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2020-2021学年福建省三明市高二(下)期末
数学试卷
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分).
1.已知复数z满足(1+i)=1﹣i(i是虚数单位),则复数z的虚部为( )
A.1 B.﹣i C.i D.﹣1
2.2020年是脱贫攻坚年,为顺利完成“两不愁,三保障”,即农村贫困人口不愁吃、不愁穿,农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障,某市拟派出6人组成三个帮扶队,每队两人,对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶,则不同的派出方法种数共有( )
A.15 B.60 C.90 D.540
3.在研究打鼾与患心脏病的关系中,通过收集数据、独立性检验得到“打鼾与患心脏病有关”的结论,并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的,下列说法中正确的是( )
A.100个吸烟者中至少有99人打鼾
B.如果某人患有心脏病,那么这个人有99%的概率打鼾
C.在100个心脏病患者中一定有打鼾的人
D.在100个心脏病患者中可能一个打鼾的人也没有
4.在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且,则以下四种情形中,对应样本的方差最大的一组是( )
A.p1=p4=0.15,p2=p3=0.35
B.p1=p4=0.45,p2=p3=0.05
C.p1=p4=0.25,p2=p3=0.25
D.p1=p4=0.35,p2=p3=0.15
5.已知y=f(x)是R上的可导函数,直线是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)的值等于( )
A.﹣1 B.0 C.2 D.4
6.在一次期中考试中,数学不及格的人数占30%,语文不及格占10%,两门都不及格占5%,若一名学生语文及格,则该生数学不及格的概率为( )
A. B. C. D.
7.袋子中装有若干个大小相同、质地均匀的黑球和白球,从中任意摸出一个黑球的概率是,依次从中有放回地摸球,每次摸出一个,累计2次摸到黑球即停止.记3次之内(含3次)摸到黑球的次数为ξ,则P(ξ=2)=( )
A. B. C. D.
8.若,则( )
A.aln2>bln3>cln5 B.cln5>bln3>aln2
C.aln2>cln5>bln3 D.cln5>aln2>bln3
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.某企业退休职工黄师傅退休前后每月各类支出占比情况如图,已知退休前工资收入为6000元/月,退休后每月旅行的金额比退休前每月旅行的金额多450元,则下面结论中正确的是( )
A.黄师傅退休后储蓄支出900元/月
B.黄师傅退休工资收入为5000元/月
C.黄师傅退休后每月的衣食住支出与退休前相比未发生变化
D.黄师傅退休后的其它支出比退休前的其它支出多50元/月
10.下列函数在定义域内是增函数的有( )
A.y=x
B.y=
C.y=2x﹣2﹣x
D.y=x2﹣2x+lnx
11.若随机变量ξ~N(0,2),ϕ(x)=P(ξ≤x),其中x>0,则下列等式成立的有( )
A.ϕ(﹣x)=1﹣ϕ(x) B.ϕ(2x)=2ϕ(x)
C.P(|ξ|<x)=2ϕ(x)﹣1 D.P(|ξ|>x)=2﹣2ϕ(x)
12.已知函数f(x)=x+asinx,g(x)=﹣sin2x,∀x1,x2∈R,且x1<x2时,都有f(x2)﹣f(x1)>2g(x1)﹣2g(x2)成立,则实数a的值可以是( )
A. B.0 C. D.1
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(x+1)(x﹣1)6展开式中x3项的系数为 .
14.已知函数,则= .
15.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,z1+z2=,则|z1﹣z2|= .
16.若正实数x,y满足,则4x+2y的最小值是 .
四、解答题:本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),并预测2022年我国生活垃圾无害化处理量.
参考数据:.
参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:.
18.已知复数z1=a+i,z2=1﹣i(a∈R,i为虚数单位).
(1)若z1•z2是纯虚数,求实数a的值;
(2)若复数在复平面上对应的点在第二象限,求实数a的取值范围.
19.在①若展开式倒数三项的二项式系数之和等于46,②若展开式所有项的系数的和为512,③若展开式中第3项与第4项的系数之比为3:7.这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并且完成下列问题.
在二项式的展开式中,______.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中的常数项.
20.已知函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)=a(lnx﹣1).
(1)当a=﹣1时,求函数f(x)的极值;
(2)若存在x0∈(0,+∞),使得f(x0)=g(x0)成立,求a的取值范围.
21.在中国共产党的坚强领导及全国人民的共同努力下,抗击新冠肺炎疫情工作取得了全面胜利,但随着复工复产的推进,某地的疫情出现了反弹,为了防止疫情蔓延,该地立即开展核酸检测工作.为了提高检测效率及降低医耗成本,采用如下方式进行核酸检测:采集5个人的咽拭子共同组成一个标本,对该标本进行检测,若结果呈阳性,说明5个人中有疑似新冠肺炎感染者,则需要进行第二阶段的检测,直到确定出疑似新冠肺炎感染者为止;若结果呈阴性,则无需再进行检测.已知某个标本的检测结果呈阳性且只有1人是疑似新冠肺炎感染者,现提供第二阶段的两种检测方案:
方案甲:逐个检测,直到能确定出疑似新冠肺炎感染者为止;
方案乙:先任取3人的咽拭子共同组成一个标本进行检测,若结果呈阳性则表明这3人中有1人是疑似新冠肺炎感染者,然后再逐个检测,直到能确定出疑似感染者为止;若结果呈阴性,则在另外2人中任取1人检测,即可确定出疑似感染者.
