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2023年中考数学高频考点提升练习--反比例函数与动态几何
1.如图1,在平面直角坐标系中,直线AB与反比例函数 y=kx(x>0) 的图象交于点A (1,3)和点B (3, n),与x轴交于点C,与y轴交于点D.
(1)求反比例函数的表达式及n的值;
(2)将△OCD沿直线AB翻折,点O落在第一象限内的点E处, EC与反比例函数的图象交于点F.
①请求出点F的坐标;
②在x轴上是否存在点P,使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2.
(1)探究新知:如图1,已知 △ABC 与 △ABD 的面积相等,试判断AB与CD的位置关系,并说明理由.
(2)结论应用:如图2,点M,N在反比例函数 y=kx(k>0) 的图象上,过点M作 ME⊥y 轴,过点N 作 NF⊥x 轴,垂足分别为E,F.试证明: MN//EF .
(3)拓展延伸:若(2)中的其他条件不变,只改变点M,N在反比例函数 y=kx(k>0) 图象上的位置,如图3所示,MN与x轴、y轴分别交于点A、点B,若 BM=3 ,请求AN的长.
3.如图,RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点C(2,0),点B(0,4),反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)将直线OA向上平移m个单位后经过反比例函数y=kx(x>0)的图象上的点(3,n),分别求m与n的值.
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,双曲线y1= kx 与直线y2=mx+n交于点A,E,AE交x轴于点C,交y轴于点D, AB⊥x 轴于点B,C为OB中点.若D点坐标为(0,﹣2),且S△AOD=4
(1)求双曲线与直线AE的解析式;
(2)写出E点的坐标;
(3)观察图象,直接写出y1≥y2时x的取值范围.
5.如图,一次函数y=kx−4(k≠0)的图像与y轴交于点A,与反比例函数y=−12x(x<0)的图像交于点B(−6,b).
(1)b= ;k= ;
(2)点C是线段AB上一点(不与A,B重合),过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D,连接OC,OD,BD,若四边形OCBD的面积S四边形OCBD=24,求点C的坐标;
(3)将第(2)小题中的ΔOCD沿射线AB方向平移一定的距离后,得到△O′C′D′,若点O 的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上(如图),求此时点D的对应点D′的坐标.
6.已知边长为8的正方形ABCD,顶点A与坐标原点重合,一反比例函数图象过顶点C,动点P以每秒2个单位速度从点A出发沿AB方向运动,动点Q同时以每秒8个单位速度从D点出发沿正方形的边DC﹣CB﹣BA方向顺时针折线运动,当点P与点Q相遇时停止运动,设点P的运动时间为t.
(1)求出该反比例函数解析式;
(2)连接PD,当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时,求点Q的坐标;
(3)用含t的代数式表示以点Q、P、D为顶点的三角形的面积s.
7.如图1,矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴的正半轴上,点B(4,3),反比例函数y=kx(x>0)的图象与AB、BC分别交于D、E两点,BD=1,点P是线段OA上一动点.
(1)求反比例函数关系式和点E的坐标;
(2)如图2,连接PE、PD,求PD+PE的最小值;
(3)如图3,当∠PDO=45°时,求线段OP的长.
8.如图,平面直角坐标系中,点C在x轴上,点A的横坐标是1,以OA,OC为邻边作 ▱ABCO ,点D是BC的中点,反比例函数 y=kx(x>0) 的图象经过点A,点D.
(1)求点B的坐标(用含k的代数式表示);
(2)连接AD,若AB=AD,求k的值.
9.如图,反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过线段OA的端点A(m,4),线段OA与x轴正半轴的夹角为α,且tanα=2.
(1)求反比例函数和直线OA的解析式;
(2)把线段OA沿x轴正方向平移3个单位得到线段CB,CB与上述反比例函数的图象相交于点D,在y轴上是否存在点Q,使得|DQ−AQ|的值最大?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若P为函数y=kx(k>0,x>0)的图象上一动点,过点P作直线l⊥x轴于点M,直线l与四边形OABC在x轴上方的一边交于点N,设P点的横坐标为n,且n<3,当PNPM=14时,求出n的值.
10.某模具厂计划生产一批面积为 4 ,周长为 m 的矩形模具,需要确定 m 的取值范围.
小亮利用图象的方法解决此问题的过程如下:
(1)建立函数模型,设矩形相邻两边的长分别为 x , y ,由矩形的面积为 4 ,得 xy=4 ,即 y=4x ;由周长为 m ,得 2(x+y)=m ,即 y=−x+m2 .满足要求的 (x,y) 应是这两个函数图象在第 象限内交点的坐标.
(2)画出函数图象,如图,在同一直角坐标系中画出了函数 y=4x(x>0) 和 y=−x 的图象.
(3)平移直线 y=−x 可以得到函数 y=−x+m2 的图象,观察函数图象
①当直线 y=−x 平移到与函数 y=4x(x>0) 的图象有唯一交点时,周长 m 的值为 ▲ ;
②请你直接写出在直线平移过程中,与函数 y=4x(x>0) 的图象的交点个数的其它情况及对应的周长 m 的取值范围.
(4)得出结论,若能生产出面积为 4 的矩形模具,则周长 m 的取值范围为 .
11.
(1)探究新知:如图1,已知△ABC与△ABD的面积相等,试判断AB与CD的位置关系,并说明理由.
(2)结论应用:①如图2,点M,N在反比例函数 y=kx (k>0)的图象上,过点M作ME⊥y轴,过点N作NF⊥x轴,垂足分别为E,F.试证明:MN∥EF.
