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2020-2021学年江苏省淮安市高二(下)期末
数学试卷
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分).
1.已知复数z满足i(z+1)=1﹣i(i为虚数单位),则复数z的共轭复数为( )
A.﹣2﹣i B.﹣2+i C.2﹣i D.2+i
2.(x2+2)(x﹣1)10的展开式中的常数项为( )
A.8 B.4 C.3 D.2
3.设随机变量X,Y满足:Y=3X﹣1,X~B(2,),则V(Y)=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
4.袋中装有4个红球和2个蓝球,不放回地依次摸出两球,在第一次摸到红球的条件下,第二次摸到蓝球的概率是( )
A. B. C. D.
5.6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”,参观结束后他们排成一排照相留念.若老师站在正中间,甲、乙两同学相邻,则不同的排法共有( )
A.240 B.192 C.120 D.96
6.函数f(x)=的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图,洛书(古称龟书),是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数,则选取的3个数之和为偶数的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f′(x)<f(x),则( )
A.f(4)>ef(3) B.f(﹣4)>e2f(﹣2)
C.e2f(4)<f(2) D.ef(﹣4)>f(﹣3)
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0.
9.若直线是函数f(x)图象的一条切线,则函数f(x)可以是( )
A. B.f(x)=x4 C.f(x)=sinx D.f(x)=ex
10.设z1,z2为复数,则下列说法正确的是( )
A.若z12+z22=0,则z1=z2=0
B.|z1z2|=|z1||z2|
C.=
D.若|z1|=|z2|,则z1=±z2
11.在一次满分为150分的数学测试中,某校共有800名学生参加,学生的成绩X服从正态分布N(110,100),其中90分为及格线,120分为优秀线,则下列说法正确的是 ( )
附:随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974.
A.该校学生数学成绩的期望为110
B.该校学生数学成绩的标准差为100
C.该校数学成绩140分以上的人数大于5
D.该校数学成绩及格率超过0.97
12.中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育;“乐”主要指美育;“射”和“御”就是体育和劳动;“书”指各种历史文化知识;“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,一天内连续安排六节课,则下列说法正确的是( )
A.某学生从中选3门学习,共有20种选法
B.“礼”和“射”不相邻,共有400种选法
C.“乐”不能排在第一节,且“数”不能排在最后,共有504种选法
D.“书”必须排在前三节,且“射”和“御”相邻,共有108种选法
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
13.写出一个使得z﹣z4=0成立的虚数z= .
14.甲乙两人射击,中靶的概率分别为0.9,08.若两人同时独立射击,则恰有一人不中靶的概率为 .
15.设a∈Z,且0≤a≤16,若42021+a能被17整除,则a的值为 .
16.在18世纪,法国著名数学家拉格日在他的《解析函数论》中,第一次提到拉格朗日中值定理,其定理陈述如下,如果函数f(x)区间[a,b]上连续不断,在开区间(a,b)内可导(存在导函数),在区间(a,b)内至少存在一个点x0∈(a,b),使得f(b)﹣f(a)=f′(x0)(b﹣a),则x=x0称为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的中值点,则关于x的f(x)=ex+mx在区间[﹣1,1]上的中值点x0的值为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17.在(x+)2n的二项展开式中,二项式系数之和为64.
(1)求正整数n的值;
(2)求(x+)2n的二项展开式中二项式系数最大的项.
18.在①曲线y=f(x)在点(,f())处的切线与y轴垂直,②f(x)的导数y=f′(x)的最小值为﹣,③函数f(x)在区间(﹣,)上是减函数,在区间(﹣∞,﹣),(,+∞)上是增函数.这三个条件中任选一个补充在横线上,并回答下面问题.
已知函数f(x)=x3+ax+b,且满足 ____.
(1)求a值;
(2)若函数y=f(x)在区间[﹣1,2]上的最大值与最小值的和为7,求b值.
19.为了调查某地区中学生是否喜欢踢足球,用简单随机抽样的方法从该地区调查了500名学生,调查结果如下:
性别
是否喜欢踢足球
男
女
总计
喜欢踢足球
40
y
70
不喜欢踢足球
x
270
z
总计
500
(1)求x,y,z的值;
(2)能否有99%的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关?
附:X2=.
P(X2≥x0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x0
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20.欧拉(1707﹣1783),他是数学史上最多产的数学家之一,他发现并证明了欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ,从而建立了三角函数和指数函数的关系,若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来,两个超越数——自然对数的底数e,圆周率π,两个单位——虚数单位i和自然数单位1,以及被称为人类伟大发现之一的0,数学家评价它是“上帝创造的公式”,请你根据欧拉公式:eiθ=cosθ+isinθ,解决以下问题:
(1)将复数+eπi写成a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)的形式;
(2)求|eπi﹣eθi|(θ∈R)的最大值.
