2022年北京市海淀区高考数学一模试卷及答案解析

2022年北京市海淀区高考数学一模试卷一、选择题共10小题。每小题4 分。共 40分。在每小题列出的四个选项中。选出符合题目要求的一项。53.（4 分）复数的虚部为（）1.(4 分)已知集合4=-1,0,1,2),B=xx(x-2)田”是“对于任意6N*且 W3,SnS3”的（）8.（4 分）已知圆C 过点A（-1,2）,8（1,0）,则圆心C 到原点距离的最小值为（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.(4 分)若函数 y=sin(nx在 0,)上单调递增，则7的最大值为（）1 1A.-B.-3 22C.-D.131y2A.-B.一2 2C.1 D.V239.（4 分）如图，A,3 是两个形状相同的杯子，且 3 杯高度是A 杯高度的二，则 3 杯容积4与 A 杯容积之比最接近的是（）第 1页 共 1 6 页UuA BA.1：3 B.2：5 C.3：5 D.3：41 0.(4分)已知函数/1(x)=2X,g(x)=l o g o X,若 对 于 图 象 上 的 任 意 一 点P,在g(x)的图象上总存在一点Q,满足。P，。，且|O P|=|O Q|,则实数。=()11A一 B.-C.2 D.442二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。1 1.(5分)双 曲 线/一4=1的 渐 近 线 方 程 为.1 2.(5分)已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球.现从这8个球中随机选取一球，该 球 是 白 球 的 概 率 是，若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是.1 3.(5分)已知函数/(x)的值域为-3,3,f(x)的图象向右平移1个单位后所得的函数图象与/(x)的图象重合，写出符合上述条件的一个函数/(x)的解析式：.1 4.(5分)若族 启=A B 2=4,且|6|=1,则|6|=的最大值为.1 5.(5分)如 图，在正方体A 8 C D-A i B i C i。中，E为棱8 1 c l的中点.动点尸沿着棱0 c从点。向点C移动，对于下列三个结论：存在点P,使 得%i=P E；以i E的面积越来越小；四 面 体 的 体 积 不 变.所 有 正 确 的 结 论 的 序 号 是.第2页 共1 6页三、解答题共6 小题。共 85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。1 6.(1 4 分)在 4 B C 中，62+C2-a2+f e c=0.(I )求NA的大小：(1 1)再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使得 A B C 存在，求AABC的面积.条件：cosB-条件：s i n C=苧；条件：a=V 3.1 7.(1 4 分)如 图，已知长方体 A B C。-AIBICICI 中，A B=A D=2,A A i=.E 为 的中点，平 面 C B i E 交 投 于 点F.(I )求证：B iCE F；(I I)求二面角C-B iE-C的余弦值，并求点A到平面CB iE的距离.1 8.(1 4 分)某班组织冬奥知识竞赛活动.规定首轮比赛需要从6 道备选题中随机抽取3道题目进行作答.假设在6 道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是|且每道题正确完成与否互不影响.乙能正确完成其中4道题且另外2 道题不能完成.(I )求甲至少正确完成其中2道题的概率；(I I)设随机变量X表示乙正确完成题目的个数，求 X的分布列及数学期望E X；第 3 页 共 1 6 页(I l l)现规定至少正确完成其中2道题才能进入下一轮比赛，请你根据所学概率知识进行预测，谁进入下一轮比赛的可能性较大，并说明理由.X V1 9.(1 4 分)已知点 A (0,-1)在椭圆 C：+=1 .3 b2(I )求椭圆C的方程和离心率；(I I)设直线/：y=k(x-1)(其 中 吐 1)与椭圆C交于不同两点E,F,直线A E,A F分别交直线x=3于点例，N.当 的 面 积 为 3 百 时，求出的值.2 0.(1 5 分)函 数/(x)a-s i n x+2 x.(I )求曲线)，=/(x)在 点(0,/(0)处的切线方程；(I I)当 a 2 0 时，求函数f(x)在 0,1 上的最小值；(I I I)直接写出a的一个值，使f (x)Wa恒成立，并证明.n,j 6 l,2,n ,都有劭C 0,1 .a12QR2 1.(1 4 分)已知n行n列(2 2)的数表A=1 2 1a222n 1 中，对任意的工口，2,an2,ann/若 当 劭=0时，总有 陶砌劭则称数表A 为典型表，此 时 记sn=邓=1 a j-(0(1 )若数表B=(11 0 0：，请直接写出B,C是否是典型表;0 1 1/(I I)当”=6 时，是否存在典型表A使得S 6=1 7,若存在，请写出一个4若不存在,请说明理由；(I I I)求 的最小值.第 4 页 共 1 6 页2022年北京市海淀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题。每小题4 分。共 40分。在每小题列出的四个选项中。选出符合题目要求的一项。1.(4 分)已知集合A=-1,0,1,2),8=4 t (x-2)0 ,则 AAB=()A.0 B.0【解答】解：集合A =-1,0,1,2,8=小（x-2）0=x 0 x=-C.-1 D.15(2-i)_(2+0(2-i)=2故选：C.4.（4分）在（x-5）4 的展开式中，x的系数为（）X/A.-4 B.4 C.-6 D.6【解答】解：（一/）4 的展开式的通项公式为7Q=C（-1）/一3。令 4-3 r=1,求得r=l,可得展开式中x的系数为-或=-4,故选：A.5.（4分）已知角a 的终边在第三象限，且 t an a=2,则 s in a-c o s a=（）第5页 共1 6页底 V 5A.-1 B.1 C.