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2020-2021学年山西省朔州市怀仁市高二(下)期末
数学试卷(文科)
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分).
1.若iz=4+3i,其中i为虚数单位,则复数z等于( )
A.﹣3﹣4i B.3﹣4i C.﹣3+4i D.3+4i
2.对于自变量x和因变量y,当x取值一定时,y的取值带有一定的随机性,x,y之间的这种非确定性关系叫( )
A.函数关系 B.线性关系 C.相关关系 D.回归关系
3.下列表述正确的是( )
①归纳推理是由特殊到一般的推理;
②演绎推理是由一般到特殊的推理;
③类比推理是由特殊到一般的推理;
④分析法是一种间接证明法.
A.①②③④ B.②③④ C.①②④ D.①②
4.为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况,抽取了部分学生作为样本,统计其喜欢的支付方式,并制作出如下等高条形图:
根据图中的信息,下列结论中不正确的是( )
A.样本中的男生数量多于女生数量
B.样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量
C.样本中多数男生喜欢手机支付
D.样本中多数女生喜欢现金支付
5.在2×2列联表中,两个比值相差越大,两个分类变量有关系的可能性就越大,那么这两个比值为( )
A.与 B.与 C.与 D.与
6.观察如图中各多边形图案,每个图案均由若干个全等的正六边形组成,记第n个图案中正六边形的个数是f(n).由f(1)=1,f(2)=7,f(3)=19,…,可推出f(10)=( )
A.271 B.72 C.73 D.74
7.某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为7天左右,短的大约2~3天,长的大约10~14天,甚至有20余天.某医疗机构对400名确诊患者的潜伏期进行统计,整理得到以下频率分布直方图.根据该直方图估计;要使90%的患者显现出明显病状,需隔离观察的天数至少是( )
A.12 B.13 C.14 D.15
8.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准,现选择15名志愿者,对其身高和臂展进行测量(单位:厘米),左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图,右图为身高与臂展所对应的散点图,并求得其回归方程为=1.16x﹣30.75,以下结论中不正确的为( )
A.15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B.15名志愿者身高和臂展成正相关关系
C.可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D.身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米
9.从全体高二同学的期末考试成绩中,随机抽取了100位同学的数学成绩进行分析,在录入数据时,统计员不小心将100位同学中的最高成绩148分录成了150分,则在计算出的数据中一定正确的是( )
A.平均分 B.方差 C.中位数 D.标准差
10.有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则( )
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
11.小正方形按照如图所示的规律排列:
每个图中的小正方形的个数构成一个数列{an},有以下结论:
①a5=15;②数列{an}是一个等差数列;③数列{an}是一个等比数列;④数列的递推公式为:an+1=an+n+1(n∈N*).其中正确的命题序号为( )
A.①② B.①③ C.①④ D.①
12.已知a>0,不等式x+≥2,,x+≥4,可推广为x≥,则a的值为( )
A.n2 B.nn C.2n D.22n﹣3
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数f(x)=excosx﹣x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是 .
14.下列命题中,正确的命题有 .
①回归直线恒过样本点的中心,且至少过一个样本点;
②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后,方差不变;
③用相关指数R2来刻画回归效果,R2越接近0,说明模型的拟合效果越好;
④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生从1~160编号,按编号顺序平均分成20组(1~8号,9~16号,…,153~160号),若第16组抽出的号码为126,则第一组中用抽签法确定的号码为6号.
15.在极坐标系中,已知圆的圆心C,半径r=,点Q在圆C上运动若P点在线段OQ上,且|OP|:|PQ|=2:3,则动点P的极坐标方程 .
16.如图所示:有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
(1)每次只能移动一个金属片;
(2)在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n);
①f(3)= ;
②f(n)= .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知复数z=(a2﹣4)+(a+2)i(a∈R).
(Ⅰ)若z为纯虚数,求实数a的值;
(Ⅱ)若z在复平面上对应的点在直线x+2y+1=0上,求实数a的值.
18.已知正项数列{an}的前n项和Sn,满足2Sn=an2+an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:+…+.
19.某科研课题组通过一款手机APP软件,调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”),得到如下的频数分布表:
周跑量
(km/周)
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
[40,45)
[45,50)
[50,55)
人数
100
120
130
180
220
150
60
30
10
(1)补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图;
(2)根据以上图表数据,试求样本的中位数(保留一位小数);
(3)根据跑步爱好者的周跑量,将跑步爱好者分成以下三类,不同类别的跑者购买的装备的价格不一样,如表:
周跑量
小于20公里
20公里到40公里
不小于40公里
类别
休闲跑者
核心跑者
精英跑者
装备价格(单位:元)
2500
4000
4500
根据以上数据,估计该市每位跑步爱好者购买装备,平均需要花费多少元?
