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2020-2021学年广东省阳江市高二(下)期末
数学试卷
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分).
1.命题“∃x<0,2x>1”的否定为( )
A.∀ x≥0,2x>1 B.∀x<0,2x≤1 C.∃x≥0,2x≤1 D.∃x<0,2x≤1
2.设z(5﹣12i)=13i,则=( )
A. B. C. D.
3.下列函数的求导正确的是( )
A.(x﹣2)'=﹣2x B.(xcosx)'=cosx﹣xsinx
C. D.(e2x)'=2ex
4.“m>4”是“函数的最小值大于4”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.展开式中的第5项为常数项,则正整数n的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
6.已知A(1,y0)为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,O是坐标原点,点A到C的焦点的距离为2,则|OA|=( )
A.2 B. C.4 D.5
7.用1,2,3,4,5这5个数组成没有重复数字的五位数,则组成的五位数中,比35241大的数有( )
A.8个 B.48个 C.50个 D.56个
8.若关于x的不等式在[2,4]上有解,则实数m的取值范围是( )
A.) B.) C. D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.设等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,已知S3=21,S6=189,则( )
A.a1=2 B.a1=3 C.q=2 D.q=3
10.关于x,y的方程(其中m2≠4)表示的曲线可能是( )
A.焦点在y轴上的双曲线 B.圆心为坐标原点的圆
C.焦点在x轴上的双曲线 D.长轴长为的椭圆
11.设某车间的A类零件的质量m(单位:kg)服从正态分布N(10,σ2),且P(m>10.1)=0.2.( )
A.若从A类零件随机选取2个,则这2个零件的质量都大于10kg的概率为0.25
B.若从A类零件随机选取3个,则这3个零件的质量恰有1个小于9.9kg的概率为0.4
C.若从A类零件随机选取100个,则零件质量在9.9kg∼10.1kg的个数的期望为60
D.若从A类零件随机选取100个,则零件质量在9.9kg∼10.1kg的个数的方差为24
12.已知a>0,b>0,且a+3b=1,则( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知随机变量X∼B(n,0.8),且,若EY=7,则DX= .
14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(sinB+sinC)2=sin2A+sinBsinC,b=c=2,则△ABC的面积为 .
15.某公司为了解某产品的研发费x(单位:万元)对销售量v(单位:百件)的影响,收集了该公司以往的5组数据,发现用函数模型y=aekx(e为自然对数的底数)拟合比较合适.令z=lny得到=x+4.06经计算,x,z对应的数据如表所示:
研发费x
5
8
12
15
20
z=lny
4.5
5.2
5.5
5.8
6.5
则aek= .
16.若,则(a﹣c)2+(b﹣d)2的最小值是 .
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.马拉松赛事是当下一项非常火爆的运动项目,受到越来越多人的喜爱.现随机在“马拉松跑友群”中选取100人,记录他们在某一天马拉松训练中的跑步公里数,并将数据整理如下:
跑步公里数
性别
[5,10)
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35]
男
4
6
10
25
10
5
女
2
5
8
17
6
2
(1)分别估计“马拉松跑友群”中的人在一天的马拉松训练中的跑步公里数为[5,15),[15,25),[25,35]的概率;
(2)已知一天的跑步公里数不少于20公里的跑友被“跑友群”评定为“高级”,否则为“初级”,根据题意完成给出的2×2列联表,并据此判断能否有95%的把握认为“评定级别”与“性别”有关.
初级
高级
总计
男
女
总计
附:K2=,n=a+b+c+d.
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18.设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=2,Sn=an+1﹣2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)请从①,
②bn=(2n﹣1)an,
③这三个条件选择一个,求数列{bn}的前n项和Tn.
19.已知函数f(x)=xlnx﹣ax2﹣x.g(x)=ex﹣1﹣2ax.
(1)当x∈(0,+∞)时,g(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)设函数F(x)=f'(x)﹣g(x),其中f'(x)为f(x)的导函数,求F(x)的最值.
20.在一个不透明的盒中,装有大小、质地相同的两个小球,其中1个是黑色,1个是白色,甲、乙进行取球游戏,两人随机地从盒中各取一球,两球都取出之后再一起放回盒中,这称为一次取球,约定每次取到白球者得1分,取到黑球者得0分,一人比另一人多3分或取满9次时游戏结束,并且只有当一人比另一人多3分时,得分高者才能获得游戏奖品.已知前3次取球后,甲得2分,乙得1分.
(1)求甲获得游戏奖品的概率;
(2)设X表示游戏结束时所进行的取球次数,求X的分布列及数学期望.
21.如图,四边形ABCD是菱形,PA⊥底面ABCD,PA∥DE,P与E在平面ABCD的同侧且PA=2AD=2DE.
(1)证明:BD∥平面PCE;
(2)若PC与平面ABCD所成角的正切值为2,求二面角D﹣CE﹣P的正弦值.
22.已知函数f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx.
(1)若a=﹣1求y=f(x)x=1处的切线方程.
(2)函数f(x)图象上的两点M(x1,y1),N(x2,y2),使得f(x1)﹣f(x2)=f'(x0)(x1﹣x2)(其中
)成立?请说明理由.
