2022年北京市西城区高考数学一模试卷及答案解析

2022年北京市西城区高考数学一模试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.(4 分)己知集合 4=R-3V x W 2,B=x-2x 3,则 4 U8=()A.(-3,3 B.(-3,3)C.(-3,2J D.(-2,22.(4分)在复平面内，复数z=(l+2i)i对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.(4 分)在ABC 中，若”=2,b 3,cos(A+B)=则 c=()A.V 17 B.4 C.V 15 D.3%2 y2 R4.(4分)若双曲线C：/一 氤=1的一条渐近线方程为y=鄂，则双曲线C的离心率为()5.(4分)如 图，在直三棱柱A8C-A山C i中，点E,F分别是棱Ai。，B C的中点，则下列结论中不正确的是()A.CCj 平面 A1A881B.AF平面 Ai Bi CiC.M平面A1A881D.A E/n B B C C 6.(4分)已知函数/(x)=gX 0A.a 0 C.D.心 17.(4分)已 知 “”为等比数列，S 为其前 项和，若S 2=3a i,a 22a 3,则S 4=()A.7 B.8 C.15 D.318.(4分)已知函数f(x)的图象在区间 0,2上连续不断，则”/(0)+f(l)+f(2)=0”是“(X)在 0,2上存在零点”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件第1页 共2 0页C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.（4分）按 照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%,新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.h”于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A/?）,放电时间f（单位：/?）与放电电流/（单位：A）之间关系的经验公式：C=F 3其 中 为 常 数.为了测算某蓄电池的P eukert常 数n,在电池容量不变的条件下，当放电电流/=2 0 A时，放电时间f=20/z；当放电电流/=30 A时，放电时间f=10/7.则 该 蓄 电 池 的 常 数“大 约 为（）（参考数据：/g2=0.30,收3=0.48.）4 5 8A.-B.-C.一 D.23 3 310.（4分）设集合A的最大元素为M,最小元素为?，记A的特征值为XA=M-?，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知Ai,A2,A 3,，4是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集，且XA+X&+X/+X/=1 2 0,则的最大值为（）A.14 B.15 C.16 D.18二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.（5分）在（4-3 6的展开式中，常数项为.（用数字作答）12.（5分）已知点A（2,4）在抛物线C：/=2 p x上，尸为抛物线C的焦点，O为坐标原点.则抛物线C的方程为；ZSAO尸的面积为.13.（5分）在长方形ABC。中，|我|=1,晶 =g/1，且6 族=元）族，则|元）|=,AE-AC =.14.（5分）已知函数f（x）+是偶函数，则。的一个取值为 _ _ _ _ _ _ _.vsinx,x 0,3 0,0 p T t)的部分图象如图所示，在条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知.(I )求函数/(X)的解析式；(I I )设函数g(x)=/(%)co s(2 x+亨)，若g (尤)在区间 0,词上单调递减，求机的最大值.条件：c-a =,条件：b=*条件：c=卷.第3页 共2 0页1 8.（1 4 分）2 0 2 1 年 7月 1 1 日 1 8时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台2 0 2 1年首次发布暴雨橙色预警.中央气象台预计，7月 1 1 日至1 3 日，华北地区将出现2 0 2 1年以来的最强降雨.如表是中央气象台7月 1 3 日2：0 0 统计的2 4 小时全国降雨量排在前十的区域.北京密山东乐河北迁山东庆北京怀河北海河北唐天津渤河北丰山东长云陵西云柔兴山海南清4平台1 8 0 毫1 75 毫1 4 4 毫1 4 4 毫1 4 3 毫1 4 0 毫1 3 0 毫1 2 7毫1 2 6 毫1 2 6 毫米米米米米米米米米米（1 ）从 这 1 0 个区域中随机选出1 个区域，求这个区域的降雨量超过1 3 5 毫米的概率;（H ）从 这 1 0 个区域中随机选出3个区域，设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数量，求 X的分布列和期望；（I I I）在 7 月 1 3 日2：（X）统计的2 4 小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过1 4 0 毫米的区域降雨量的方差为黄，降雨量在1 4 0 毫米或1 4 0 毫米以下的区域降雨量的方差为受，全部十个区域降雨量的方差为sR试判断4，sj,s 女的大小关系.（结论不要求证明）1 9.（1 5 分）已知函数/（x）=（/+以+1）.（I ）若=0,求f（x）在 点（0,/（0）处的切线方程；（H）若f（X）在（-1,1）上恰有一个极小值点，求实数4的取值范围；（I I I）若对于任意X 6 （0,刍，f（x）（，cos x+l）恒成立，求实数的取值范围.2 0.（1 5 分）已知 椭 圆 各苴=1的焦点为尸（2,0）,长轴长与短轴长的比值为近.（I ）求椭圆M 的方程；（I I ）过点尸的直线/与椭圆例交于4,8两点，B C L x 轴于点C,轴于点O,第 4页 共 2 0 页直线BD交直线x=4 于点E,求(?)与EAB的面积之比.21.(15 分)已知数列 4：ai,02,a、(N 2 4),其中 m,a z,twW Z,且 01Va2V，aN满 足 的=%，a.