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遂宁市高中2022届三诊考试
数学(文)试题
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.总分150分.考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上.并检查条形码粘贴是否正确.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.考试结束后,将答题卡收回.
第Ⅰ卷(选择题,满分60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则()
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】C
2. 复数,则在复平面内对应的点是()
A. B. C. D.
【2题答案】
【答案】B
3. 游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大,被戏称为“王者农药”.某市青少年健康管理委员会对该市下学年度青少年上网打《王者荣耀》的情况进行统计,作出如下人数变化的走势图.
根据该走势图,下列结论正确的是()
A. 这半年中,青少年上网打《王者荣耀》的人数呈周期性变化
B. 这半年中,青少年上网打《王者荣耀》的人数不断减弱
C. 从青少年上网打《王者荣耀》人数来看,10月份的方差小于11月份的方差
D. 从青少年上网打《王者荣耀》人数来看,12月份的平均值大于1月份的平均值
【3题答案】
【答案】D
4. 某景区在开放时间内,每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车,某人上午某时刻到达景区入口,准备乘坐观光车,则他等待时间不超过15分钟的概率为()
A. B. C. D.
【4题答案】
【答案】D
5. 下列说法正确的是()
A. 命题“若,则”的否命题为:“若,则”
B. 若是上的奇函数,则的图象的对称中心是
C. 已知,为实数,则的充要条件是
D. 命题“存在,使得”的否定是:“对任意,均有”
【5题答案】
【答案】B
6. 若变量,满足约束条件则的最大值为()
A. 6 B.
C. D. 8
【6题答案】
【答案】D
7. 等差数列的公差为,记数列前项和为,若,,则()
A. B. C. D.
【7题答案】
【答案】C
8. 已知,则()
A. B. C. D.
【8题答案】
【答案】A
9. 已知双曲线:(,)的左、右焦点分别为,,直线与的两条渐近线的左、右交点分别为,,若四边形的面积为,则的离心率为()
A. B.
C. D.
【9题答案】
【答案】D
10. 设函数且,则的取值范围为()
A. B.
C. D.
【10题答案】
【答案】B
11. 已知三棱锥,平面,,,直线与平面所成的角为,若三棱锥的四个顶点都在表面积为的同一球面上,则()
A. 1 B. 2 C. D. 3
【11题答案】
【答案】C
12. 已知函数(为自然对数的底数),满足,,方程有解,且,则的最小值为()
A. B. 1 C. D. 2
【12题答案】
【答案】A
第Ⅱ卷(非选择题,满分90分)
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13. 已知平面向量,,若,则________.
【13题答案】
【答案】
14. 称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的体积为,则它的侧面积________.
【14题答案】
【答案】
15. 德国大数学家高斯年少成名,被誉为数学届的王子,19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论,就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》,在其年幼时,对的求和运算中,提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也称之为高斯算法,现有函数,设数列满足,若存在使不等式成立,则的取值范围是______.
【15题答案】
【答案】
16. 已知抛物线:()的焦点与圆的圆心重合,过的直线与交于、两点,对于下列命题:
①;
②以,两点为切点引的两条切线,两条切线交于一点,点必在上;
③的中垂线与轴交于点,则;
④为坐标原点,点、在上且满足(,均不与重合)则,的中点轨迹方程:.
以上说法中正确的有_________.
【16题答案】
【答案】①②④.
三、解答题:共70分.第17题至第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
17. 2022年3月“两会”在北京召开,会议吸引了全球的目光,对我国以后的社会经济发展有巨大的历史意义,遂宁市某媒体为调查市民对“两会”了解情况,进行了一次“两会”知识问卷调查(每位市民只能参加一次),随机抽取年龄在15~75岁之间的100人进行调查,并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示,其分组区间为:,,,,,,把年龄落在区间和内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”,经统计“青少年人”与“中老年人”的人数之比为.
(1)求图中a、b的值和年龄的中位数(中位数保留一位小数);
(2)若“青少年人”中有15人在关注两会,根据已知条件完成下面的2×2列联表,根据列联表,判定是否有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会?
关注
不关注
合计
青少年人
15
中老年人
合计
50
50
100
附:.
0.05
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【17题答案】
【答案】(1),,;
(2)有超过%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会
19. 已知函数,且图象的相邻两条对称轴之间的距离为,请从条件①、条件②、条件③中任意选择两个作为已知条件作答.
条件①:的最小值为;
条件②:的图象的一个对称中心为;
条件③:的图象经过点.
(1)求的解析式;
(2)在中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,,,求周长的最大值.
【19题答案】
【答案】(1)
(2)
21. 在等腰梯形ABCD中,,,,E、O、F分别为AD、BE、DE中点(如图1),将沿BE折起到的位置,使得(如图2).
(1)证明:平面;
(2)求B到平面的距离.
【21题答案】
【答案】(1)证明见解析;
(2)
23. 已知椭圆:的左、右焦点分别为,,坐标原点为O,离心率,过且垂直于轴的直线与交于两点,;过且斜率为的直线与C交于,点.
(1)求的标准方程;
(2)令,的中点为,若存在点(),使得,求的取值范围.
【23题答案】
【答案】(1)
(2)
25. 已知函数.
(1)讨论单调性;
(2)若时,恒成立,求能取到的最大正整数.
【25题答案】
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)求出函数的导函数,再对分与两种情况讨论,分别求出函数的单调区间;
(2)令,求出函数的导函数,当时恒成立,当时,求出函数的单调区间,即可得到函数的最小值,依题意恒成立,令,求出函数的导函数,即可得到函数的单调性,再根据特殊点的函数值,计算可得;
【小问1详解】
解:因为定义域为,
所以,
当时,所以在上单调递增,
当时,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,故在上单调递减,在单调递增.
综上:当时,,在上单调递增·
当时,在上单调递减,在单调递增.
【小问2详解】
解:依题意对任意的恒成立,
令,
则,
因为,所以,
当时,,
所以函数在上递增,
所以恒成立,
所以成立,
当时,时,,时,,
所以在上递减,在上递增,
所以,
对任意的恒成立,
所以恒成立,
令,
则在上恒成立,
所以函数在上单调递减,
又,
所以使成立的最大整数为7,
综上所述,a能取到的最大正整数值为7.
选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
选修4-4:坐标系与参数方程
27. 在直角坐标系中,曲线的参数方程:(为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程:,点极坐标为且在上.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)若与交于A,B两点,求.
【27题答案】
【答案】(1)的普通方程为,直线的直角坐标方程为;
(2)5
选修4-5:不等式选讲
29. 已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若在上恒成立,求的取值范围.
【29题答案】
【答案】(1);
(2)
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