一9 D.55【解答】解：因为角a的终边在第三象限，且t an a=2,所以 co s a=-=J I=一洛 可得 s in a=V l cos2a=-所以 s in a-co s a=一 弓 一（-恪）=一故选：C.6.（4分）已知 即 是等差数列，8是其前项和，则“网。3”是“对于任意 N*且“#3,SnS3”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解答】解:因 为 斯 是等差数列，设公差为d,若。4。3，即a4 -“30，也即 d0,当M=1时，S|S3显然不成立，故由不能推出“对于任意e N*且 W 3,S5 3”；反之，“对于任意 N*且 W 3,S”S3”可以推出4“3，即“对于任意 N*且#3,S”S3”=4 0,理由如下：用反证法说明：如果dS3”；如果d=0,则数列 如 为常数数列，显然S A S 3在W3且6 N*时不成立；故假设不成立，即d0,所 以4 3”是“对于任意 N*且#3,S n S 的必要不充分条件，故选：B.7.（4分）若函数y=s in 在 0,，上单调递增，则，的最大值为（）112A.B.-C.D.13 2 3【解答】解:由y=s in （T LV看），可得当一为+2匕TWT T X1W *+2内r,k W Z时函数单调递增，即J I日一方+2 a+2灯，依Z,1 2当k=0时，无 一 东-,第6页 共1 6页又函数在 0,刈上单调递增,7 2所以0V S可 即m的最大值为故选：C8.(4 分)已知圆。过点A (-1,2),B(1,0),则圆心。到原点距离的最小值为()1 V 2 lA.B.C.1 D.V 22 2【解答】解：根据题意，设圆心。的坐标为G,y),圆。过点 A (-1,2),B(1,0),则 有(x+1)2+(y 2)2=(x-1)2+(厂 0)2,变形可得：x -H-1=0,即圆心C在直线x-y+l=0 上，圆心C的轨迹为直线x -1=0,则圆心C到原点距离的最小值即原点到直线X-k 1=0 的距离，则其最小值d=-7=422，故选：B.39.(4 分)如 图，A,8是两个形状相同的杯子，且 8杯高度是4杯高度的一，则 B杯容积4与 A杯容积之比最接近的是()UuA BA.1：3 B.2：5 C.3：5 D.3：43【解答】解：因为A,B是两个形状相同的杯子，且 8杯高度是A杯高度的二，4所以底面半径比也是4所以两个杯子的底面积之比为%：S/=($2,所以3 杯容积与A杯容积之比 巨=(-)2 x -=0.4=2：5,SAhA 4 4 6 4故 选:B.1 0.(4分)已知函数/(x)=2X,g(x)=k)g x,若对于.f (x)图象上的任意一点P,在 g(x)的图象上总存在一点Q,满足OPLOQ,且|O P|=|O Q|,则实数。=()第 7 页 共 1 6 页1 1A.-B.-C.2 D.44 2【解答】解：设点尸（x,2X）,点 Q （b,y）,当x=0 时，点 尸（0,1）,根据指数函数与对数函数的性质知，此时。（1,0）,显然满足条件；当1#0,y WO,由 O P _L。，2X y v矢 口 kop*koQ=-1，即一 =-L 即 b=-2X（*）,x b x又|O P|=|O Q|,知J（2，）2 +%2 =J-2 +y 2,即 x2+22-v=y2+/?2,将（*）式 代 入,得？+2!=六（-2X）2=y2+-22 x=（x2+22 x）,由于2 0,有，+2 标 0,y 2因此有巨=1,即y 2=/,即y=i,由于b 0,2x0,所 以（*）式可知y=x 不满足条件，则有y=-x,八、口 2 b ax ax 弓尸代 入（*）式得一=-.=-=-，x y-x x x所以工=2,故。=ia n故选：B.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。1 1.（5 分）双曲线/一）=1 的渐近线方程为y=土 程.【解答】解：双曲线标准方程为/4=1,其 渐 近 线 方 程 是 4=0,整理得y=2 x.故答案为=力：.1 2.（5 分）已知甲盒中有3 个白球，2个黑球；乙盒中有1 个白球，2个黑球,现从这8 个7球中随机选取一球，该球是白球的概率是，若选出的球是白球，则该球选自甲盒1 59的 概 率 是.一1 4一【解答】解：从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是P=ix|+i x|=,乙 O 乙 O x O第8页 共1 6页若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率 是 尸=空=白，157 9故答案为：:.15 141 3.(5分)已知函数fG)的值域为-3,3,/(x)的图象向右平移1 个单位后所得的函数图象与/G)的图象重合，写出符合上述条件的一个函数/(x)的解析式：f(x)=3s i n(2 wc)(x R),【解答】解：考虑/(x)=3s i n(2TTX)(XG R),可得/(x)的值域为-3,3,且/.(%)的最小正周期为1,/(%)的图象向右平移1 个单位后所得的函数图象与/G)的图象重合.故答案为：/(x)=3s i n(2 nx)(x G R).1 4.(5分)若 而 A =48 2=4,且|&|=1,则|1|=2 ,H的最大值为-2 .T T【解答】解：因为48 2=%所以|=2,因为(A P-A C)-A B =A P-A B -A C-A B =A P-A B -A B A C=A P-A B-4=A PA B cos-4=*2-cos-4=2 cos-4 W-2,当=0时，等号成立.所以方我 的最大值是-2,故答案为：2；-2.1 5.(5分)如 图，在正方体AB C。-4B 1 C 1 D 1 中，E 为棱B1G的中点.动点P沿着棱。C从点。向点C移动，对于下列三个结论：存在点P,使得办i=P E；B 4i E的面积越来越小；四面体A PB E的体积不变.所有正确的结论的序号是 .第9页 共1 6页【解答】解：以O为坐标原点，DA,D C,。所在直线为x轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2,则 Ai(2,0,2),E (1,2,2),设 P (0,m,0)(0W m W 2),则P A】=V 4 +m2+4