20.甲、乙两校分别有120名、100名学生参加了某培训机构组织的自主招生培训,考试结果出来以后,培训机构为了进一步了解各校所培训学生通过自主招生的情况,从甲校随机抽取60人,从乙校随机抽取50人进行分析,相关数据如表.
通过人数
未通过人数
总计
甲校
乙校
30
总计
60
(1)完成上面2×2列联表,并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关;
(2)现从甲、乙两校通过的学生中采取分层抽样的方法抽取5人,再从所抽取的5人种随机抽取2人,求2人全部来自于乙校的概率.
参考公式:.
参考数据:
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21.已知函数.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当a>0时,证明:.
选作题:本小题满分10分,请考生在第22题、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时写清题号。[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在极坐标系中,曲线C1的极坐标方程是ρ=,以极点为原点O,极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中,曲线C2的参数方程为(θ为参数).
(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程;
(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3,若M,N分别是曲线C1和曲线C3上的动点,求|MN|的最小值.
[选修4-5:不等式选讲]
23.设f(x)=|x﹣1|+|x+1|.
(1)求f(x)≤x+2的解集;
(2)若不等式,对任意实数a≠0恒成立,求实数x的取值范围.
参考答案
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分).
1.若iz=4+3i,其中i为虚数单位,则复数z等于( )
A.﹣3﹣4i B.3﹣4i C.﹣3+4i D.3+4i
【分析】根据已知条件,结合复数代数形式的乘法运算,属于基础题.
解:∵iz=4+3i,
∴.
故选:B.
2.对于自变量x和因变量y,当x取值一定时,y的取值带有一定的随机性,x,y之间的这种非确定性关系叫( )
A.函数关系 B.线性关系 C.相关关系 D.回归关系
【分析】根据相关变量的意义知:当x取值一定时,y的取值带有一定的随机性,x,y之间的这种非确定性关系是相关关系.
解:对于自变量x和因变量y,
当x取值一定时,
y的取值带有一定的随机性,
x,y之间的这种非确定性关系叫相关关系,
故选:C.
3.下列表述正确的是( )
①归纳推理是由特殊到一般的推理;
②演绎推理是由一般到特殊的推理;
③类比推理是由特殊到一般的推理;
④分析法是一种间接证明法.
A.①②③④ B.②③④ C.①②④ D.①②
【分析】根据题意,结合合情推理、演绎推理的定义,依次分析4个命题,综合即可得答案.
解:根据题意,依次分析4个命题:
对于①、归纳推理是由特殊到一般的推理,符合归纳推理的定义,正确;
对于②、演绎推理是由一般到特殊的推理,符合演绎推理的定义,正确;
对于③、类比推理是由特殊到特殊的推理,错误;
对于④、分析法、综合法是常见的直接证明法,④错误;
则正确的是①②;
故选:D.
4.为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况,抽取了部分学生作为样本,统计其喜欢的支付方式,并制作出如下等高条形图:
根据图中的信息,下列结论中不正确的是( )
A.样本中的男生数量多于女生数量
B.样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量
C.样本中多数男生喜欢手机支付
D.样本中多数女生喜欢现金支付
【分析】根据两幅图中的信息,对选项中的命题判断正误即可.
解:由左图知,样本中的男生数量多于女生数量,A正确;
由右图知样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量,B正确;
由右图知,样本中多数男生喜欢手机支付,C正确;
由右图知样本中女生喜欢现金支付人数比手机支付人数少,D错误.
故选:D.
5.在2×2列联表中,两个比值相差越大,两个分类变量有关系的可能性就越大,那么这两个比值为( )
A.与 B.与 C.与 D.与
【分析】由题意,﹣==,根据ad﹣bc相差越大,两个分类变量有关系的可能性就越大,即可得出结论.
解:由题意,﹣==,
∵ad﹣bc相差越大,两个分类变量有关系的可能性就越大,
∴﹣相差越大,两个分类变量有关系的可能性就越大,
故选:A.
6.观察如图中各多边形图案,每个图案均由若干个全等的正六边形组成,记第n个图案中正六边形的个数是f(n).由f(1)=1,f(2)=7,f(3)=19,…,可推出f(10)=( )
A.271 B.72 C.73 D.74
【分析】根据图象的规律可得f(4)和f(5)的值.根据相邻两项的差的规律可分析得出f(n)﹣f(n﹣1)=6(n﹣1),进而根据合并求和的方法求得f(n)的表达式,即可求得f(10)的值.
解:由于:(1)f(4)=37,f(5)=61.
由于:f(2)﹣f(1)=7﹣1=6,
f(3)﹣f(2)=19﹣7=2×6,
f(4)﹣f(3
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