2023年人教版八年级数学下册《勾股定理》分层练习(含答案)

2023年人教版八年级数学下册 《勾股定理》分层练习 勾股数 1.下列长度的各组线段，能组成直角三角形的是(　　) A.12，15，18   B.12，35，36   C.0.3，0.4，0.5   D.2，3，4 2.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是(  ) A.6，8，10 B.5，12，13    C.1，2，3  D.9，12，15 3.适合下列条件的△ABC中，∠A，∠B，∠C是三个内角，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，直角三角形的个数是( ) ①a＝7，b＝24，C＝25； ②a＝1.5，b＝2，c＝7.5； ③∠A：∠B：∠C＝1：2：3; ④a＝1，b＝，c＝. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.下列各组线段中的三个长度： ①9，12，15； ②7，24，25； ③32，42，52； ④3a，4a，5a(a＞0)； ⑤m2﹣n2，2mn，m2＋n2(m，n为正整数，且m＞n). 其中可以构成直角三角形的有(　　) A.5组    B.4组    C.3组    D.2组 5.已知等腰直角三角形的面积为2，则它的周长为　　　　　　.(结果保留根号) 6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c． (1)若a＝2，b＝4，则c＝__________； (2)若a＝2，c＝4，则b＝__________； (3)若c＝26，a︰b＝5︰12，则a＝__________，b＝__________. 7.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c 根据你发现的规律，请写出 (1)当a＝19时，求b、c的值； (2)当a＝2n＋1时，求b、c的值； (3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由. 8.尝试：化简整式A． 发现：A＝B2，求整式B． 联想：由上可知，B2＝(n2﹣1)2＋(2n)2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值： 9.我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据上述的规律写出下两组勾股数：11、 ； 13、 ； (2)若第一个数用字母a(a为奇数，且a≥3)表示，那么后两个数用含a的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数． 10.如果a，b，c为正整数，且满足a2＋b2＝c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数． (1)请你根据勾股数的意思，说明3、4、5是一组勾股数； (2)写出一组不同于3、4、5的勾股数　   　； (3)如果m表示大于1的整数，且a＝4m，b＝4m2﹣1，c＝4m2＋1，请你根据勾股数的定义，说明a、b、c为勾股数． 勾股定理的三边关系 11.已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B＝900，则(    ) A.b2＝a2＋c2 ；   B.c2＝a2＋b2；   C.a2＋b2＝c2；   D.a＋b＝c 12.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是(　　) 13.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是(　　) A.25      B.14      C.7       D.7或25 14.在Rt△ABC中，∠C＝90°.如果BC＝3，AC＝5，那么AB＝(　　) A. B.4 C.4或 D.以上都不对 15.直角三角形三边长分别为3，4，a，则a＝     ． 16.某直角三角形三条边的平方和为200，则这个直角三角形的斜边长为　　 ． 17.平面直角坐标系中，点A(，﹣)到原点的距离是　 　. 18.如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求△ABC的面积． 19.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一点.过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F. (1)求证：EO＝FO； (2)若CE＝4，CF＝3，你还能得到那些结论？ 20.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4. (1)若BC＝2，求AB的长； (2)若BC＝a，AB＝c，求代数式(c﹣2)2﹣(a＋4)2＋4(c＋2a＋3)的值. 21.请在方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，2，4. (1)求△ABC的面积； (2)求出最长边上的高. 勾股定理的应用 22.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是(    ) A.3.8米       B.3.9米      C.4米     D.4.4米 23.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( ) A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 24.