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2020-2021学年天津市部分区高二（下）期末
数学试卷
一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.
1．对变量x，y由观测数据得散点图1：对变量u，v由观测数据得散点图2，由这两个散点图可以推断（ ）
A．x与y正相关，u与v正相关
B．x与y正相关，u与v负相关
C．x与y负相关，u与v负相关
D．x与y负相关，u与v正相关
2．C＝（ ）
A．30 B．35 C．70 D．210
3．下列说法错误的是（ ）
A．农作物的产量与施肥量之间具有相关关系
B．两个模型中残差平方和越小的模型拟合效果越好
C．线性相关系数|r|越接近1，成对样本数据的线性相关程度越弱
D．甲、乙两个模型的R2分别为0.88和0.94，则乙模型的拟合效果好
4．下列求导运算中，正确的是 （ ）
A．（cosx）′＝sinx B．（3x）′＝3x
C．（） D．（xex）′＝（x+1）ex
5．已知（2x+）n的展开式共有6项，则展开式中各项二项式系数的和为（ ）
A．25 B．26 C．35 D．36
6．甲、乙两家工厂加工一批同种规格的零件，甲厂加工的次品率为2%，乙厂加工的次品率为4%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙两家工厂加工的零件数分别占总数的55%，45%，现从中任取一个零件，则取到次品的概率为（ ）
A．0.0008 B．0.029 C．0.031 D．0.2483
7．随着现代科技的不断发展，使用微信支付越来越广泛．设某群体的每位成员使用微信支付的概率都为0.8，且各成员的支付方式相互独立，则该群体的10位成员中使用微信支付的人数X的均值和方差分别为（ ）
A．E（X）＝8，D（X）＝2 B．E（X）＝8，D（X）＝1.6
C．E（X）＝2，D（X）＝8 D．E（X）＝2，D（X）＝1.6
8．已知随机变量X的分布列如表：
X
﹣1
0
1
P
a
b
若P（X≤0）＝，则D（X）＝（ ）
A． B． C．0 D．
9．用数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的五位偶数共有（ ）
A．36个 B．48个 C．60个 D．72个
10．已知函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2在x＝1处取得极小值﹣3，且g（x）＝x3﹣x2+1在区间（c，c+4）上存在最小值，则a+b+c的取值范围是（ ）
A．（4，8） B．[4，8） C．（5，8） D．[5，8）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．试题中包含两个空的，每个空2分．
11．已知X是离散型随机变量，且E（X）＝3，D（X）＝0.5，若随机变量Y＝2X+1，则E（Y）＝ ，D（Y）＝ ．
12．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.8，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为 ．
13．（）9的展开式中的常数项为 ．
14．在天津的新高考改革中，考生除参加语文、数学、英语的统一考试外，还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学6科中任选3科参加高考，则不同的选考方法共有 种、若某同学计划从思想政治、历史中至少选一科参加高考，则该生不同的选考方法共有 种（用数字作答）．
15．已知函数f（x）＝aex﹣x2在区间（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．新型冠状病毒感染肺炎疫情发生以来，党中央、国务院高度重视，为了进一步在各类人群中构建起人群的免疫屏障，阻断新冠病毒在人群中的传播，防止新冠疫情反弹和新冠肺炎发生，我国新型冠状病毒疫苗接种工作正有序进行．某医疗机构承担了某社区的新冠疫苗接种任务，现统计了前5天每天接种人数的相关数据，如表所示：
天数x
1
2
3
4
5
接种人数y（百人）
5
9
12
16
23
参考公式：＝﹣．
（Ⅰ）在给定的坐标系中画出接种人数y与天数x的散点图；
（Ⅱ）根据上表提供的数据，经计算＝4.3．
（ⅰ）用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程；
（ⅱ）根据所得的经验回归方程，预测该医疗机构第6天的接种人数．
17．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣x+1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）求关于x的方程f（x）＝a（a∈R）的解的个数．
18．《中华人民共和国民法典》被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法，为了增强学生的法律意识，了解法律知识．某大学为此举行了《中华人民共和国民法典》知识竞赛，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，若把分数不低于90分的成绩称为优秀，整理得到如下2×2列联表：
性别
竞赛成绩
合计
优秀
不优秀
男
5
60
65
女
7
28
35
合计
12
88
100
参考数据：
p（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：K2＝．
（Ⅰ）依据α＝0.05的独立性检验，能否认为该校此专业大一学生的性别与测试成绩有关联；
（Ⅱ）若从获优秀的学生中随机抽取3人进行座谈，记X为抽到男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
19．已知甲、乙两个企业招聘员工的笔试环节都设有三个题目，若某毕业生参加甲企业的笔试时，答对每个题目的概率均为；参加乙企业的笔试时，答对每个题目的概率依次为，，，且该毕业生是否能答对每个题目是相互独立的．
（Ⅰ）求该毕业生参加甲企业的笔试时恰好答对两个题目的概率；
（Ⅱ）用X表示该毕业生参加乙企业的笔试时答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．
20．已知函数f（x）＝lnx﹣ax，a∈R．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）的最大值为﹣1，求a的值；
（Ⅲ）若对于任意的x1，x2∈[e﹣1，e]，当x1＜x2时，都有不等式成立，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.
