2022-2023学年四川省达州市高二年级上册学期期末监测（文）数学试题【含答案】

2022-2023学年四川省达州市高二上学期期末监测（文）数学试题 一、单选题 1．小明家种植的芝麻晾晒后，黑芝麻和白芝麻均匀地混在一起，从中随机取出一部分，数得500粒芝麻内含有10粒白芝麻，则小明家的芝麻含有白芝麻约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例不变及古典概型的概率公式即可求解. 【详解】设小明家的芝麻含有白芝麻约为，则 由题意可知，，解得， 所以小明家的芝麻含有白芝麻约为. 故选：B. 2．关于线性回归的描述，下列说法不正确的是（    ） A．回归直线方程中变量成正相关关系 B．相关系数越接近1，相关程度越强 C．回归直线方程中变量成正相关关系 D．残差平方和越小，拟合效果越好 【答案】A 【分析】根据线性回归的性质可知：的正负决定正负相关，可判断选项，；根据相关系数的绝对值越接近1，相关性越强，可判断；残差平方和越小，拟合效果越好，可判断选项. 【详解】对于，因为回归直线方程中的，所以变量成负相关关系，故选项错误； 对于，因为相关系数的绝对值越接近1，相关度越强，所以当相关系数越接近1，相关程度越强，故选项正确； 对于，因为回归直线方程中的，所以变量成正相关关系，故选项正确； 对于，因为残差平方和越小，拟合效果越好，所以选项正确， 综上：说法不正确的是， 故选：. 3．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列说法正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】逐项分析即可求解. 【详解】对于A，根据面面垂直的判定即可证明为正确选项； 对于B，如果，那么可能与平行，垂直，相交，故选项错误； 对于C：如果，那么可能平行或相交，故选项错误； 对于D：如果，那么可能平行，异面，或垂直. 故选：A. 4．执行如图所示的程序框图.如果输入的为2，输出的为3，那么（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据循环结构，得到输出的公式，得到，再结合框图，判断的值. 【详解】由程序框图可知，输出的， 则，得，那么判断框图. 故选：C 5．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将曲线方程化为标准方程，再求渐近线方程. 【详解】， 若，，， 若，， 故渐近线方程为， 故选：B. 6．为了了解客流量（单位：人）对纯收入（单位：元）的影响，对某面馆5天的客流量和纯收入统计如表.已知和具有线性相关关系，且回归直线方程为（参考公式：），那么的值为（    ） 100 115 120 130 135 507 589 662 682 A．610 B．620 C．636 D．666 【答案】A 【分析】先计算出，代入回归方程得到，再计算. 【详解】, 则， 则，得， 故选：. 7．若数据的方差为25，则数据的标准差为（    ） A．225 B．76 C．75 D．15 【答案】D 【分析】根据数据的方差的性质，可得的方差，继而得其标准差，即得答案. 【详解】∵若的方差为，则的方差为， ∴数据的方差为25， 则数据的方差为， 故数据的标准差为， 故选:D 8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三视图判断出立体图形并根据圆锥侧面积公式即可求解. 【详解】根据题意，该几何体为圆锥， 圆锥的底面半径为1，高为3， 则该几何体的侧面积是 故选：B. 9．长方体中，为中点，则下列选项中与垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量逐个分析判断即可. 【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为为中点， 所以， 所以， 对于A，，则，所以与不垂直，所以A错误， 对于B，，则，所以与不垂直，所以B错误， 对于C，，则，所以与不垂直，所以C错误， 对于D，，则，所以，所以D正确， 故选：D 10．直线上两点到直线的距离分别等于它们到的距离，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】首先确定点在抛物线上，然后联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示焦半径的和. 【详解】根据抛物线的定义可知，到直线距离和到点的距离相等的点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，抛物线方程为， 所以点是直线与抛物线的两个交点，联立方程， 得，， 而. 故选：C 11．如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断几何体外接球的球心位置，再根据几何关系求外接球的半径，即可计算球的体积. 【详解】如图，三棱柱外接球的球心在上下底面三角形中心连线的中点处，（分别是等边三角形和的中心，点是线段的中点，即外接球的球心），，, 所以球的体积. 故选：D 12．已知动点在直线上，以点和为焦点的椭圆经过点，当椭圆的长轴长最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先作出点关于直线的对称点，利用对称，转化，再利用数形结合，转化为三点共线时，求取得最小值时的点的坐标. 【详解】如图，点关于直线的对称点为， 得，解得：，即， 因为，所以，当点三点共线时，等号成立，此时长轴取得最小值，点时直线与的交点， ，直线， 联立，解得：，即. 故选：C 二、填空题 13．抛物线的焦点也是双曲线的焦点，则___________. 【答案】12 【分析】先利用抛物线求出焦点坐标，结合双曲线性质算出即可. 