2023年中考数学二轮复习
《定义新运算》强化练习
一 、选择题
1.规定a○b=, 则(6○4)○3等于( )
A.4 B.13 C.15 D.30
2.定义一种运算☆，其规则为a☆b=＋，根据这个规则计算2☆3的值是( )
A. B. C.5 D.6
3.规定符号*的意义为：a*b=，那么−3*4等于( )
A. B.- C. D.-
4.规定一种新的运算“*”：对于任意有理数x,y满足x*y＝x﹣y＋xy.例如，3*2＝3﹣2＋3×2＝7,则2*1＝( )
A.4 B.3 C.2 D.1
5.若※是新规定的运算符号，设a*b=ab+ab+b，则在2*x=-16中，x的值( )
A.－8 B.6 C.8 D.－6
6.对于两个实数，规定max{a，b}表示a、b中的较大值，当a≥b时，max{a，b}＝a，当a＜b时，max{a，b}＝b，例如：max{1，3}＝3.则函数y＝max{x2＋2x＋2，﹣x2﹣1}的最小值是( )
A.1 B.﹣1 C.0 D.2
7.对于两数a、b，定义运算：a*b=a+b—ab，则在下列等式中，正确的为( )
①a*2=2*a；②(—2)*a=a*(—2)； ③(2*a)*3=2*(a*3)；④0*a=a
A.①③ B.①②③ C.①②③④ D.①②④
8.我们根据指数运算，得出了一种新的运算.
如表是两种运算对应关系的一组实例：
根据上表规律,某同学写出了三个式子:
①log216=4;②log525=5;③log20.5=﹣1.其中正确的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
9.在有理数范围内定义运算“*”，其规则为a*b=(2a+b)，则方程(2*3)(4*x)=49的解为( )
A.－3 B.55 C.－56 D.－55
10.对于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，定义一种运算：A⊕B＝(x1＋x2)＋(y1＋y2).例如，A(﹣5，4)，B(2，﹣3)，A⊕B＝(﹣5＋2)＋(4﹣3)＝﹣2.若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D＝D⊕E＝E⊕F＝F⊕D，则C，D，E，F四点( )
A.在同一条直线上
B.在同一条抛物线上
C.在同一反比例函数图象上
D.是同一个正方形的四个顶点
11.平面直角坐标系中，点P的坐标为(m，n)，则向量可以用点P的坐标表示为＝(m，n)；已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，若x1·x2＋y1·y2＝0，则与互相垂直.下列四组向量：
①＝(3，－9)，＝(1，－)；
②＝(2，π0)，＝(，－1)；
③＝(cos 30°，tan 45°)，＝(sin 30°，tan 45°)；
④＝(＋2，)，＝(－2，).
其中互相垂直的组有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
12.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x＋(x＞0)的最小值是2”.其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2(x＋)；当矩形成为正方形时，就有x＝(x＞0)，解得x＝1，这时矩形的周长2(x＋)＝4最小，因此x＋(x＞0)的最小值是2.模仿张华的推导，你求得式子(x＞0)的最小值是( )
A.2 B.1 C.6 D.10
二 、填空题
13.定义一种新的运算a﹠b=ab，如2﹠3=23=8，那么(3﹠2)﹠2=________.
14.一列数a1，a2，a3，…满足条件：a1=，an=(n≥2，且n为整数)，则a2 024=____.
15.若 (x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则 32a0＋16a1＋8a2＋4a3＋2a4＋a5＝____.
16.请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：
1⊕2＝2⊕1＝3，(﹣3)⊕(﹣4)＝(﹣4)⊕(﹣3)＝﹣，(﹣3)⊕5＝5⊕(﹣3)＝﹣，….你规定的新运算a⊕b＝_____________(用含a，b的一个代数式表示).
17.李明同学开发了一种数值转换程序，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数：a﹣1＋|b|﹣π0，例如把(3，﹣1)放入其中，就会得到3﹣1＋|﹣1|﹣π0＝.再将实数对(﹣1，3)放入其中，得到实数m，再将实数对(m，2)放入其中，得到实数是________.
18.我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，如果我们规定一个新数“i”，使它满足i2＝﹣1(即x2＝﹣1有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝(﹣1)•i＝﹣i，i4＝(i2)2＝(﹣1)2＝1，从而对任意正整数n，由于i4n＝(i4)n＝1n＝1，i4n＋1＝i4n•i＝1•i＝i，同理可得i4n＋2＝﹣1，i4n＋3＝﹣i，那么，i9＝ ；i2026＝ .
三 、解答题
19.规定一种新的运算：a★b=a×b﹣a﹣b2+1，例如3★(﹣4)=3×(﹣4)﹣3﹣(﹣4)2+1，请用上述规定计算下面各式：
(1)2★5；
(2)(﹣5)★[3★(﹣2)].
20.已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y=xy+1.
(1)求2※4的值；
(2)求(1※4)※(﹣2)的值；
(3)任意选择两个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列□和○中，并比较它们的运算结果：□※○和○※□；
(4)探索a※(b+c)与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来.
21.定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数.
如：2的差倒数是=－1，－1的差倒数是=.已知a1=－，
(1)a2是a1的差倒数，求a2；
(2)a3是a2的差倒数，求a3；
(3)a4是a3的差倒数，…依此类推an＋1是an的差倒数，直接写出a2017.
22.阅读以下材料：
对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数.例如：
M{－1，2，3}＝＝；min{－1，2，3}＝－1；min{－1，2，a}＝
解决下列问题：
(1)填空：如果min{2，2x＋2，4－2x}＝2，则x的取值范围为_______________；
(2)如果M{2，x＋1，2x}＝min{2，x＋1，2x}，求x.
23.定义[p,q]为一次函数y＝px＋q的特征数.
(1)若特征数是[2,m+1]的一次函数为正比例函数，求m的值；
(2)已知抛物线y＝(x＋n)(x﹣2)与x轴交于点A、B，其中n>0，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且△OAC的面积为4，O为原点，求图象过A、C两点的一次函数的特征数.
24.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图1在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sad A，这时sad A＝＝.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad 60°＝_________；
(2)对于0°
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