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2019-2020学年高二下学期期末数学模拟试卷一、单选题(本题包括12个小题,每小题3 5,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1.如图,用5种不同的颜色把图中A、3、C、。四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有()C.240 种 D.180 种2.函数/(%)在其定义域内可导,其图象如图所示,则导函数y=/(x)的图象可能为O4.已知i是虚数单位,复数2满足(l+j)z=-2 i,则 国=()A.0 B.-i C.2 D.15.若函数/(x)满足:对任意的x,y e R,都 有/(x+y)=/(x /(y),则函数/(x)可能是()A./(x)=3*B.H(X)=C./(x)=lgx D./(x)=sinx6.命题P:“V x N O p W”的 否 定 力 为()A.o,2J 0,2%0,2X 0,2 x27.如图,梯形 ABC。中,A D/B C,A D=A B =1,A D A B,N B C D =45,将沿对角线 折 起,设折起后点A的位置为A,,使二面角A B D C为直二面角,给出下面四个命题:A!DL B C,三棱锥A BCD的 体 积 为 也;8,平面A B O;平面A 3C _ L平面A D C;其6中正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.42兀 2兀8.在直角坐标系中,若角。的终边经过点P(s i n ,c o s ),则s i n(;r -a)=()3 3A 1 R 百 01 n 62 2 2 29.已知复数4 =c o s x +2/(x)i,z 2=(百s i n x +c o s x)+i,x e R.在复平面上,设复数z 1,z?对应的点分别为Z-Z2,若N Z Q Z 2=9 0。,其中。是坐标原点,则函数/W的最大值为。10.1B.一4一x+6,x 2,21c.21D.-2,(a 0,且a。1)的值域是 4,+8),则实数”的取值范围是_4已知函数x)=2 的实数X的取值范围.18.已知(2x+1)”的展开式前两项的二项式系数之和为1.JX(1)求的值.(2)求出这个展开式中的常数项.19.(6 分)在棱长为1的正方体ABC。-中,。是 AC的中点,E是线段DiO上一点,且 DiE=AEO.(1)若入=1,求异面直线DE与 CDi所成角的余弦值;(2)若平面CDE_L平 面 CDiO,求人的值.2 0.(6 分)如图,四棱锥P-A B C D 中,底面A B C D 是边长为2的正方形,PB工BC,PDlCD,且 P A =2 ,E 为 P D 中点.(D 求证:P 4 _ L 平面A B C D;(I I)求二面角B-A E-C 的正弦值.2 1.(6 分)2 0 1 9 年 6月湖北潜江将举办第六届“中国湖北(潜江)龙虾节”,为了解不同年龄的人对“中国 湖 北(潜江)龙虾节”的关注程度,某机构随机抽取了年龄在2 0 7 0 岁之间的1 0 0 人进行调查,经统计“年轻人”与“中老年人”的人数之比为2:3。关注不关注合计年轻人3 0中老年人合计5 05 01 0 0(1)根据已知条件完成上面的2 x 2 列联表,并判断能否有9 9%的把握认为关注“中国湖北(潜江)龙虾节”是否和年龄有关?(2)现已经用分层抽样的办法从中老年人中选取了 6人进行问卷调查,若再从这6人中选取3 人进行面对面询问,记选取的3 人中关注“中国湖北(潜江)龙虾节”的人数为随机变量求&的分布列及数学期望。附:参考公式左2n(ad-be)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中 n=a+b+c+d o临界值表:2 2.(8 分)数 列 q 满足 S“=2 a,(e N*).P(k2 2 kJ0.050.0100.001k。3.84 16.63510.82 8(1)计算为,生,。3,并由此猜想通项公式4;(I I)用数学归纳法证明(I )中的猜想.参考答案一、单 选 题(本题包括12 个小题,每小题3 5,共 60分.每小题只有一个选项符合题意)1.D【解析】【分析】根据题意可知,要求出给四个区域涂色共有多少种方法,需要分步进行考虑;对区域A、B、C、D按顺序着色,推出其各有几种涂法,利用分步乘法计数原理,将各区域涂色的方法数相乘,所得结果即为答案.【详解】涂 A有 5 种涂法,5 有 4 种,。有 3 种,因为。可与A同色,故。有 3 种,由分步乘法计数原理知,不同涂法有5 x 4 x 3 x 3 =180种.故答案选D.【点睛】本题考查了排列组合中的涂色问题,处理区域涂色问题的基本方法为分步乘法计数原理.2.C【解析】【分析】函数的单调性确定了(X)的符号,即可求解,得到答案.【详解】由函数/(X)的图象可知,函数/(X)在自变量逐渐增大的过程中,函数先递增,然后递减,再递增,当x ()时,函数“X)单调递增,所以导数r(x)的符号是正,负,正,正,只有选项c符合题意.故选:C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数符号之间的关系,其中解答中由/(X)的图象看函数的单调性,得出导函数/(X)的符号是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.3.D【解析】试题分析:函数)=2*2-/1在-2,2上是偶函数,其图象关于y轴对称,因为“2)=8-e2,0 8-e2 f(y),r.B不对.对于C,f(x+y)=l g(x +y)w l g xg x =f(x).f(y),.C不对.对于O,f(x +y)=s i n(x +y)=s i n x co s y+co s x s i n y s i n x-s i n y =f(x)f(y),;.D不 对,故 选A.【点睛】本题考查了函数的解析式的性质以及指数的运算、对数的运算、两角和的正弦公式,意在考查对基本运算与基本公式的掌握与应用,以及综合应用所学知识解答问题的能,属于基础题.6.C【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【详解】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命 题 八VX.O,2、F”的 否 定 力 为 上 厘),2%片,故选:C.