处的切线方程为片3.(I)求/(幻的解析式：n证 明：函数y =/(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；田证 明：曲线)，=/(x)上任一点的切线与直线x=l和 直 线 片x所围三角形的面积为定值，并求出此定 值.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.本小题总分值10分选修4-1:几何证明选讲如 图，过圆。外一点“作它的一条切线，切点为A,过A点作直线A P垂 直 直 线,垂足为P.I）证 明：O M-O P O A1;n N为线段A P上一点，直线N B垂直直线O N，且交圆。于8点 过8点的切线交直线O N于K证明：Z O K M=90 .23.本小题总分值10分选修4-4;坐标系与参数方程r口=也 Y，曲 线G：一 :。为参数，曲 线G：1为参数.y =s i n 夕 J2I 2I指 出G ,G各是什么曲线，并说明G与G公共点的个数；n假 设 把G,G上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线c：,c；.写出G，G的参数方程.C：与G公共点的个数和G与 公 共 点 的 个 数 是 否 相 同？说明你的理由.24.本小题总分值10分选修4-5:不等式选讲函数/(x)=|x-8|-|I .(I)作出函数丁=/(X)的图 像；(H)解不等式,_ 8卜 卜 _4|2.参考答案BBDCA BCDAD AC32 4万(13)3 14 15)15 316.1.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度 或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度。2.甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散.或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中 稳定).甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大.3.甲品种棉花的纤维长度的中位效为307mm,乙品种棉花的纤谁长度的中位数为318mm4.乙品种棉花的纤堆长度根本上是对称的.而且大多集中在中间均值附近.甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值352 外.也大致对称.其分布较均匀.三、解答题(17)解：(1)设%的公差为，由条件，解出4=3,d=2,4+4。=一5所以=4+(n1)J =2n+5o,、1)0 z、22 Sn na H-d=-/?*+4/?=4-(H-2)所以=2时，S“取到最大值4。(1 8)解:如 图，以。为原点，D 4为单位长度建立空间直角坐标系。-巧2。那 么 函=(1,0,0),方=(0,0,1).连结在平面8。力 中，延长。P交8力 于设 丽=(M,M，D(MO),由 而，万=60,由 DADH=网 网 cos(D H,西可得 2m=l2nr+。解 得 加=，所 以 而/也，交2 I 2 2 J(I)-x0+-x 0+1x1 5因为 cos=2-与-=1x72 2所以=45.即OP与。C所成的角为45.n j平面AA77O的一个法向量 是 祝=(0,1,0).x0+xl+lxO因为 cos=2-4-=-1x72 2所以=60.可得。尸与平面4477。所成的角为30：19.解：(i)由题设可知X 和Y2的分布列分别为DP；=(5-6)2X0.8+(10-6)2X0.2=4,R=2x 0.2+8x 0.5+12x 0.3=8,DY2=(2-8)2 X 0.2+(8-8)2 x 0.5+(12-8)2 x 0.3=12.(n j f(x)=D+D100 x100DYt+100-x Y100 JDY2|X2+3(100-X)2 I1002 L 4 o o=y (4%2-600 x+3 X 1002),l OO2当 X=3 2.=75时，/(x)=3为最小值.2x 420.解：I)由：V=4 x知 工(1，0).设 (知 ,),M在 G 上，因为|叫|=g，所以+l =g ,/e2 2A/6彳 导 X i=，y =“在 G 上，且椭圆G 的半焦距c=l ,于是-4 8,-1-=1,0,故所求直线/的方程为y =瓜-2百，或y =+20.21.解:I f(x)=a(x +/?)22。+于是Va一【(因a,/?Z，故 f(x)=XH.x-1n)证 明：函 数 =x ,%=，都是奇函数.X所以函数g(x)=x +，也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形.X而 f(x)=x-l +-+1.X-1可 知，函数g(x)的图像按向量。=(1，1)平 移，即得到函数/(幻的图像，故函数/(幻的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形.(1 1mJ 证 明：在曲线上任取一点飞,由f(x0)=1 J 知，过此点的切线方程为(40一1)一/劣+1=_/T令 x =l 得 y =1(x0 1)(X-Xo)上，切线与直线X=1交 点 为 1，%-1 I毛+1、%0-1令 y =x得 y =2x 0-l ,切线与直线y =x交点为(2%-.直线x =l 与直线y =x的交点为(1,1).从而所围三角形的面积为工上2%)1-1|2x0-