典型例题一例 1 正六棱锥的底面周长为2 4,侧面与底面所成角为6 0,求：(1)棱锥的高：(2)斜高；(3)侧棱长；(4)侧棱与底面所成角.分析：本题涉及了正棱锥的若干基本量，可以把基本量放置到直角三角形中，由已知量求未知量.解：正六棱锥的底面周长为2 4.正六棱锥的底面边长为4.在正棱锥S-A 8 C O E F中，取 中点“，连 S”,S H A.BC,是正六边形4 6 C D E F的中心.连 S则 SO J L 底面 A 5 C O E FO H V B C ./.Z S H O是侧面与底面所成二面角的平面角，即Z S H O=6 0（1）在R tZ S中，O H =B C =24 3,Z S H O =6 0,2/.S O =O H tan 6 0 0 =6 .(2)同样在 SO”中，斜高S =2 O =4 J J,(3)R tZ S中，S O =6,O B =B C=A.：.SB=yISO1 2+O B2=2 V 1 3 .1 J 2在两个重要的直角三角形中，计算出高为一a,斜高为 Ja.2 2例2如图所示，正四棱锥尸-A 8 C 0棱长均为1 3,M ,N分别是 PA,BO 上的点，且 P M：M A =B N：N D =5：8 .(1)求证：直线M N/平面P B C；(2)求 直 线 与 底 面A B C O所成角的正弦.分析：(1)要 证 明 平 面PBC,只需证明M N与平面P5 C内某一条直线平行.为此连A N并延长交8c于E,连P E.可考虑证明M N PE.(2)若能证明M N /P E,则N P E O即为直线M N与(4)V S O 底面A B C D E F ,：.N S B O是侧棱与底面所成角，q 0 3 3同样在 SO B 中，tanZSBO=-=-,A Z5 5 O =ar c tan -,B O 2 2说明：在立体几何中，要善于把长度和角度放到三角形中去解决，正棱锥中有关长度、角度主要在两上重要的直角三角形中，本题中的方法也可用于其它正棱锥中.比如：已知正四棱锥底面边长为a,相邻两侧面所成二面角为1 2 0,求正棱锥的高、斜高、侧棱长.正四棱锥相邻侧面是全等的等腰三角形,利用这个性质先落实相邻侧面所成二面的平面角，先计算侧棱长为且。
然后利用底面边长利侧棱长2底面所成的角.解：(1)连 A N 并延长交8 c 于E,再连PE.V BE/AD,:.E N：A N =B N：N D,又 B N：N D =P M：M A,：.E N：A N =P M：M A ,：.P E/M N ,又 P E u 平面 P B C ,平面 P 8C,MN 平面 BBC.(2)设为底面中心，连 PO,E 0,则P平面ABC又M N H P E ,则NPE为直线MN与平面ABC 所成的角.Z.C由 BE：A D =B N：NO=5：8及 AO=1 3,得 B E =,在P 8 E 中，Z P B E =60,P B =3,8B E 4,由 余 弦 定 理，得 P E =*.在 Rt P O E 中，巴 2 ,P E ,则8 8 2 8s m/P E P=a=电P E 7说明：本 题(2)若直接求M N 与平面4 8 c o 所成的角，计算就比较复杂，而平移为求P E 与底面所成的角，计算就易得多.可见，平移是求线线、线面所成角的重要方法.例 3 斜三棱柱AB C-AB C 1的底面A B C 是直角三角形，NC=9 0,侧棱与底面成60角，点用在底面的射影。