【点睛】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基本知识的考查.7.C【解析】【分析】取BD中点0,根据面面垂直性质定理得A o,平面B C Q,再根据线面垂直判定与性质定理、面面垂直判定定理证得C D 1平面A B D以及平面ABC,平面A D C;利用锥体体积公式求三棱锥4 -B C D的体积,最后根据反证法说明ADLBC不成立.【详解】因为AQ=AB=1,A D Y A B,所 以 八 钻 )为等腰直角三角形,因为 ABC,N B C D =45。,所以乙4。=135,/8。=1 3 5 -4 5 =9 0 从 而3DC为等腰直角三角形,CD=BD=6取BD中点o,连接4 0 =、一,如图,2因为二面角4 C为直二面角,所以平面ABD 平面B C D,因为VA8D为等腰直角三角形,所以A O,8D,BO =平面4 8。平面BCD,A,Ou平面A3O,因此A。_L平面B C D,所以三棱锥A -B C D的体积为1。、丫 曲 二 勾 也 义 乙 血 了;也,正确;3 3 2 2 6因为4。_L平面B C D,COu平面B C D,所以 A O_L CO,因为3。l CD,AOI B D =O,A O,B D u平面4 8。,所以CD_L平面ABD;即正确;因为C D,平面ABZ),A 3u平面ABD;所以CD_LA8;由已知条件得ADI.AB.CDl 4。=。,4。,。匚平面4。,因此4 8,平面4。,因为48=A O,A O,A O u平面 A 6 D,所以 8C J_平面 AB。;因为3。_1 _平面 A6E;即BC1 BD,与KBD=矛盾,所以不正确;故选:c【点睛】本题考查面面垂直性质与判定定理、线面垂直判定与性质定理以及锥体体积公式,考查基本分析论证与求解能力,属中档题.8.C【解析】分析:由题意角a的终边经过点P(sin y,c o sy),即点P吟,一,利用三角函数的定义及诱导公式,即可求解结果.详解:由题意,角。的终边经过点P(s in g,c o sg),即点p(,_L),则 r=QH=J(争+(-y=1,V 1由三角函数的定义和诱导公式得sin(-a)=sin a=2=一二,故选c.r 2点睛:本题主要考查了三角函数的定义和三角函数诱导公式的应用,其中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.9.B【解析】【分析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【详解】据条件,Z(cosx,2/(x),Z?(Gsinx+cosx,l),且OZ OZ?,所以,cosx V3sinx+cosxj+2/(x)=0,化简得,/(x)=sin 2x+j-,当 s i n (2x +=-1 时,/(x)=-!s i n j 2x +-J 取得最大值为.2 时,分类讨论a的范围,依据函数的单调性,求得a的范围,综合可得结论.-x+6,x 0 且 加)的 值 域 是 1,+8),3+logax,x 2故当烂2 时,满 足 f (x)=6-x Nl.若 a L f (x)=3+log,x 在它的定义域上单调递增,当 x 2 时,由 f (x)=3+logax l,logax l,loga2l,la 2.若 O V a V L f (x)=3+log a X 在它的定义域上单调递减,f (x)=3+log a X 3+loga2 3,不满足 f (x)的值域是 1,+oo).综上可得,lVa、2,故答案为:B点睛:本题主要考查分段函数的应用,对数函数的单调性和特殊点,属于中档题.分段函数的值域是将各段的值域并到一起,分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起,分段函数的最值,先取每段的最值,再将两段的最值进行比较,最终取两者较大或者较小的.11.D【解析】分析:先求导,再 求 函 数 在 区 间 上 的 最 大 值.详解:由题得/(X)=-1,令/一 1=0,x =0.因为/(_l)=e T+l=,+l,/(l)=e i _ =e _l,/(O)=_ 0 =.e所以函数在区间 T,l 上的最大值为e-1.故答案为D.点睛:(1)本题主要考查利用导数求函数的最值,意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)设 y =/(x)是定 义 在 团 区 回 句 上 的 函 数,y =/(x)在(。,。)内有导数,可以这样求最值:求出函数在(a,。)内的可能极值点(即方程r(x)=O 在(。,3内的根玉,Z);比较函数值/(a),/S)与/(%)(/),(Z),其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.12.A【解析】分析:函数是连续的,故在闭区间上,/(x)的值域也是连续的,令 A W6,根据不等式的性质可得正确;利用特值法可得错误,从而可得结果.详解:函数是连续的,故在闭区间上,/(x)的值域也是连续的,令 A W3,对于,A+B 2空0=8,故正确.2A0/、,对于若腔。则 小)=房无意义,故错误.对于,/(力=%24 时,不存在x w (),l,使得=故错误.对于,4 8 可能为0,则/()=T 无意义,故错误,故选A.H-A B点睛:本题主要通过对多个命题真假的判断,主要综合考查函不等式的性质及连续函数的性质,属于难题.这种题型综合性较强,也是高考的命题热点,同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”,因此做这类题目更要细心、多读题,尽量挖掘出题目中的隐含条件,利用定理、公理、结论以及特值判断,另外,要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手,然后集中精力突破较难的命题.二、填空题(本题包括4 个小题,每小题5 分,共 20分)13.144【解析】分析:依据题意已经放好一个数字,为了满足要求进行列举出结果详解:第一行将数字2 填入表格有C;种可能,然后将数字3 填 入 表 格 有 种 可 能;那么第二行每个数字分别有C;、C;、C;、C:种可能;根据题意每一行每一列都无重复数字,所以第三行
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