2022-2023学年北京市某中学高二10月月考数学试卷含详解

五十七中高二十月月考数学试卷2022.10.9一、选择题1.集合一=1，2 35,7,1 1 ,84|（一）（1 5）。,则A g中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.52 .已知ae R,（l+ai）i=3+i,（i为虚数单位），则。=（）A.-1 B.1 C.-3 D.33.已知沈，是两条不同的直线，。，是两个不同的平面，给出下列四个命题：如果加u a,n u a,m/3 ,n/（3 ,那么加7 ；如果mlln,_ L a,那么；如果 a_ L，m u a ,n u 0,那么 m n；如果 a n月=？，2 _ L，u a,那么 _L/?其中正确命题的个数有（）A.4个B.3个C.2个D.1个4.函数/（x）=2 s in G y x+e）（O,le l0,b 0 B.a0,b0D.a0,c010.如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的顶点.则满足 B.C.D.11.已知正方体A5CO-4片 。|棱长为2,P为空间中一点.下D列论述正确的是(A1 A.若AP=QA 2,则异面直线3 P 与 G。所成角的余弦值为33B.若 B 户=%8 3+5 区(/1 6 0,1),三棱锥P -ABC 体积不是定值C.若方户=28 6+3 8 瓦(/le 0,1),有且仅有一个点尸，使得平面AB/D.若 A 户=4 A D；(/le 0,l),则异面直线8 P 和 CQ所成角取值范围是二、填空题1 2 .已知复数z i=3+i (i为虚数单位)，则目=.1 3.函数/(x)=lg(l-4s in2%)的定义域为.1 4.在AABC中，角 A,B,C 的对边分别为a,c,且bc o s C +c c o s 8=a2,=J J,AABC的面积为立，则。的值为21 5.设,5 为非零向量，则是归+)=忖-可”的 条件.1 6.如图，在平行四边形A8 CD中，A B =B D =D C =1,A D =B C =6，将平行四边形A B C。沿对角线 8。折成三棱锥A BCD,使平面A8 D _ L 平面6 C。，在下列结论中:AA直线C D，平面A BD；平面A BC _ L 平面BC D；BC与A。成角的大小为45;棱A C 上存在一点到顶点A、B、C、。的距离相等;交4点B到平面AC。的距离为所 有 正 确 结 论 的 编 号 是.1 7.x2-1 x-3-a+3 a a设函数/(x)=O的余弦值;2 1.如图，在三棱柱ABC-4 4 G中，AABC为等边三角形，四边形BCC4是边长为2的正方形，。为AB中点，且(1)求证：。，平面48月4；(2)若点尸在线段gc上，且直线A P与平面4。所 成 角 的 正 弦 值 为 述，求点尸到平面4。的距5离.2 2.如图，在三棱柱A B C 4 AG中，四边形AAGC是边长为4的菱形，AB=BC=，点、D 为棱A C上动点(不与A,C重合)，平面用8。与棱4G交于点E.B B/I DE；AF)Q(2)若 嘿=：，从条件、条件、条件这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线A B与平面A C 4用B OE所成角的正弦值.条件：平面ABC 1平面A4C C；条件：/4 A C=6 0?；条件:4 8=万.2 3 定义 数列。“：对实数 p,满足：+p 0 ,+p =0；V/i e N*,%以“；4+“e a,+a +p,am+a+p+,加,e N*.(1)对于前4项 2,-2,0,1 的数列，可以是“数列吗？说明理由；(2)若 4 是 以 数列，求 为 的值；(3)是否存在p,使 得 存 在(数 列 4,对 V e N*，S,Z 几？若存在，求出所有这样的?；若不存在,说明理由.五十七中高二十月月考数学试卷2022.10.9一、选择题L 集合1123,5,71 ,叼#-3)(15)。