②若①中的其他条件不变,只改变点M,N的位置如图3所示,请判断MN与EF是否平行?请说明理由.
12.已知反比例函数y=1−2mx ( m 为常数)的图象在一、三象限.
(1)求m的取值范围.
(2)如图,若该反比例函数的图象经过▱ ABCD的顶点D,点A,B的坐标分别为(0,3),(-2,0).
①求出反比例函数表达式;
②设点P是该反比例函数图象上的一点,若OD=OP,则P点的坐标为▲ .若以D,O,P为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P的个数为▲ .
13.如图1,在平面直角坐标系中,点A(﹣1,2)绕原点顺时针旋转90°至点B,恰好落在反比例函数y= kx 的图象上,连接OA,OB,过点B作BC⊥x轴交于点C,点P(m,n)是第一象限内双曲线上一动点.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若S△POC=4S△PBC,求P的坐标;
(3)如图2,连接PO并延长交双曲线于G(﹣m,﹣n),平面内有一点Q(m﹣1,n+2),PQ与GA的延长线交于点H;
①若m=2,求点H的坐标;
②当m≠1时,记H的坐标为(a,b),试判断(a+2)(b﹣4)是否为定值?若为定值,求出该值;若不为定值,说明理由.
14.如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCO 的顶点 A,C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上,顶点 B 的坐标为(4,2), AC 的垂直平分线分别交 BC,OA 于点 D,E ,过点 D 的反比例函数 y=kx(x>0) 的图像交 AB 于点 F .
(1)求反比例函数 y=kx 的表示式;
(2)判断 DF 与 AC 的位置关系,并说明理由;
(3)连接 OD ,在反比例函数图象上存在点 G ,使 ∠ODG=90∘ ,直接写出点 G 的坐标.
15.如图1,已知A(−1,0),B(0,−2),平行四边形ABCD的边AD、BC分别与y轴、x轴交于点E、F,且点E为AD中点,双曲线y=kx(k为常数,k≠0)上经过C、D两点.
(1)求k的值;
(2)如图2,点G是y轴正半轴上的一个动点,过点G作y轴的垂线,分别交反比例函数y=kx(k为常数,k≠0)图像于点M,交反比例函数y=−32x(x<0)的图像于点N,当FM=FN时,求G点坐标;
(3)点P在双曲线y=kx上,点Q在y轴上,若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,试求出满足要求的所有点Q的坐标.
16.已知:反比例函数 y=mx 的图像过点A( x1 , −1−12m ),B( x2 , 5−4m )且 x1+x2=0
(1)求m的值;
(2)点C在x轴上,且 sΔABC=16 ,求C点的坐标;
(3)点Q是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的右侧,设直线QA,QB与y轴分别交于点E、D,试判断DE的长度是否变化,若变化请说明理由,若不变,请求出长度.
答案解析部分
1.【答案】(1)解:∵直线AB与反比例函数y =kx (x>0)的图象交于点A (1,3)和点B(3,n),
∴把A (1,3)代入y =kx 得,3 =k1 ,
∴k=3,
∴反比例函数的表达式为y =3x ,
把B(3,n)代入y =3x 得,n =33= 1;
(2)解:①设直线AB的解析式为:y=kx+b,
∴k+b=33k+b=1 ,
解得: k=−1b=4 ,
∴直线AB的解析式为:y=﹣x+4,
当y=0时,x=4,当x=0时,y=4,
∴点C (4,0),点D(0,4),
∴OC=OD=4,
∴△COD是等腰直角三角形,
∴∠ODC=∠OCD=45°,
∵将△OCD沿直线AB翻折,
∴四边形OCED是正方形,
∴DE=CE=4,
∴E(4,4),
把x=4代入y =3x 中得,y =34 ,
∴F(4, 34 );
②存在,
理由:设点P(m,0),
∴DP2=m2+16,PF2=(4﹣m)2+( 34 )2,FD2=16+(4 −34 )2,
∵△DPF是以DF为斜边的直角三角形,
∴DP2+PF2=FD2,
即m2+16+(4﹣m)2+( 34 )2=16+(4 −34 )2,
解得:m=1或m=3,
故在x轴上存在点P,使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形,此时点P的坐标为 (1,0)或(3,0).
2.【答案】(1)解:分别过点C,D,作 CG⊥AB , DH⊥AB ,垂足为G,H,
则 ∠CGA=∠DHB=90° .
∴CG∥DH .
∵△ABC 与 △ABD 的面积相等,
∴CG=DH .
∴四边形CGHD为平行四边形.
∴AB//CD .
(2)解:连结MF,NE.
设点M的坐标为 (x1,y1) ,点N的坐标为 (x2,y2) ,
∵点M,N在反比例函数 y=kx(k>0) 的图象上,
∴x1y1=k , x2y2=k .
∵ME⊥y 轴, NF⊥x 轴,
∴OE=y1 , OF=x2 ,
∴SΔEFM=12x1⋅y1=12k , S△EFN=12x2⋅y2=12k ,
∴S△EFM=S△EFN ,
由(1)中的结论可知: MN∥EF .
(3)解:如图,根据题意,将图补充完成,连结MF,NE.
同理即可得, MN∥EF ,
∵ME⊥y 轴,
∴ME//FA ,
∴四边形FEMA是平行四边形,
∴ME=AF .
同理:∵NF⊥x 轴,
∴NF∥BE ,
∴四边形FEBN是平行四边形,
∴NF=BE .
在 RtΔEMB 和 Rt△FAN 中,
EM=FA∠MEB=∠AFN=90°BE=NF ,
∴RtΔEMB ≌ Rt△FAN ,
∴AN=BM=3 .
3
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