1．对变量x，y由观测数据得散点图1：对变量u，v由观测数据得散点图2，由这两个散点图可以推断（ ）
A．x与y正相关，u与v正相关
B．x与y正相关，u与v负相关
C．x与y负相关，u与v负相关
D．x与y负相关，u与v正相关
解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，
由题图2可知，v随u的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．
故选：D．
2．C＝（ ）
A．30 B．35 C．70 D．210
解：＝＝35，
故选：B．
3．下列说法错误的是（ ）
A．农作物的产量与施肥量之间具有相关关系
B．两个模型中残差平方和越小的模型拟合效果越好
C．线性相关系数|r|越接近1，成对样本数据的线性相关程度越弱
D．甲、乙两个模型的R2分别为0.88和0.94，则乙模型的拟合效果好
解：对于A：农作物的产量与施肥量之间具有相关关系，故A正确；
对于B：两个模型中残差平方和越小的模型拟合效果越好，故B正确；
对于C：线性相关系数|r|越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，故C错误；
对于D：甲、乙两个模型的R2分别为0.88和0.94，则乙模型的拟合效果好，故D正确；
故选：C．
4．下列求导运算中，正确的是 （ ）
A．（cosx）′＝sinx B．（3x）′＝3x
C．（） D．（xex）′＝（x+1）ex
解：因为（cosx）'＝﹣sinx，所以A选项错误；
因为（3x）'＝3xln3，所以B选项错误；
因为，所以C选项错误．
故选：D．
5．已知（2x+）n的展开式共有6项，则展开式中各项二项式系数的和为（ ）
A．25 B．26 C．35 D．36
解：∵（2x+）n的展开式共有6项，∴n＝5，
∴展开式中各项二项式系数的和为25．
故选：A．
6．甲、乙两家工厂加工一批同种规格的零件，甲厂加工的次品率为2%，乙厂加工的次品率为4%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙两家工厂加工的零件数分别占总数的55%，45%，现从中任取一个零件，则取到次品的概率为（ ）
A．0.0008 B．0.029 C．0.031 D．0.2483
解：甲、乙两家工厂加工一批同种规格的零件，甲厂加工的次品率为2%，乙厂加工的次品率为4%，
加工出来的零件混放在一起，甲、乙两家工厂加工的零件数分别占总数的55%，45%，
∴现从中任取一个零件，则取到次品的概率为：
P＝2%×55%+4%×45%＝0.029．
故选：B．
7．随着现代科技的不断发展，使用微信支付越来越广泛．设某群体的每位成员使用微信支付的概率都为0.8，且各成员的支付方式相互独立，则该群体的10位成员中使用微信支付的人数X的均值和方差分别为（ ）
A．E（X）＝8，D（X）＝2 B．E（X）＝8，D（X）＝1.6
C．E（X）＝2，D（X）＝8 D．E（X）＝2，D（X）＝1.6
解：由题意可知，X～B（10，0.8），
则E（X）＝10×0.8＝8，
D（X）＝10×0.8×（1﹣0.8）＝1.6．
故选：B．
8．已知随机变量X的分布列如表：
X
﹣1
0
1
P
a
b
若P（X≤0）＝，则D（X）＝（ ）
A． B． C．0 D．
解：由题意，P（X≤0）＝，可得＝，所以a＝，
所以b＝，
所以E（X）＝＝﹣，
所以D（X）＝+＝．
故选：A．
9．用数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的五位偶数共有（ ）
A．36个 B．48个 C．60个 D．72个
解：根据题意，分2种情况讨论：
①，0在五位数的个位，其他四个数字全排列，安排在前4个数位即可，有A44＝24个没有重复数字的五位偶数；
②，2或4在五位数的个位，则五位数的万位数字不能为0，有3种选法，其他三个数字全排列，安排在中间3个数位即可，
有2×3×A33＝36个没有重复数字的五位偶数；
则有24+36＝60个符合题意的五位数，
故选：C．
10．已知函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2在x＝1处取得极小值﹣3，且g（x）＝x3﹣x2+1在区间（c，c+4）上存在最小值，则a+b+c的取值范围是（ ）
A．（4，8） B．[4，8） C．（5，8） D．[5，8）
解：f′（x）＝12x2﹣2ax﹣2b，
因为f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2在x＝1处取得极小值﹣3，
所以f′（1）＝0，且f（1）＝3，
所以12﹣2a﹣2b＝0且4﹣a﹣2b+2＝﹣3，
解得a＝b＝3，
g′（x）＝x2﹣2x，
所以在（﹣∞，0），（2，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
在（0，2）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以在x＝2时，g（x）取得最小值，
又g（x）＝x3﹣x2+1在区间（c，c+4）上存在最小值，
所以c＜2＜c+4，
所以﹣2＜c＜2，
所以a+b+c的取值范围为（4，8）．
故选：A．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．试题中包含两个空的，每个空2分．
11．已知X是离散型随机变量，且E（X）＝3，D（X）＝0.5，若随机变量Y＝2X+1，则E（Y）＝ 7 ，D（Y）＝ 2 ．
解：X是离
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