【详解】∵，故焦点坐标为， ∵抛物线的焦点也是双曲线的焦点， 故，则， 故答案为：12. 14．如图是某核酸采集点6次核酸采集人数的茎叶图，则这6次核酸采集人数的方差为___________. 【答案】3 【分析】首先求平均数，再根据方差公式求解. 【详解】这6次核算采集人数的平均数是， 所以6次采集人数的方差为. 故答案为：3 15．已知是双曲线的一个焦点，的离心率为，是上关于原点对称的两点，.则双曲线的标准方程为___________. 【答案】 【分析】利用对称性，结合双曲线的定义，得，再结合离心率，求得双曲线的方程. 【详解】根据双曲线的对称性，不妨设左焦点，右焦点, 如图，点在右支，点在左支，线段和互相平分， 所以四边形是平行四边形，， 所以，则，又，得，， 所以双曲线方程是. 故答案为： 16．已知，实数满足，，则的取值范围为___________. 【答案】 【分析】由题意可知：表示平面内一点与点的距离的平方加上1. 表示以原点为圆心的单位圆，表示以为圆心，以1为半径的圆的内部，将问题转化为两圆上两点间的距离的最值问题即可求解. 【详解】因为表示平面内一点与点的距离的平方加上1，又因为，所以点在以原点为圆心的单位圆上，因为，所以点在以为圆心，以1为半径的圆的内部，因为两圆相离，所以为两圆心距加上两圆的半径，为两圆心距减去两圆的半径，而两圆心距， 所以，， 故， 也即， 故答案为：. 三、解答题 17．已知圆过原点，圆心在射线上，圆心到轴距离为2. (1)求圆的标准方程； (2)直线与圆交于两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据圆心在射线上，圆心到轴距离为2可得圆心坐标为，设出圆的标准方程，再利用圆过原点即可求解； (2)利用圆心直线的距离，圆的半径，结合垂径定理即可求出弦长. 【详解】（1）由圆心在射线上，圆心到轴距离为2， 设圆的标准方程为， 又圆过坐标原点，得，圆的标准方程为. （2）由（1）知半径， 圆心到直线的距离， 由垂径定理可得：. 18．在某校2022年春季的高一学生期末体育成绩中随机抽取50个，并将这些成绩共分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图.在的成绩为不达标，在的成绩为达标. (1)根据样本频率分布直方图求的值，并估计样本的众数和中位数（中位数精确到个位）； (2)已知50名学生中有22名女生，其中女生体育测试成绩不达标的有8人，那么男生体育测试成绩达标的有多少人？男生体育测试成绩不达标的有多少人？ 【答案】(1)，众数为65，中位数为73 (2)男生体育测试成绩不达标的有12人，男生体育测试成绩达标的有16人 【分析】（1）根据各组频率和为1可求出的值，然后根据众数和中位数的定义求解即可； （2）先根据频率分布直方图求出体育测试成绩不达标和达标的人数，再由50名学生中有22名女生，其中女生体育测试成绩不达标的有8人，可求得结果. 【详解】（1）由频率分布直方图可得， 解得， 由频率分布直方图可知成绩在的最多，所以众数为65， 因为前两组的频率和为，前三组的频率和为， 所以中位数在第三组， 设中位数为，则， 解得， 所以中位数约为73； （2）由频率分布直方图可知体育测试成绩不达标的人数为 ， 则体育测试成绩达标的人数为30人， 因为50名学生中有22名女生，其中女生体育测试成绩不达标的有8人， 所以男生体育测试成绩不达标的有12人，男生体育测试成绩达标的有16人. 19．已知等差数列中，，，的前项和为. (1)求和； (2)，，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题中条件求出的值，进而可求得和； （2）推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，可得， ，. （2）解：，则，且， 所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为， 因此，. 20．如图，在四棱锥中，面，，点分别为的中点，. (1)证明：直线平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化证明，即可证明线面平行； （2）利用线面关系，将点到平面的距离转化为求点到平面的距离，利用垂直关系，即可求解. 【详解】（1）证明：点分别为的中点， . . 平面平面， 平面. （2）过作于. 平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离. 又点为的中点， 点到平面的距离等于点到平面的距离一半. 底面. 又平面. 平面平面. 平面. 由，得， 由， 得，则点到平面的距离为. 点到平面的距离为. 21．已知过圆上一点的直线与该圆另一交点为为原点，记. (1)当时，求的值和的方程； (2)当时，，求的单调递增区间. 【答案】(1)，的方程为或； (2)单调递增区间为. 【分析】（1）利用余弦定理求出，结合，得到的值，设出的方程为，利用垂径定理求出，得到直线方程； （2）根据，得到，代入中，化简得到，利用整体法得到函数的单调递增区间. 【详解】（1）点在圆上， . ， ， ， ∴， 由条件得到的距离为， 不与轴垂直， 设的方程为，即， ， 解得：，或， 所以的方程为或； （2）当时，， 由得 . 当且仅当， 即时，单调递增， 所以的单调递增区间为. （备注：也是对的）. 22．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长､短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，离心率等于，面积为. (1)求的标准方程； (2)若，过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)最大值为6 【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，可求椭圆方