参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分).
1.命题“∃x<0,2x>1”的否定为( )
A.Vx≥0,2x>1 B.∀x<0,2x≤1 C.∃x≥0,2x≤1 D.∃x<0,2x≤1
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题,写出该命题的否定即可.
解:根据存在量词命题的否定是全称量词命题知,
命题“∃x<0,2x>1”的否定是:“∀x<0,2x≤1”.
故选:B.
2.设z(5﹣12i)=13i,则=( )
A. B. C. D.
【分析】由复数代数形式的乘除运算化简,再求共轭复数即可.
解:∵z(5﹣12i)=13i,∴z===﹣+i,
故=﹣﹣i,
故选:D.
3.下列函数的求导正确的是( )
A.(x﹣2)'=﹣2x B.(xcosx)'=cosx﹣xsinx
C. D.(e2x)'=2ex
【分析】对各个选项进行导数运算验证即可.
解:(x﹣2)'=﹣2x﹣3,∴A错;(xcosx)'=cosx﹣xsinx,∴B对;
(ln10)′=0,∴C错;(e2x)′=2e2x,∴D错.
故选:B.
4.“m>4”是“函数的最小值大于4”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】根据基本不等式求出m的取值范围,再利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
解:①若m>4,∵x>0,∴f(x)=x+≥2,
当且仅当x=时取等号,∴f(x)min=2>4,∴充分性成立,
②若的最小值大于4,
当m≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,则函数无最小值,
当m>0时,f(x)min=2,∴,∴m>4,∴必要性成立,
故选:C.
5.展开式中的第5项为常数项,则正整数n的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【分析】由二项式定理的通项公式化简求得.
解:展开式中的第5项为T5=•(xn)6(﹣)4=•x6n﹣12,
故6n﹣12=0,解得n=2,
故选:A.
6.已知A(1,y0)为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,O是坐标原点,点A到C的焦点的距离为2,则|OA|=( )
A.2 B. C.4 D.5
【分析】由抛物线的定义可得1﹣(﹣)=2,解得p,进而可得抛物线的方程,把点A(1,y0)代入抛物线的方程,解得A点坐标,即可计算出|OA|.
解:由抛物线的定义可得1﹣(﹣)=2,
所以p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x,
把点A(1,y0)代入抛物线的方程y02=4,
所以y0=2或﹣2,
所以A(1,2)或(1,﹣2),
所以|OA|==或|OA|==,
故选:B.
7.用1,2,3,4,5这5个数组成没有重复数字的五位数,则组成的五位数中,比35241大的数有( )
A.8个 B.48个 C.50个 D.56个
【分析】根据题意,分2种情况讨论:①五位数的首位为4或5时,②五位数的首位为3时,由加法原理计算可得答案.
解:根据题意,分种情况讨论:
①五位数的首位为4或5时,有2A44=48个比35241大的数,
②五位数的首位为3时,有35421、35412,两个比35241大的数,
则有48+2=50个比35241大的数,
故选:C.
8.若关于x的不等式在[2,4]上有解,则实数m的取值范围是( )
A.) B.) C. D.
【分析】根据题意,有m≤在[2,4]上有解,即m≤()max,进一步可令g(x)=,x∈[2,4],则g′(x)==,从而利用导数与最值的关系探究出g(x)max即可求出m的取值范围.
解:由x∈[2,4],得lnx>0,又关于x的不等式在[2,4]上有解,
所以m≤在[2,4]上有解,即m≤()max,
令g(x)=,x∈[2,4],则g′(x)==,
设h(x)=2xlnx﹣x+,x∈[2,4],则h′(x)=2lnx+2﹣1﹣=2lnx+1﹣=>0,
所以h(x)在[2,4]上单调递增,所以h(x)≥h(2)=4ln2﹣2+=4ln2﹣>2﹣>0,
所以h(x)>0,所以g′(x)>0,即g(x)在[2,4]上单调递增,
所以g(x)max=g(4)===,则m≤,
所以m的取值范围是(﹣∞,].
故选:D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.设等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,已知S3=21,S6=189,则( )
A.a1=2 B.a1=3 C.q=2 D.q=3
【分析】根据题意列关于a1,q的方程组即可解决此题.
解:根据题意得:,解得a1=3,q=2.
故选:BC.
10.关于x,y的方程(其中m2≠4)表示的曲线可能是( )
A.焦点在y轴上的双曲线 B.圆心为坐标原点的圆
C.焦点在x轴上的双曲线 D.长轴长为的椭圆
【分析】分情况讨论4﹣m2的正负,m2+2与4﹣m2大小关系,即可得出答案.
解:对于A:若曲线表示焦点在y轴上的双曲线,
则m2+2<0,无解,故A错误;
对于B:若曲线表示圆心为坐标原点的圆,
则m2+2=4﹣m2,
解得m=±1,故B正确;
对于C:若曲线表示焦点在x轴上的双曲线,
则4﹣m2<0,
所以m>2或m<﹣2,故C正确;
对于D:若曲线表示长轴长
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