第第4章章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数实数指数数指数幂指数函数指数函数4.1对数数4.2对数函数数函数4.34.4 内容简介：本章完成了由正整数指数幂到实数指数幂及其运算的逐步推广过程，介绍了指数函数的概念、图像和性质，引入了对数概念及运算法则，并在此基础上介绍了对数函数的概念、图像和性质学习目标：理解有理数指数幂；掌握实数指数幂及其运算法则；了解幂函数，理解指数函数的图像和性质；了解指数函数的实际应用，理解对数的概念；掌握利用计算器求对数值；了解积、商、幂的对数、对数函数的图像和性质及对数函数的实际应用4.1 实数指数幂实数指数幂4.1.1 有理数指数幂有理数指数幂 1n次根式次根式 一般地，如果xn=a（aR，nN*且n1），则称x为a的n次方根 （1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根可以记作 （2）当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，分别用 和 表示，其中 称为a的n次算术根负数没有偶次方根 （3）0的n次方根是0，记作 我们把形如 （aR，nN*且n1）的式子称为n次根式，其中，n称为根指数，a称为被开方数 2分数指数幂分数指数幂 我们规定：其中m，nN*且n1当n为奇数时，aR；当n为偶数时，a0 当 有意义，且a0时，规定：计算器辅助求值计算器辅助求值 下面，我们以用CASIO fx82ES PLUS型计算器求 与 的值为例，介绍用计算器求n次根式与分数指数幂的值的一般方法 （1）按 键，打开计算器，然后依次按 键和 键，再按 键，将计算器的显示格式设置为“MthIO”（普通显示），接着再按一次 键，将计算结果的显示格式设置为“MathO”（3）计算 的值：按 键（清屏）按 键输入底数“24”按 键按 键（将指数设置为分数形式）输入指数中的分子“2”按 键输入指数中的分母“3”按 键，即可显示计算结果，为“8.320 335 292”（4）依次按 键和 键，关闭计算器 （2）计算 的值：按 键按 键输入根指数“3”按 键输入被开方数“40”按 键，即可显示计算结果，为“3.419 951 893”（计算结果显示的小数位数默认为9位，可根据需要自行设定）4.1.2 实数指数幂及其运算法则实数指数幂及其运算法则 当a，b0，p，q为有理数时，有 事实上，还可以将有理数指数幂推广到实数指数幂当 为实数时，上述运算法则也成立4.1.3 幂函数举例幂函数举例 一般地，我们把形如y=x（R）的函数称为幂函数其中，为常数，x为自变量，幂函数的定义域与常数的取值有关表4-1x00.512345y00.7111.411.7322.24图4-1表4-2x0.5123y410.250.11图4-2表4-3x21.510.500.511.52y83.375 10.12500.12513.3758图4-3 综上可知，幂函数y=x的定义域、单调性和奇偶性会随取值的不同而发生变化总结如下：（1）当0时，幂函数y=x的图像经过坐标原点（0，0）和点（1,1），在区间（0，）上是增函数；（2）当0时，幂函数y=x的图像不经过坐标原点（0，0），但经过点（1,1），在区间（0，）上是减函数.4.2 指数函数指数函数4.2.1 指数函数及其图像和性质指数函数及其图像和性质 一般地，我们把形如y=ax（a0且a1）的函数称为指数函数其中，底数a为常数指数函数的定义域为R，值域为（0，）下面，我们来研究指数函数的图像和性质 首先，我们用描点法作出函数y=2x和y=3x的图像 指数函数的定义域为R，在定义域内取若干个x值，分别求出对应的y值，然后列表，如表4-4所示x21012y=2x1/41/2124y=3x1/91/3139表4-4 以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点（x，y），然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数y=2x 和y=3x的图像，如图4-4所示图4-4 接下来，我们再用描点法作出函数 和 的图像 指数函数的定义域为R，在定义域内取若干个x值，分别求出对应的y值，然后列表，如表4-5所示表4-5x21012y=（1/2）x4211/21/4y=（1/3）x9311/31/9 以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点（x，y），然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数y=（1/2）x和y=（1/3）x的图像，如图4-5所示图4-5 一般地，指数函数y=ax（a0且a1）具有下列性质：（1）函数的定义域为R，值域为（0，）；（2）当x=0时，y=1，即经过点（0,1）；（3）当a1时，函数在（，）上是增函数；当0a1 时，函数在（，）上是减函数4.2.2 指数函数应用举例指数函数应用举例 例3和例4中的函数解析式都可以写成 y=cax（c0为常数，a0且a1）的形式这个函数模型称为指数模型当a1时，称为指数增长模型；当0a1时，称为指数衰减模型4.3 对数对数4.3.1 对数的概念对数的概念 如果ab=N（a0且a1），那么b称为以a为底N的对数，记作 其中，a称为对数的底数（简称底），N称为真数 通常，我们称形如ab=N的等式为指数式，称形如 的等式为对数式由对数的定义可知，当a0且a1时，对数具有如下基本性质：（1）零和负数没有对数，即N0；（2），即1的对数为0；（3），即底的对数为1 通常将以10为底的对数称为常用对数，简记为 在工程计算和科学研究中，经常使用以无理数e=2.718 28为底的对数将以无理数e为底的对数称为自然对数，简记为 4.3.2 用计算器求对数值用计算器求对数值 在CASIO fx82ES PLUS型计算器上，键用于计算一般对数，键用于计算常用对数，键用于计算自然对数 在实际计算中，若遇到不以10或e为底的一般对数，我们通常是将其转化为常用对数或自然对数来求值的为此，我们给出对数的一般换底公式：设a，b0且a，b1，N0，则有 如果所用计算器上没有计算一般对数的按键，可以先用换底公式 或 将其以常用对数或自然对数表示，再用计算器上的 或 键求值4.3.3 积、商、幂的对数积、商、幂的对数 当a0且a1时，我们可以得到对数的如下运算法则：4.4 对数函数对数函数4.4.1 对数函数及其图像和性质对数函数及其图像和性质 一般地，我们把形如 的函数称为对数函数其中，底数a为常数对数函数的定义域为（0，），值域为R 下面，我们来研究对数函数的图像和性质 首先，我们用描点法作出函数 和 的图像 对数函数的定义域为（0，），在定义域内取若干个x值，分别求出对应的y值，然后列表，如表4-6、表4-7所示表4-6x1/41/2124y21012表4-7x1/91/3139y21012 以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点（x，y），然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数 和 的图像，如图4-6所示图4-6 接下来，我们再用描点法作出函数 和 的图像 对数函数的定义域为（0，），在定义域内取若干个x值，分别求出对应的y值，然后列表，如表4-8、表4-9所示表4-8x1/41/2124y21012表4-9x1/91/3139y21012 以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点（x，y），然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数 和 的图像，如图4-7所示图4-7 一般地，对数函数 具有下列性质：（1）函数的定义域为R，值域为（0，）；（2）当x=0时，y=1，即经过点（0,1）；（3）当a1时，函数在（0，）上是增函数；当0a1 时，函数在（0，）上是减函数4.4.2 对数函数应用举例对数函数应用举例。