为 B C 的中点，B C=2cm.(1)求证A与 1B C1；(2)若为30的二面角，求四棱锥A-8 C G 的体积.分析：证 4 与 _L 8G 关键在于证出其中一条线垂直于另一条线所在的平面；而求棱锥的体积关键在于求出其底面积和高.这两个问题可由题设及线与线、线与面的位置关系求得.解：如图所示，(1)：与平面 48C ,A C u 底面 4 5 C,/.A C 1 B Q .V A C 1 B C ,：.AC_L 平面,：.A C l B Ct.,/月 在底面ABC 上的射影为6 C 的中点，侧棱与底面成60角,四边形BCG4 是菱形，C Bt 1 B C,BC 平面,/.B e AB1.（2）过C作CE_L B|B,连结AE.,/A C,平面BBCCE是AE在平面B&GC上的射影，/.AE _L BQ,44EC是二面角A-8|B-C的平面角，/.ZAEC=30.在 Rt BEC 中，C=5C sin60J=V 3，在 Rt ACE 中，由 ACE=90可 得AC=CtanZAC=V3tan30=1.?.SMCCEE=-AC-C E=-xX y/3=,2 2 2*A-BBC=BrACE+“8-ACE=SMCE 与*+SMCE EB=；SCE（用 E+即=SCE-BB11 V3=-x x23 2 3匕-B 8C G =2匕8跖=C （体积单位）.说明：证明线线垂直转化成证线面垂直是证明时常用的方法之一，而证线面垂直时又涉及线与线的垂直，因此线与面各种位置关系经常贯穿问题的始终.当遇到一线垂直于一截面，而截面面积又能计算时，将几何体分割成两个体积之和计算也是一种常用的方法.结果便转化成截面与此线相乘的关系，因而使问题得到简化.例4如图，在三棱锥P-A 8C中，P4J底面ABC,AC=BC,。
G分别是PA和AB的中点,E 为 PB 上 点，且BE=lp B ,AP：AB=1：V2.3(1)求证：E G，平面COG；(2)求截面CDE分棱锥P-ABC所成两部分的体积之比.分析：由PAJ底面A B C,可 以 判 定 平 面 平 面 A B C,且相交于 43,因为G 是4 5 的中点，且 8C=A C,所以C G _L A 8,于是有C G,平面P4B,CG LE G .若证EG J平面DG,只需E G 与平面COG中的另一 一 条直线垂直就可以了.为此，就要从己知的数量关系着手，找到新的线与线的垂直关系.平面COE把三棱铢P-A B C 分成两部分，显然这两部分具有相同的高线 C G.所以，只 要 找 到 和 四 边 形 A 8E O 的面积之比，就可以确定两部分的体积之比了.证明：(1)PA 平面 A B C，且 PA u 平面 PAB平面J平面A B C,且相交于AB在 AB C 中，V AC=BC,C G 是 A 8 边上的中线C G 1A B .：.CG _ 1 _ 平面利用两个平面垂直的性质定理可以证明C G，平面P4B在 和aG EB 中设 PA=x,则=PB=6 x ,BE=x,BG-x3 2V2.”二 1PB 氐 V6V3 1AB-J2x V6,/NGBE=NPBA,；.PA8 GEB：NPAB=90,NGEB=90EG A.PB.V DG/PB利用相似三角形的性质，得到NGE8=9（rEG 1 DGOG A CG=G,EG 平面 CDG.解：（2）；S D E=g PE PD-sin ZAPBSAB=-PA PB sn NAPBV PD=-P A ,PE=-P B2 3 -PA-PB-sin ZAPB?-一6 1 1玉 血 P D P E s in ZAPB 12v C G SPAB?.V 三棱锥C-PAB _ 3 _ J -V三棱锥c-C G SDE 1.V :楂锥C-PA8-:极锥C-PCE _ 2V三棱锥C-PDE 1.截面COE分棱锥P-A B C 为两部分，三棱锥C-P O E 与四棱锥C-A B E O 的体积之比为1：2.例 5 四棱锥P-A B C D,侧面P C D是边长为2 的正三角形且与底面垂直,底面A B C D是面积为2百的菱形，NADC为菱形的锐角.（1）求证：PA C D；（2）求二面角P-A 3-O 的大小；（3）求棱徘P-A 8 C O 的侧面积与体积.分析：取 CO 中点“，侧面PCDJ_底面ABC。