,则 馆 8 中元素的个数为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合8,然后由集合交集运算可得.【详解】解不等式(x 3)(x 1 5)0,得 8=x 3 x 0,le l）的部分图象如图所示，则的值为（）【答 案】D.1B.6B【解 析】【分 析】先根据函数的图象求出函数的解析式/（x）=2 s i n ，再求了图得解.【详 解】5 7 r由图可得T=2 -1 2 I 1 2/、7172 4=兀=-，6 9=2 ,C O由图可得 2 s i n（2 x 1|+夕1=2,又 m-2 B）=-上 回,则4与5的夹角为（）2A.3 0 B.4 5 C.1 3 5 D.1 5 0【答案】A【解析】【分析】由数量积的运算律求得 名,然后由数量积的定义可得夹角余弦值，从而得夹角大小.【详解】（2。+。）2。）=；2a2-3a-b-2b2=-.2：a,5均为单位向量，可得,2=店=1.3a-b 3，解得 a b-设与5的夹角为e，则c o s。结合6e 0,万 ,可得。=3 0。.故选：A.2=UUrara6.当复数z满足|z 3 +4i|=l时，贝U|z-2|的最大值是（）A.a+1 B.V1 7+1 C.V1 5 +1 D.V1 3 +1【答案】B【解析】【分析】设2 =+（乂 6/?）,可求得点（x,y）的轨迹方程，再利用|z 2 的几何意义结合圆的几何性质可求得上一2|的最大值.【详解】设2=彳+”（%,y/?）,则z-3 +4i|=|(x-3)+(y+4)i|=(x-3)2+(+4)2=1，所以，复数z在复平面内对应的点的轨迹方程为(x 3)2+(y+4)2=l,圆(x-3y+(y+4)2=l的圆心坐标为(3,T),半径长为1，|z 2|=J(X-2)2+/表示圆(X 3)2 +(y+4。=1上 点到定点(2,0)的距离，因此，|z 2|的最大值为 7(3-2)2 1+(-4-0)2+1=717+1.2 2 2 2 2兀71所以 a /7=w a,2a 一夕二万.故选：D1 28.已知a 0*0,若一+=1,则的最小值为()a b1 2 1当且仅当上=：=L,即。=2,力=4时，等号成立.a h 2故选：B7.设4月均为锐角，且tanacos/?-sin/?=l,则()J TA.3。+=兀 B.2a+4=5C.3a-/3=n D.2a /=一【答案】D【解析】【分析】结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式、诱导公式求得正确答案.【详解】依题意：名 均为锐角，且tanacos尸 sin =l,sina -a、sin a cos-cos a sin 月 cos f3 sin。-1,-1,cos a cos asin a cos(3-cos a sin(3=cosa,sin(a-/)=sin兀-aA.V2B.2V2C.4D.8【答案】D【解析】【分析】由基本不等式直接可得.【详解】由基本不等式可得2 工 +2=1,整理得出?28V ab a b所以出?的最小值为8.故选：D,/、ax-b9 .函数/(x)=E的图象如图所示，则下列结论一定成立的是()0,b 0 B,a0,b0D.0,c 0【答案】A【解析】分析】利用特殊值，零点，再结合函数图象即可得到答案.【详解】由图知：0)=W 0,所以b0,C当 户-c时，函数“X)无意义，由图知：一。0.A b令/(x)=0,解得x=2,由图知：一0,a a又因为6 0.综上：a0,b 0-故选：A1 0.如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的顶点厕满足用N，。的 是(M1(DNA.B.C.Q)D.【答案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为2,如图建立空间直角坐标系，分 别 求 出 四 个 选 项 中 的 坐 标 进 而 可得 丽 与 丽 的 坐 标，判断而口 方=0是否成立，进而可得正确选项.