如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要(　　) A.4米    B.5米    C.6米    D.7米 25.一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需(   ). A.6秒       B.5秒       C.4秒       D.3秒 26.如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了　 　步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草． 27.如图，两阴影部分都是正方形，如果两正方形面积之比为1：2，那么，两正方形的面积分别为 ． 28.如图所示，由四个全等的直角三角形拼成的图中，直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为________，小正方形的面积为________． 二 、解答题 29.如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，请算出旗杆的高度． 30.如图，∠AOB＝90°，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？ 答案 1.C. 2.C. 3.C 4.B. 5.答案为：4＋2. 6.答案为：(1)2；(2)2；(3)10，24. 7.解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1 ∵a＝19，a2＋b2＝c2， ∴192＋b2＝(b＋1)2， ∴b＝180， ∴c＝181； (2)通过观察知c﹣b＝1， ∵(2n＋1)2＋b2＝c2， ∴c2﹣b2＝(2n＋1)2， (b＋c)(c﹣b)＝(2n＋1)2， ∴b＋c＝(2n＋1)2， 又c＝b＋1， ∴2b＋1＝(2n＋1)2， ∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1； 8.解：A＝(n2﹣1)2＋(2n)2＝n4﹣2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2， ∵A＝B2，B＞0， ∴B＝n2＋1， 当2n＝8时，n＝4，∴n2＋1＝42＋1＝15； 当n2﹣1＝35时，n2＋1＝37． 故答案为：15；37 9.解：(1)∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…， ∴4＝，12＝，24＝… ∴11，60，61；13，84，85； (2)后两个数表示为和， ∵a2＋()2＝a2＋＝＝， ＝，∴a2＋()2＝， 又∵a≥3，且a为奇数， ∴由a，，三个数组成的数是勾股数． 10.解：(1)∵3、4、5是正整数，且32＋42＝52， ∴3、4、5是一组勾股数； (2)∵122＋162＝202，且12，16，20都是正整数， ∴一组勾股数可以是12，16，20．答案不唯一；  故答案为12，16，20 (3)∵m表示大于1的整数， ∴由a＝4m，b＝4m2﹣1，c＝4m2＋1得到a、b、c均为正整数； 又∵a2＋b2＝(4m)2＋(4m2﹣1)2＝16m2＋16m4﹣8m2＋1＝16m4＋8m2＋1， 而c2＝(4m2＋1)2＝16m4＋8m2＋1， ∴a2＋b2＝c2， ∴a、b、c为勾股数． 勾股定理三边关系 11.A 12.B. 13.C 14.A. 15.答案为：5或. 16.答案为：10． 17.答案为：2. 18.解：作AH⊥BC于H. ∵AB＝AC， ∴BH＝CH＝5， ∴AH＝12， ∴S△ABC＝BC×AH＝60 19.解：(1)∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠1＝∠2， ∵MN∥BC， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴OE＝OC， 同理可得OF＝OC， ∴OE＝OF； (2)∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠1＝∠2， ∵CF是∠OCD的平分线， ∴∠4＝∠5， ∴∠ECF＝90°， 在Rt△ECF中，由勾股定理得EF＝5. ∴OE＝OF＝OC＝0.5EF＝2.5. 20.解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4. ∴AB＝2； (2)Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，AC＝4， ∴c2﹣a2＝16， ∴(c﹣2)2﹣(a＋4)2＋4(c＋2a＋3)， ＝c2﹣4c＋4﹣(a2＋8a＋16)＋4c＋8a＋12， ＝c2﹣4c＋4﹣a2﹣8a﹣16＋4c＋8a＋12， ＝c2﹣a2， ＝16. 21.解：画图如图所示. (1)S△ABC＝2. (2)最长边上的高为. 勾股定理的应用 22.B 23.B 24.D 25.C 26.答案为：8． 27.答案为：12，24． 28.答案为：13，1. 29.解：设旗杆的高度为x米，根据勾股定理， 得x2＋52＝(x＋1)2， 解得：x＝12； 答：旗杆的高度为12米． 30.解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等， 即BC＝CA， 设AC为x，则OC＝45﹣x， 由勾股定理可知OB2＋OC2＝BC2， 又∵OA＝45，OB＝15， 把它代入关系式152＋(45﹣x)2＝x2， 解方程得出x＝25(cm)． 答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．