从而P4J.CZ）可利用三垂线定理转化为证明H A L C D,线面垂直也为二面角P-A 8-平面角的落实创造了有利条件，棱锥的侧面枳可通过抓侧面三角形的特殊性来解决.证明：（1）取C D 中点，连 P H、A H ,：P C D是等边三角形，P H L C D,.面 PCO J_ 底面 A B C O,二 P _L 底面 A 8C 0,等边 P C D的边长为2,二C2菱形A8C O 的边长为2,又菱形的血积是2 J J,二 2 x 2 sin NAOC=2百，sin Z A D C =,又 ZAOC 是锐角,2NAZ）C=60,.4 O C 是等边三角形，A H A.C D,PA 在平面 AC 上射影为/M,PA J.C D.解：（2）,:C D H A B ,由（1）C D I H A,C D 1 PA,：.A B 1 A H ,A B I PA.：.N P A H是二面角P-A B-O 的平面角，在 Rt P H A 中 P =2 sin 60=V LN P H A =4 5,即二面角 P-A B-O 的大小为 45.（3）由（2）在 中，可得 PA=J%,在 R tP A B 中，PA=K，A B =2,A P B=V lO,S 4阳&=g x 2 x C =痴，在 PO A 中，P D =D A =2,PA=j 6,可得54户 心=半，在氏?）中，P C =B C =2,P B =A,可得SAPBC=，41/DC-2又正P C。
边长为 2,.SAPCO=X2 2=J ,S 恻=W +2 x 乎+百=后+岳+百，:P H =也,：.V -S x P H =-x 2 y/3 x 4 3 2 .3觌 3说明：抓线面垂直关系是解决立体几何问题的关键，非特殊棱柱、棱锥的侧面积，往往要通过逐个计算每个侧面的面积相加而得到，这就需要分析每个侧面的具体特点，比如是否为矩形、直角三角形、等边三角形等.可以举一个类似的例子，四棱锥V-A 8C的高为1,底面为菱形，侧面VD 4和侧面V75C所成角为120,且都垂直于底面，另两侧面与底面都成45角，求棱锥的全面积.这里由相交平血VOC与V D A都与底面垂直得到V D垂直于底面，利用V D 底面A B C D,一方面落实了棱锥的高为V D =l,另一方面几个二面角的平面角都能方便地落实，四个侧面中，有两个是等腰三角形，有两个是直角三角形，通过计算可得，全面积为日6（2+立）.例 6 已知三 棱 锥 P-A B C 中，PA,P B、P C 与 底 面 A B C 所 成角相等，Z C A B=90,A C =A B =P B =a,为 8 c 中点，点在 P8 上且 PC截面41）角；（2）求 P C 到平面E4Z）的距离.分析：由P A、P B、P C 与底面所成角相等可得尸点在面A 8 C 上射影为 A B C 的外心，由于 A B C是直角三角形,可以得到P D，面A B C,PC 面E 4O 可转化为PC7/OE,E 是 P 8 中点，找出E 到面A 8 C 的垂线落实E 4 与面ABC 所 成 角.C 到面E 4O 的距离可从两方面得到，一方面直接找C 到面4。
的垂线，另一方面，用等积法可求点到面的距离.解：（1）PA,P B、P C 与底面ABC 成相等的角，设尸在面A8C上射影为则有Z P A 0 =N P B D =Z P C O,A.PA丝ZiPBg P CPA=P8=PC 且 0A=08=0C ,二是A B C 的外心.AB C 是直角三角形，且是斜边8 C 的中点，工点和点点重合,即一L 面 ABC,P C /截面E A D,过P C的平面P B C与平面E A D交于E D ,A PC/ED,.是 8C 中点，E 是 P8 中点，取 8 0 中点尸，E F H P D,EF J_ 平面 ABC,N E A F为E A 与底面A B C所成角.A B -PA=P B -a,/.A E a，2：A8=AC=a 且 NA4C=9（T,：.B C。