(1)若ξ表示方案甲所需检测的次数,求ξ的期望;
(2)以所需检测次数作为决策依据,采用哪个方案效率更高.
22.已知函数f(x)=xex+a(x+1)2(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分).
1.已知复数z满足(1+i)=1﹣i(i是虚数单位),则复数z的虚部为( )
A.1 B.﹣i C.i D.﹣1
解:由(1+i)=1﹣i,得,
∴z=i,
则复数z的虚部为1.
故选:A.
2.2020年是脱贫攻坚年,为顺利完成“两不愁,三保障”,即农村贫困人口不愁吃、不愁穿,农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障,某市拟派出6人组成三个帮扶队,每队两人,对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶,则不同的派出方法种数共有( )
A.15 B.60 C.90 D.540
解:分为三步,第一步给甲县分派有C种,第二步给乙县分派有C种,第三步给丙县分派有C种,则总共有CCC=90种方法.
故选:C.
3.在研究打鼾与患心脏病的关系中,通过收集数据、独立性检验得到“打鼾与患心脏病有关”的结论,并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的,下列说法中正确的是( )
A.100个吸烟者中至少有99人打鼾
B.如果某人患有心脏病,那么这个人有99%的概率打鼾
C.在100个心脏病患者中一定有打鼾的人
D.在100个心脏病患者中可能一个打鼾的人也没有
解:0.01的统计意义是指“打鼾与患心脏病有关”这个结论出错的概率在0.01以下,而不是心脏病患者中打鼾的比例或概率.
故选:D.
4.在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且,则以下四种情形中,对应样本的方差最大的一组是( )
A.p1=p4=0.15,p2=p3=0.35
B.p1=p4=0.45,p2=p3=0.05
C.p1=p4=0.25,p2=p3=0.25
D.p1=p4=0.35,p2=p3=0.15
解:根据题意,依次分析选项:
对于A,E(x)=1×0.15+2×0.35+3×0.35+4×0.15=2.5,所以D(x)=(1﹣2.5)2×0.15+(2﹣2.5)2×0.35+(3﹣2.5)2×0.35+(4﹣2.5)2×0.15=0.85;
对于B,E(x)=1×0.45+2×0.05+3×0.05+4×0.45=2.5,所以D(x)=(1﹣2.5)2×0.45+(2﹣2.5)2×0.05+(3﹣2.5)2×0.05+(4﹣2.5)2×0.45=2.05;
对于C,E(x)=1×0.25+2×0.25+3×0.25+4×0.25=2.5,所以D(x)=(1﹣2.5)2×0.25+(2﹣2.5)2×0.25+(3﹣2.5)2×0.25+(4﹣2.5)2×0.25=1.25;
对于D,E(x)=1×0.35+2×0.15+3×0.15+4×0.45=2.5,所以D(x)=(1﹣2.5)2×0.35+(2﹣2.5)2×0.15+(3﹣2.5)2×0.15+(4﹣2.5)2×0.35=1.65;
B选项对应样本的方差最大.
故选:B.
5.已知y=f(x)是R上的可导函数,直线是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)的值等于( )
A.﹣1 B.0 C.2 D.4
解:∵直线是曲线y=f(x)在x=3处的切线,
∴f′(3)=﹣,
∵g(x)=xf(x),
∴g′(x)=f(x)+xf′(x)
则g′(3)=f(3)+3f′(3)==0.
故选:B.
6.在一次期中考试中,数学不及格的人数占30%,语文不及格占10%,两门都不及格占5%,若一名学生语文及格,则该生数学不及格的概率为( )
A. B. C. D.
解:记“一名学生语文及格”为事件A,“该生数学不及格”为事件B,
所以所求概率为P(B|A)=.
故选:A.
7.袋子中装有若干个大小相同、质地均匀的黑球和白球,从中任意摸出一个黑球的概率是,依次从中有放回地摸球,每次摸出一个,累计2次摸到黑球即停止.记3次之内(含3次)摸到黑球的次数为ξ,则P(ξ=2)=( )
A. B. C. D.
解:ξ=2表示3次中摸到黑球的次数为2,
可能的情况有:①前2次是黑球;②3次中后两次是黑球,第1次是白球;③3次中第1次和第3次是黑球,第2次是白球,
所以P(ξ=2)=+=.
故选:C.
8.若,则( )
A.aln2>bln3>cln5 B.cln5>bln3>aln2
C.aln2>cln5>bln3 D.cln5>aln2>bln3
解:设函数f(x)=,f'(x)=,
当x∈(0,e)时,f'(x)>0,x∈(e,+∞),f'(x)<0,
又f(2)=,
当x∈(e,+∞)时,f(x)单调递减,则f(5)<f(4)<f(3),即,
∵,
∴5c>2a>3b,
∴cln5>aln2>bln3.
故选:D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.某企业退休职工黄师傅退休前后每月各类支出占比情况如图,已知退休前工资收入为6000元/月,退休后每月旅行的金额
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