丹东市2022~2023学年度上学期期末教学质量监测
高三数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，，则中元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知，则正实数（ ）
A．1 B． C． D．2
3．设命题命题则p是的q（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象函数式为（ ）
A． B． C． D．
5．已知等比数列的前三项和84，，则（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
6．从三个班级，每班随机选派两名学生为代表，这六名同学被随机安排在一个圆桌会议室进行“深度学习与复习”座谈，会议室的圆桌正有好有六个座位，则同一班级的两名同学恰好被安排在一起相邻而坐的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．设函数，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称 D．的图象关于直线轴对称
8．已知，为双曲线的两个焦点，以为直径的圆与C及C的渐近线在第一象限的交点分别为点A和点B，若A，B两点横坐标之比为4∶3，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识，为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率都小于100%
B．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
C．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
10．正方体的棱长为1，P为线段上的点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．三棱锥的体积为定值 D．BP与所成角的最小值为45°
11．抛物线的焦点为F，准线为l，经过C上的点M作C的切线m，m与y轴、l、x轴分别相交于点N、P、Q，过M作l垂线，垂足为，则（ ）
A． B．N为中点
C．若，则 D．若∠MPF=60°，则
12．设，，若a，b，c互不相等，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，若，则实数x=______．
14．当时，取得最大值，则的一个值为______．（任意写出满足条件的一个值即可）
15．直三棱柱的所有棱长均为2，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______．
16．若是函数的极大值点，则f（1）的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求．
18．（12分）
设数列的前n项和是，数列的前n项乘积是，已知．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）数列中的第几项最接近2023？
19．（12分）已知某商业银行甲、乙两个风险理财项目的年利润率分别为和，利润率为负表示亏损，根据往年的统计数据得到和的分布列：
5%
10%
-2%
P
0.6
0.15
0.25
4%
6%
12%
-2.5%
P
0.2
0.5
0.1
0.2
现有200万元资金准备投资到甲、乙两个风险理财项目一年．
（1）在甲、乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目甲和乙所获得的年利润，求和；
（2）项目甲投资x万元，项目乙投资万元，其中，，用表示投资甲项目的年利润方差与投资乙项目的年利润方差之和，问该如何分配这200万元资金，能使的数值最小？
20．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，已知，BC=2AD，AD=DC，∠BCD=60°，CD⊥PD，PB⊥BD．
（1）证明：PB⊥AB；
（2）设E是PC的中点，直线AE与平面ABCD所成角等于45°，求二面角B-PC-D的余弦值．
21．（12分）已知椭圆有两个顶点在直线上，C的中心到l的距离为
（1）求C的方程；
（2）设、是经过C下顶点的两条直线，与C相交于点M，与圆相交于点N，若斜率的不等于0，斜率等于斜率的2倍，证明：直线MN经过定点．
22．（12分）
已知函数．
（1）证明：若，则；
（2）证明：若有两个零点，，则．
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高三数学试题参考答案
一、选择题
1．A 2．D 3．A 4．D 5．B 6．C 7．C 8．D
二、选择题
9．AC 10．BC 11．BD 12．ABD
三、填空题
13．1 14． 15． 16．
注：14题答案不唯一，只要满足即可．
四、解答题
17．解：（1）由题设及余弦定理得．
因为0°
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