21.甲乙丙三人进行兵兵球练习赛,约定练习赛规则如下:比赛前抽签决定先比赛的两个人,另一个人做裁判,每场比赛结束时,胜的一方在下一局与裁判进行比赛,负的一方在下一局做裁判,每局比赛的结果都相互独立,每场比赛双方获胜的概率都是,第一局通过抽签确定甲先当裁判.
(1)求丙前4局都不做裁判的概率;
(2)求第3局甲当裁判的概率;
(3)记前4局乙当裁判的次数为X,求X的概率分布和数学期望.
22.函数f(x)=ex﹣2sinx﹣1,设函数m(x)=f′(x).证明:
(1)m(x)在区间()上存在唯一的极小值点;
(2)f(x)在()上有且仅有两个零点.
参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分).
1.已知复数z满足i(z+1)=1﹣i(i为虚数单位),则复数z的共轭复数为( )
A.﹣2﹣i B.﹣2+i C.2﹣i D.2+i
解:因为i(z+1)=1﹣i,
所以,
所以z=﹣2﹣i,所以.
故选:B.
2.(x2+2)(x﹣1)10的展开式中的常数项为( )
A.8 B.4 C.3 D.2
解:因为二项式(x﹣1)10的展开式的通项公式为T,
令10﹣r=0,解得r=10,
故(x2+2)(x﹣1)10(x﹣1)10的展开式常数项为2×1=2,
故选:D.
3.设随机变量X,Y满足:Y=3X﹣1,X~B(2,),则V(Y)=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解:因为X~B(2,),
则V(X)=2××=,
又Y=3X﹣1,
所以V(Y)=V(3X﹣1)=.
故选:A.
4.袋中装有4个红球和2个蓝球,不放回地依次摸出两球,在第一次摸到红球的条件下,第二次摸到蓝球的概率是( )
A. B. C. D.
解:因为第一次摸到红球,
所以还剩下3个红球和2个篮球,
所以在第一次摸到红球的条件下,第二次摸到蓝球的概率是.
故选:D.
5.6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”,参观结束后他们排成一排照相留念.若老师站在正中间,甲、乙两同学相邻,则不同的排法共有( )
A.240 B.192 C.120 D.96
解:共有7个人,老师在正中间,则老师左右各3人,
所以甲乙相邻在老师左右共有4种情况满足,剩下4人全排即可,
所以不同的排法共有4×=192种,
故选:B.
6.函数f(x)=的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
解:根据题意,f(x)=,其定义域为{x|x≠0且x≠±1},
则f(﹣x)=﹣=﹣f(x),则f(x)为奇函数,排除A、D,
在区间(0,1)上,ln|x|=lnx<0,必有f(x)<0,排除B,
故选:C.
7.如图,洛书(古称龟书),是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数,则选取的3个数之和为偶数的概率为( )
A. B. C. D.
解:由题意,四个阴数为4个偶数,2,4,6,8,
五个阳数为5个奇数,1,3,5,7,9,
所以基本事件的个数共有个,
选取的3个数之和为偶数,则有个,
故所求的概率为=.
故选:C.
8.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f′(x)<f(x),则( )
A.f(4)>ef(3) B.f(﹣4)>e2f(﹣2)
C.e2f(4)<f(2) D.ef(﹣4)>f(﹣3)
解:f(x)是定义在R上的奇函数,
令F(x)=,F′(x)=,
因为当x>0时,f′(x)<f(x),所以F′(x)<0,函数F(x)是减函数,
所以F(4)<F(3),可得f(4)<ef(3),所以A不正确;
F(4)<F(2),可得f(4)<e2f(2),所以C不正确;
则﹣f(4)>﹣e2f(2),即f(﹣4)>e2f(﹣2),所以B正确;
f(4)<ef(3),﹣f(4)>﹣ef(3),可得f(﹣4)>ef(﹣3),所以D不正确;
故选:B.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0.
9.若直线是函数f(x)图象的一条切线,则函数f(x)可以是( )
A. B.f(x)=x4 C.f(x)=sinx D.f(x)=ex
解:直线的斜率为k=,
由f(x)=的导数为f′(x)=﹣,即有切线的斜率小于0,故A不能选;
由f(x)=x4的导数为f′(x)=4x3,而4x3=,解得x=,故B可以选;
由f(x)=sinx的导数为f′(x)=cosx,而cosx=有解,故C可以选;
由f(x)=ex的导数为f′(x)=ex,而ex=,解得x=﹣ln2,故D可以选.
故选:BCD.
10.设z1,z2为复数,则下列说法正确的是( )
A.若z12+z22=0,则z1=z2=0
B.|z1z2|=|z1||z2|
C.=
D.若|z1|=|z2|,则z1=±z2
解:对于A选项,当z1=1,z2=i时,z12+z22=0,故A选项错误,
对于B选项,由复数模的运
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