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2023年人教版八年级数学下册
《矩形的性质与判定》分层练习
矩形的性质
1.如图，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上，如果∠1＝25°，那么∠2的度数是( )
A.100° B.105° C.115° D.120°
2.如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为( )
A.10cm B.8cm C.6cm D.5cm
3.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠一次，则图中全等三角形有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
4.如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为( )
A.5 B. C. D.﹣1
5.长方形ABCD面积为12，周长为14，则对角线AC的长为 .
6.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠AEF＝______．
7.如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为 ．
8.如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是 .
9.如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF＝BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF.求证：
(1)△ABF≌△DEA；
(2)DF是∠EDC的平分线.
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处.
(1)求EF的长；
(2)求四边形ABCE的面积.
矩形的判定
11.在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( )
A.AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B.AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C.∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BD
D.∠A＝∠B＝90°，AC＝BD
12.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A.AB＝BC B.AC⊥BD C.AC＝BD D.∠1＝∠2
13.在▱ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的条件是( )
A.AB＝AD B.OA＝OB C.AC＝BD D.DC⊥BC
14.如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )
A.OM＝AC B.MB＝MO C.BD⊥AC D.∠AMB＝∠CND
15.如图所示，已知▱ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明▱ABCD是矩形的有(填写序号) ．
16.如图，已知MN∥PQ，EF与MN、PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，交于B、D，则四边形ABCD是________．
17.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O，E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为____.
18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为 ．
19.如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．
20.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.
直角三角形斜边上中线的性质
21.Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角为30°，最短边长为5cm，则最长边上的中线是( )
A.5cm B.15cm C.10cm D.2.5cm
22.如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.8cm
23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是( )
A.60° B.45° C.30° D.75°
24.若一个三角形的三边长分别为6、8、10，则这个三角形最长边上的中线长为( )
A.3.6 B.4 C.4.8 D.5
25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D为AB边的中点，则CD＝ .
26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若CD＝5，则EF的长为 .
27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，
则∠ECD的度数为 .
28.如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，D是BC边上任意一点，连接AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE .
29.如图，∠BAC为钝角，CD⊥AB，交BA的延长线于点D，BE⊥AC，交CA的延长线于点E，M是BC的中点.
求证：ME＝MD.
30.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，AD的中点，连接BM，MN，BN.
(1)求证：BM＝MN;
(2)∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长.
答案
矩形的性质
1.C.
2.D
3.C
4.D
5.答案为：5.
6.答案为：75°.
7.答案为：3．
8.答案为：2.
9.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AFB，
∵DE⊥AF，
∴∠DEA＝∠B＝90°，
∵AF＝BC，
∴AF＝AD，
在△DEA和△ABF中
∵，
∴△DEA≌△ABF(AAS)；
(2)证明：∵由(1)知△ABF≌△DEA，
∴DE＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，DC＝AB，
∴DC＝DE.
∵∠C＝∠DEF＝90°
∴在Rt△DEF和Rt△DCF中
∴Rt△DEF≌Rt△DCF(HL)
∴∠EDF＝∠CDF，
∴DF是∠EDC的平分线.
10.解：(1)设EF＝x依题意知：△CDE≌△CFE，
∴DE＝EF＝x，CF＝CD＝6.
∵在Rt△ACD中，AC＝10，
∴AF＝AC﹣CF＝4，AE＝AD﹣DE＝8﹣x.
在Rt△AEF中，有AE2＝AF2＋EF2
即(8﹣x)2＝42＋x2
解得x＝3，即：EF＝3.
(2)由(1)知：AE＝8﹣3＝5，
∴S梯形ABCE＝(5＋8)×6÷2＝39.
矩形的判定
11.C.
12.C.
13.A
14.A.
15.答案为：①④.
16.答案为：矩形.
17.答案为：12；
18.答案为：2.4.
19.证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD．
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE＝AD，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴▱BECD是矩形．
20.(1)证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
(2)解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形.
理由是：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形.
直角三角形斜边上的中线性质
21.A
22.B
23.C.
24.D
25.答案为：3
26.答案为：5
27.答案为：45°
28.答案为：10.
29.证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°.
∵M是BC的中点，
∴ME＝BC，MD＝BC，
∴ME＝MD.
30.证明：(1)∵M，N分别为AC，AD的中点，
∴MN∥AD，且MN＝AD.
∵在Rt△ABC中，M是AC的中点，
∴BM＝AC.
又∵AC＝AD，
∴MN＝BM.
(2)解：∵∠BAD＝60°，且AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°.
由(1)得BM＝AC＝AM＝MC，
∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°.
∵MN∥AD，
∴∠NMC＝∠DAC＝30°，
∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°，
∴BN2＝BM2＋MN2，
由(1)得MN＝BM＝AC＝×2＝1，
∴BN＝.
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