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云南省部分名校2020-2021学年高二下学期期末联考
数学试卷(理)
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则=( )
A. B. C. D.
2.设复数z满足.则z的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知a,b的等比中项为1,则的最小值为( )
A. B.1 C. D.2
4.若双曲线的一条渐近线方程为.则m=( )
A. B. C.4 D.2
5.已知平面向量,.且.测m=( )
A.1 B. C. D.2
6.已知x,y满足约束条件,则的最大值为( )
A. B.0 C.2 D.3
7.已知抛物线C:的燃点为F抛物线C上一点A满足,则以点A为圆心,为半径的圆被x轴所截得的弦长为( )
A.1 B.2 C. D.
8.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型:(t为时间,单位为分钟.为环境温度.为物体初始温度,为冷却后温度),假设一杯开水温度,环境温度,常数,大约经过多少分钟水温降为50℃?( )(参考数据:,)
A.5 B.6 C.7 D.8
9.点P在函数的图象上,若满足到直线的距离为1的点P有且仅有1个,则a=( )
A. B. C. D.
10.将1,2,3.4.5.6这6个数填入如图所示的3行2列表格中,要求表格每一行数字之和均相等,则可组成不同表格的个数为( )
A.8 B.24 C.48 D.64
11.已知圆锥的侧面积为,且圆锥的侧面展开图恰好为半圆.则该圆锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
12.将数列和中的所有项按从小到大排成如下数阵:
用表示第i行第j列的数.则( )
A.1647 B.1570 C.1490 D.1442
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.已知函数为奇函数,则=__________.
14.开式中的常数项为,则a=__________.
15.如图,在正方体中,M,N分别是,的中点,P是上一点,且,则异面直线与所成角的余弦值为__________.
16.已知,函数,若不等式恒成立,则a的取值范围为__________.
三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
(―)必考题:共60分.
17.(12分)
的内角A,B.C的对边分别为a,b,c,的面积为.
(1)求A;
(2)若,求.
18.(12分)
如图,在三棱锥中,,平面平面,E,F分别是,的中点.
(1)证明:.
(2)若,求二面角的余弦值
19.(12分)
在“低碳生活知识竞赛”第一环节测试中,依次回答A,B,C三道题,且A,B,C三道题的分值分别为30分、20分、20分.竞赛规定:选手累计得分不低于40分即通过测试,并立即停止答题.已知甲选手回答A,B,C三道题正确的概率分别为0.1、0.5、0.5,乙选手回答A,B,C三道题正确的概率分别为0.2、0.4、0.4,且回答各题时相互之间没有影响.
(1)求甲通过测试的概率;
(2)设Y为本次测试中乙的得分,求Y的分布列以及期望;
(3)请根据测试结果来分析,甲,乙两人谁通过测试的概率更大?
20.(12分)
已知F是椭圆E的右焦点,点是椭圆上一点,且轴.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过F作直线l交E于A,B两点,且的面积为,O为坐标原点.求直线l的斜率.
21.(12分)
已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若恒成立,求a的取值范围.
(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
直角坐标系中,曲线C的参数方程为(m为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)已知点,若直线l与曲线C交于A,B两点,求的值.
23.[选修4—5,不等式选讲](10分)
已知函数.
(1)当时,解不等式;
(2)当时,若恒成立求a的取值范围.
云南省部分名校2020-2021学年高二下学期期末联考
数学试卷参考答案(理科)
1.A因为,所以.
2.C ,则的虚部为.
3.D由题可知..所以,当且仅当时,取得最小值.
4.C由题意知双曲线的渐近线方程为,可化为,则,解得.
5.B由,得,所以,则.
6.C画出可行域(图略)知,当平移到过点时,z取得最大值,最大值为2.
7.B由抛物线方程可得由抛物线定义可得|.则,,则以点A为圆心,为半径的圆被x轴所截得的弦长为.
8.A由题意知,分钟,故选A.
9.B设直线与相切于点,则,解得切点为,由题可知到直线的距离为1.所以,解得,结合图象(图略)可知,.
10.C由,则可组成不同表格的个数为.
11.D设圆锥的底面半径为r,高为h.母线长为l.则,,解得,,,设圆锥外接球的半径为R.所以,解得,则外接球的表面积为.
12.A由,可知是第45个数,推理可知前45项中,占有6项,占有39项,所以.
13. ,则.
14.的通项公式为,当时,,此时展开式中的常数项为,则.
15.在边上取点E,使得,连接,,则,所以为异面直线与所成角.设,则,,所以.
16.结合函数的图象(图略)可知,为奇函数,所以不等式,可化为,所以,则,即a的取值范围为.
17.解:(1)由题可知,
则,∴.
(2)∵,由正弦定理得,
又,
∴,
整理可得.即,
∴.
由,,所以,,
.
18.(1)证明:作O为的中点,连接,,则,.
又,所以平面.
所以.
因为E,F分别为,的中点,所以,则.
(2)解:由平面平面,交线为,所以平面.
以O为坐标原点,以,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,,,,
所以,.
设平面的一个法向量,
由,得,取
又易知平面的一个法向量,
故,
所以二面角的余弦值为.
19.解:(1)若甲通过测试,则甲的得分X为40或50,
,
,
所以.
(2)Y的可能取值为0,20,30,40,50.
,
,
,
,
.
Y的分布列为
Y
0
20
30
40
50
P
0.288
0.384
0.072
0.128
0.128
则.
(3)甲通过测试的概率更大.
理由如下:
乙通过测试的概率,
甲通过测试的概率为0.3,大于乙通过测试的概率.
20.解:(1)由题可知,
解得,,,
所以椭圆的方程为.
(2)设l的方程为,,,
联立方程组,可得,
则,,
所.
О到直线l的距离为,所以的面积,
解得,即直线l的斜率为.
21.解:(1).
令,则,则函数在上单调递减,在上单调递增.
又因为.且当时,,所以在上单调递增,在上单调递减.
(2)若恒成立,则在上恒成立.
令,则,.
令.则,故在上单调递增,
故存在,使得,从而,,
故在上单调递减,在上单调递增,
故,
故的最小值是1,即a的取值范围是.
22.解:(1)曲线C的参数方程为(m为参数),
所以,,
相减可得.即曲线C的普通方程为.
直线l的极坐标方程为,则转换为直角坐标方程为.
(2)直线过点,直线的参数方程为(t为参数).
令点A,B对应的参数分别为,
将代入,得,
得,,
∴.
23.解:(1)(1)当时,得,解得,所以;
(2)当时,得,解得,所以;
(3)当时,得,解得,所以.
综上所述,原不等式的解集为
(2)
所以,
又恒成立,所以,解得,所以的取值范围为.
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