【详解】设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系：对于：由图知：(2,0,2),N(0,2,2),0(1,1,0),P(0,2,l),所 以 钢=(-2,2,0),OP=(-1,1,1),因 为 诲.而=T x(_2)+lx2+0=4/0,所 以 丽 与 而 不 垂 直，即MN_LOP不成立，故不正确；对于：由图知：M(2,0,0)，N(0,0,2),0(1,1,0),尸(2,0,1),所 以 碗=(一2,0,2),丽=(1,-1,1),因 为 钢 丽=lx(-2)+0+lx2=0,所 以 丽 与 所 垂 直，即MN_LOP,故正确；对于：由 图 知:M 2,2,2),N(0,2,0),0(1,1,0),尸(0,0,1),所 以 碗=(-2,0,-2),OP=(-1,-1,1),因 为 诲.丽=lx(-2)+0+lx(-2)=0,所以标7与 被 垂 直，即M V J.O P,故正确；对于：由图知：M(0,2,0),N(0,0,2),0(1,1,0),P(2,l,2),所 以 丽=(0,-2,2),而=(1,0,2),因 为 丽 丽=0+0+2x2=4 4，所 以 丽 与 而 不 垂 直，即用N J.Q P不成立，故不正确；所以正确，故选：B.1 1.已知正方体棱长为2,P为空间中一点.下列论述正确的是（）则异面直线8尸与C|O所成角的余弦值为立3B.若分户=2分（？+豆瓦（4 e 0 ）,三棱锥尸 ABC的体积不是定值C.若看户=/L i +g 8瓦（/t e 0/D，有且仅有一个点尸，使得AC1平面A B/D.若Z A=/l A D；（/l e 0,l D，则异面直线B P和G。所成角取值范围是：鼻【答案】D【解析】【分析】A：尸为4鼻 中点，连接3P,8,6。，若E,。分别是8G,8 0中点，连接。旦后已，找到异面直线BP与G。所成角为/O E A或其补角，求其余弦值；B：P在（含端点）上移动，L P B C面积恒定，4到面PBC的距离恒定，即可判断；C：若七厂分别是B4，CC1中点，p 在 E F（含端点）上移动，证明4 c l面AM。，易知要使4 c l面ABF，则尸必在面A8Q内，即可判断；D构建空间直角坐标系，设尸（0,a,2-a）,ae 0,2,应用向量夹角的坐标表示求cos 丽,丽，进而判断夹角的范一1 -围.【详解】A：由AP=/A Q,即P为A?中点，连接B P,B g B D ,若E,O分别是BQ,8。中点，连接 0 E,E Q,则。E/G。,又 B E =P D、旦 B E/P D 1,即BE。/为平行四边形，所以B P/E Q,所以异面直线8尸与G。所成角，即为/O E Q或其补角，而OE=，O G=e，E D =屈,OD,=7 6,故cos/O=2+g 鼠=走,错 误;2B?sj 6B：由 即=4阮+瓯（4 e0 ）知：尸在用G（含端点）上移动，如下图示，P8C面积恒定，A到面P8C的距离恒定，故P-A B C的体积是定值，错误;C：若 分 别 是 叫,CC1中点，由 丽=2团+g硒（力e 0,1）知：P 在 E F（含端点）上移动,由C O 1面A4A，C D u面0 c 4,则面A O A 4人面。C 4，由A Dt 1 D ,面 c 面 OCA,=4。，所以 AA 1 面 OCA,AC u 面 DC&，则 A D J C,同理可证：A Bt J.AtC ,由 A Q c A g=A,A D.AB|U 面 A 8 Q,故 4 c l面 A8Q,而面A g P c面A gQ =A g,要使A C S面A B/,则尸必在面A 8Q内，显然aU面A 8 Q,故错误；D：由AA=/lAO；(/le 0/D知：P在A?(含端点)上移动，如下图建系G Q,2,0),0(0,2,2),5(2,0,2),则 甲=(一2,0,2),设 P(0,a,2 -a),a e 0,2,则 B P=(-2,a,-a),所以cos（即布运足二折令2。三r e 0,2,-_ T T当。=2,即=0时，cos=0,此时直线3 P和G。所成角是万；cos=当。工2,即xe(0,2时，则 21I6,+41 26(1 孑 +；，X2xx 3 31 1 -、万 兀当一=/=即。=