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2020-2021学年山西省朔州市怀仁市高二（下）期末
数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．若iz＝4+3i，其中i为虚数单位，则复数z等于（ ）
A．﹣3﹣4i B．3﹣4i C．﹣3+4i D．3+4i
2．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫（ ）
A．函数关系 B．线性关系 C．相关关系 D．回归关系
3．下列表述正确的是（ ）
①归纳推理是由特殊到一般的推理；
②演绎推理是由一般到特殊的推理；
③类比推理是由特殊到一般的推理；
④分析法是一种间接证明法．
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②
4．为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：
根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）
A．样本中的男生数量多于女生数量
B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量
C．样本中多数男生喜欢手机支付
D．样本中多数女生喜欢现金支付
5．在2×2列联表中，两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，那么这两个比值为（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
6．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n个图案中正六边形的个数是f（n）．由f（1）＝1，f（2）＝7，f（3）＝19，…，可推出f（10）＝（ ）
A．271 B．72 C．73 D．74
7．某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为7天左右，短的大约2～3天，长的大约10～14天，甚至有20余天．某医疗机构对400名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率分布直方图．根据该直方图估计；要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
8．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为＝1.16x﹣30.75，以下结论中不正确的为（ ）
A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系
C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米
9．从全体高二同学的期末考试成绩中，随机抽取了100位同学的数学成绩进行分析，在录入数据时，统计员不小心将100位同学中的最高成绩148分录成了150分，则在计算出的数据中一定正确的是（ ）
A．平均分 B．方差 C．中位数 D．标准差
10．有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
11．小正方形按照如图所示的规律排列：
每个图中的小正方形的个数构成一个数列{an}，有以下结论：
①a5＝15；②数列{an}是一个等差数列；③数列{an}是一个等比数列；④数列的递推公式为：an+1＝an+n+1（n∈N*）．其中正确的命题序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①
12．已知a＞0，不等式x+≥2，，x+≥4，可推广为x≥，则a的值为（ ）
A．n2 B．nn C．2n D．22n﹣3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知函数f（x）＝excosx﹣x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是 ．
14．下列命题中，正确的命题有 ．
①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；
②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；
③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近0，说明模型的拟合效果越好；
④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为126，则第一组中用抽签法确定的号码为6号．
15．在极坐标系中，已知圆的圆心C，半径r＝，点Q在圆C上运动若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，则动点P的极坐标方程 ．
16．如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
（1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n）；
①f（3）＝ ；
②f（n）＝ ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知复数z＝（a2﹣4）+（a+2）i（a∈R）．
（Ⅰ）若z为纯虚数，求实数a的值；
（Ⅱ）若z在复平面上对应的点在直线x+2y+1＝0上，求实数a的值．
18．已知正项数列{an}的前n项和Sn，满足2Sn＝an2+an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：+…+．
19．某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：
周跑量
（km/周）
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
[40，45）
[45，50）
[50，55）
人数
100
120
130
180
220
150
60
30
10
（1）补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图；
（2）根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）；
（3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如表：
周跑量
小于20公里
20公里到40公里
不小于40公里
类别
休闲跑者
核心跑者
精英跑者
装备价格（单位：元）
2500
4000
4500
根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？
20．甲、乙两校分别有120名、100名学生参加了某培训机构组织的自主招生培训，考试结果出来以后，培训机构为了进一步了解各校所培训学生通过自主招生的情况，从甲校随机抽取60人，从乙校随机抽取50人进行分析，相关数据如表．
通过人数
未通过人数
总计
甲校
乙校
30
总计
60
（1）完成上面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关；
（2）现从甲、乙两校通过的学生中采取分层抽样的方法抽取5人，再从所抽取的5人种随机抽取2人，求2人全部来自于乙校的概率．
参考公式：．
参考数据：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21．已知函数．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＞0时，证明：．
选作题：本小题满分10分，请考生在第22题、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝，以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．
（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；
（2）将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．
（1）求f（x）≤x+2的解集；
（2）若不等式，对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．若iz＝4+3i，其中i为虚数单位，则复数z等于（ ）
A．﹣3﹣4i B．3﹣4i C．﹣3+4i D．3+4i
【分析】根据已知条件，结合复数代数形式的乘法运算，属于基础题．
解：∵iz＝4+3i，
∴．
故选：B．
2．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫（ ）
A．函数关系 B．线性关系 C．相关关系 D．回归关系
【分析】根据相关变量的意义知：当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系是相关关系．
解：对于自变量x和因变量y，
当x取值一定时，
y的取值带有一定的随机性，
x，y之间的这种非确定性关系叫相关关系，
故选：C．
3．下列表述正确的是（ ）
①归纳推理是由特殊到一般的推理；
②演绎推理是由一般到特殊的推理；
③类比推理是由特殊到一般的推理；
④分析法是一种间接证明法．
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②
【分析】根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案．
解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①、归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，正确；
对于②、演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，正确；
对于③、类比推理是由特殊到特殊的推理，错误；
对于④、分析法、综合法是常见的直接证明法，④错误；
则正确的是①②；
故选：D．
4．为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：
根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）
A．样本中的男生数量多于女生数量
B．样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量
C．样本中多数男生喜欢手机支付
D．样本中多数女生喜欢现金支付
【分析】根据两幅图中的信息，对选项中的命题判断正误即可．
解：由左图知，样本中的男生数量多于女生数量，A正确；
由右图知样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量，B正确；
由右图知，样本中多数男生喜欢手机支付，C正确；
由右图知样本中女生喜欢现金支付人数比手机支付人数少，D错误．
故选：D．
5．在2×2列联表中，两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，那么这两个比值为（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【分析】由题意，﹣＝＝，根据ad﹣bc相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，即可得出结论．
解：由题意，﹣＝＝，
∵ad﹣bc相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，
∴﹣相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大，
故选：A．
6．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n个图案中正六边形的个数是f（n）．由f（1）＝1，f（2）＝7，f（3）＝19，…，可推出f（10）＝（ ）
A．271 B．72 C．73 D．74
【分析】根据图象的规律可得f（4）和f（5）的值．根据相邻两项的差的规律可分析得出f（n）﹣f（n﹣1）＝6（n﹣1），进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式，即可求得f（10）的值．
解：由于：（1）f（4）＝37，f（5）＝61．
由于：f（2）﹣f（1）＝7﹣1＝6，
f（3）﹣f（2）＝19﹣7＝2×6，
f（4）﹣f（3
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