广东省名校联盟2023届高三下学期大联考数学试题 附答案

高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设，则（ ） A. B. C. D. 2.复数在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 4.展开式中的常数项为（ ） A. B.60 C.120 D. 5.若正整数的所有真因数（即不是自身的因数）之和等于，正整数的所有真因数之和等于，则称和是一对“亲和数”.约两千五百年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现第一对亲和数：284和的所有真因数为的所有真因数为.若分别从284和220的所有真因数中各随机抽取一个数，则取出的两个数的和为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 6.已知椭圆的左焦点为是上一点，，则的最大值为（ ） A.7 B.8 C.9 D.11 7.“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（ ）（参考数据：） A.6 B.7 C.8 D.9 8.已知函数则方程在区间上的实根个数为（ ） A.8 B.10 C.16 D.18 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.据某地统计局发布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率数据制成如图所示的折线图，已知8月份当地的人均月收入为2000元，现给出如下信息，其中不正确的信息为（ ） A.9月份当地人均月收入为1980元 B.10月份当地人均月收入为2040元 C.11月份当地人均月收入与8月份相同 D.这四个月中.当地12月份人均月收入最低 10.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A.所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度 B.所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D.向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标摍短到原来的，纵坐标不变 11.若，则（ ） A. B. C. D. 12.如图，正方体的棱长为2，动点分别在线段上，则（ ） A.异面直线和所成的角为 B.点到平面的距离为 C.若分别为线段的中点，则平面 D.线段长度的最小值为 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量，若，则__________. 14.已知直线与圆相交，则整数的一个取值可能是__________. 15.用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制容器底面一边的长比另一边的长多1，则最大容积为__________；此时容器的高为__________.（本题第一空3分，第二空2分） 16.半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示.已知，若在该半正多面体内放一个球，则该球表面积的最大值为__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（10分） 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）求. 18.（12分） 某地博物馆为了解该地区电视观众对考古知识的兴趣情况，随机抽㝡了200名观看过《回望2022—国内国际十大考古新闻》的观众进行调查.下图是根据调查结果绘制的200名观众收看该节目时间的频率分布直方图. 将收看该节目时间不低于80分钟的观众称为“考古热爱者”.将上述调查所得到的频率视为概率. （1）求出的值，并估计该地区的观众收看《回望2022—国内国际十大考古新闻》的平均时间（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样的方法抽取10名观众，记被抽敢的10名观众中的“考古热爱者”人数为，求的数学期望； （3）按是否为“考古热爱者”用分层抽样的方法从这200名观众中抽取10名观众，再从抽取的10名观众中随机抽取3名，表示抽取的观众中是“考古热爱者”的人数，求的分布列. 19.（12分） 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 20.（12分） 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的中点，. （1）证明：平面平面. （2）若，且二面角的大小为，求四棱锥的体积. 21.（12分） 已知双曲线的右顶点为，直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线交于两点，且轴上存在一点，使得恒成立，求. 22.（12分） 已知定义域为的函数在上的最小值为1. （1）求实数的值； （2）若方程有两个不同的实数根，证明：. 高三数学参考答案 1.A 因为，所以，所以. 2.B 因为，所以在复平面内对应的点位于第二象限. 3.B 由题意可得，解得. 4.B 展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的常数项为. 5.C 若取出的两个数的和为奇数，则取出的两个数为一奇一偶， 所以取出的两个数的和为奇数的概率. 6.C 设的右焦点为，由椭圆的定义可得. 7.C 设这次“打水漂”石片的弹跳次数为，由题意得，得，得.因为，所以，即. 8.C 由，可得或. 当时，，则，当时， ，函数单调递减，当时，，函数单调递 增，所以当时，.由题意可知，函数在 区间上的图象是由在上的图象先向右 平移2个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍得到的，作出函数在上的图象，如图所示.由图可知，方程在区间上根的个数分别为10，6. 故方程在区间上的实根个数为16. 9.ACD 因为8月份当地人均月收入为2000元，9月份当地人均月收入的增长率为0，所以9月份当地人均月收入为2000元，故错误； 因为10月份当地人均月收入的增长率为，所以10月份当地人均月收入为元，故正确； 因为11月份当地人均月收入的增长率为，所以11月份当地人均月收入为，故C错误； 因为12月份当地人均月收入的增长率为，所以12月份当地人均月收入为2000，故D错误. 10.AC 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，A正确.将的图象向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，C正确. 11.ABD 设函数，易得在上单调递增.因为 ，所以，即. 12.BCD 因为，所以异面直线和所成的角即为和所成的角.因为，所以为等边三角形，即，故错误. 连接（图略），因为，所以. 因为，所以，所以点到平面的距离为，故正确. 当分别为线段的中点时，则为的中位线， 所以，所以平面，故C正确. 过作于，过作于，连接（图略），此时最短. 设，因为为等腰直角三角形，所以. 因为也是等腰直角三角形，所以. 因为为直角三角形， 所以， 当时，，所以正确. 13.3 因为，所以，解得. 14.3（或，只需填写一个答案即可） 圆心到直线的距离，由，得，所以整数的所有可能取值为. 15.； 设容器底面的长､宽分别为，则容器的高为. 记容器的体积为，则，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，此时高为. 16. 当球的表面积最大时，该球的球心即半正多面体所在正四面体的外接球的球心，记球心为.该半正多面体所在的正四面体的高为.点到正六边形所在平面的距离为，到正三角形所在平面的距离为.故当球的表面积最大时，该球的半径为，表面积为. 17.解：（1）因为，且， 所以， 所以. （2）因为，且， 所以. 因为，所以为锐角，所以， 故. 18.解：（1）由题意可得， 解得， 估计该地区的观众收看《回望202—国内国际十大考古新闻》的平均时间为 . （2）“考古热爱者”对应的频率为， 用频率估计概率，可知从该地区大量电视观众中，随机抽取1名观众，该观众是“考古热爱者”的概率为，则，所以的数学期望. （3）根据分层抽样原则知，抽取的10人中，有“考古热爱者”人，非“考古热爱者”人，则所有可能的取值为0，1. 因为， 所以的分布列为 0 1 19.解：（1）当时，，解得. 当时，，两式相减得， 所以. 不满足上式，故 （2） ， . 两式相减得， 所以. 20.（1）证明：因为为的中点，所以. 因为，且， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）解：连接.因为为等边三角形， 所以，所以两两垂直.以为原点， 分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 因为，所以， 所以. 设平面的法向量为， 则 令，得. 平面的一个法向量为， 因为二面角的大小为， 所以， 解得，所以. 21.解：（1）因为双曲线的右顶点为，所以. 当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，直线平行于双曲线的一条渐近线. 不妨设直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 所以. 因为，所以， 故双曲线的方程为. （2）设直线的方程为， 联立方程组得， 则且. 因为， 所以直线与双曲线的右支交于两点， 所以，即. 因为， 所以， 所以， 所以. 22.（1）解：因为，所以. 当时，，所以在上单调递减，没有最小值，所以. 令，得， 当，即时，在上单调递增，没有最小值， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 令，则. 由，得；由，得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，故. （2）证明：由（1）知，且在上单调递减，在上单调递增. 设， 令， 则， 所以在上单调递减. 因为，所以，即. 因为，所以. 因为，所以. 因为，且在上单调递增， 所以，故.