=1N，当 i=2,3,N-1 时，a、=a j i +1或 的+1-l,则称4a2，O N为数列A 的“紧数列。例如,数列 A：2,4,6,8 的所有“紧数列”为 2,3,5,8；2,3,7,8；2,5,5,8；2,5,7,8.(I)直接写出数列A：1,3,6,7,8 的所有“紧数列 4(I I)已知数列A 满足：a =l,a N=2 N,若数列A 的所有“紧数列”4 均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A 的个数为N+1；(III)已知数列4 满足：ai=0,G=2,对于数列A 的一个“紧数列”4,定义集合SQ4)=.一 闻 1 =2,3,N-1 ,如果对任意x=S(4),都有 x C S(4),那么称4 为数列A 的“强紧数列”.若 数 列 A 存 在“强紧数列”，求 4N的最小值.(用关于N 的代数式表示)第5页 共2 0页2022年北京市西城区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.(4 分)已知集合 A=x|-3 Vx W 2 ,8=x|-2 x W 3 ,贝iAUB=()A.(-3,3 B.(-3,3)C.(-3,2 D.(-2,2【解答】解：,集合A =x|-3 x W 2 ,B=x|-2 x W 3 ,；.A U B=3 -3 0A.2 0 C.D.a l第7页 共2 0页【解答】解：当x 0 时，/(x)=6-3 r（-2）r%,6 3 r令F-=，解得=2，则展开式的常数项为C看（一 2/=1 5 X 4=6 0,故答案为：6 0.1 2.（5分）已知点A （2,4）在抛物线C：=2 无上，尸为抛物线。的焦点，。为坐标原第 9页 共 2 0 页点.则抛物线C 的方程为 B=8X；A O F的面积为 4 .【解答】解：点A （2,4）在抛物线C：V=2 p x 上，尸为抛物线C 的焦点，二 1 6=4 p,解得 p=4,故抛物线C 的方程为=8 x,11则A。的面积 SMOF=2 I O FI MI =ZX 2X4=4.故答案为：V=8 x；4.1 3.（5 分）在长方形 488 中，|4 B|=1,B E=B C,S.AB -AE=AD-A E,则|皿=A E-A C=2.【解答】解：由题可知而L AD,AB =1,AD=B C,AE=AB +B E=AB +B C =AB +A D,AC =AB +AD,：AB -AE=AD AE,T 1T *T 1 ：.AB （A B +专 A D）=AD（AB+寸。），T 1T可得 A B?=j A D2,：.AD=V 3,：.AE-AC =（AB+1/W）-（AB +A D）=A B2+A D2=l+|x 3=2.故答案为：V 3；2.1 4.（5分）已知函数/（x）=。5（”+），”之 是偶函数，则。的 一 个 取 值 为，（答sinx,x 0 2案不唯一）.【解答】解：/（X）是偶函数，.,.若 x 0,则/（-x）=f（x）,即 c o s （-x+0）=s i n x,B|J。=狎 可，7 1故答案为：（答案不唯一）.1 5.（5分）在棱长为1 的正方体A B C。-A i B i Ci D中，过点A的平面a 分别与棱B8I,CCI,交于点E,F,G,记四边形A E F G 在平面B CC1 8 1 上的正投影的面积为S i,四边形第 1 0页 共 2 0页A E F G在平面AB B iAi上的正投影的面积为S2.给出下面有四个结论：四边形A E F G是平行四边形；S I+S 2的最大值为2；1&S 2的最大值为二；4四边形A EFG可以是菱形，且菱形面积的最大值为当.则其中所有正确结论的序号是 .【解答】解：对于：平 面A E F G分别与平面B CC1 1,平 面A O C M 1,平面平面 C)O i Cl 交于 EF,AG,AE,GF,易知平面 B CC1 B 1 平面 ADDA,则 A G/EF,平面 A B B i A i平面 C DDC,则 AE/GF,所以四边形A EFG是平行四边形，故正确；以A为原点，AB,AD,A 4 i分别主坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，记点G在平面B CC1 B 1上的投影为点，点 凡G在平面A B B 1 4上的投影为点/,J,设 B E=a,C F=b,D G=c,其中 O W a,b,c W l,则 E(1,0,a),F(1,1,b),G(0,1,c),A (0,0,0),所以4 E=(1,0,a),GF =(1,0,b-c),由知4 E=G F,所以 b=a+c,0 a 1则 0 W a+c W 1,易得 S i=B EX B C=a,S 2=A B X A J=c,所以 S 1+5 2 W 1,故错误；.0 c 1a+c i -1S 1 S 2 =4 CW (-)2 1,当且仅当4 =$b=l时取等号，故正确；AF=(1,1,b),EG=(-1,1,c-a),令=-1 +1+b C c-a)=0,可得 c -a=0,第1 1页 共2 0页c=ab =2a 1,则此时A R L E G,平行四边形是菱形，而此 时 赤=(1,1,2 a),而=(-0 为矩形，AD LCD,：.AD.CD,尸。两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系。-盯z,则 C(0,4,0),P(0,0,2),E(2,3,0),：.PC=(0,4,-2),CE=(2,-1,0),设平面PCE的一个法向量为n=(x,y,z),则E =2 x-y =0,令 I 则 y=2,z=4,n-PC=4y-2z=0平面PCE的一个法向量为蔡=(1,2,4),：Pr_L平面ABC。，取平面ACE的法向量为罚=(0,0,1),贝 i cos n,_ 4_I 凶 I =lxJl+4+16421-21_,4A/21由图可知二面角P-C E-A 为锐角，所以二面角P-C E-A 的余弦值为一 丁.17.(13分)已知函数f G)=Asin(a)x+0,3 0,0 p X2,则 40,f(X)与/(X)的情况如下：X(-8，-J )-1 (-1 ,-a-1)-a-(一。-1,+8)f (x)+0-04-f(X)单调递增极大值 单调递减极小值单调递增若/G)在(-1,1)上恰有一个