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2020-2021学年甘肃省武威八中高二（下）期末
数学试卷（理科）
一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（ ）
A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i
2．曲线y＝2x2在点（﹣1，2）处的切线方程为（ ）
A．4x+y+2＝0 B．2x﹣y+3＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．x+4y+2＝0
3．若随机变量X～B（6，），则E（X）的值为（ ）
A．2 B．5 C．3 D．4
4．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型1的相关指数R2为0.98
B．模型2的相关指数R2为0.80
C．模型3的相关指数R2为0.50
D．模型4的相关指数R2为0.25
5．已知随机变量X的分布列如下（其中m为常数）：
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.2
m
0.3
m的值是（ ）
A．m＝0.1 B．m＝0.4 C．m＝0.2 D．m＝0.01
6．现有不同的红球7个，不同的白球5个．若从中任取两个不同颜色的球，则不同的取法有（ ）
A．35种 B．12种 C．49种 D．25种
7．在新高考改革中，一名高一学生在确定选修物理的情况下，想从政治，地理，生物，化学中再选两科学习，则所选两科中一定有地理的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（0≤X≤2）＝0.2，则P（X＞4）＝（ ）
A．0.6 B．0.2 C．0.3 D．0.35
9．8名学生中有3名女生，若从中抽取2名作为学生代表，恰好抽到2名女的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．在极坐标系中，点到直线的距离为（ ）
A．2 B．1 C． D．
11．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为（ ）
A．0.24 B．0.26 C．0.288 D．0.292
12．已知定义在R上的函数f（x）的图象如图，则x•f′（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，0）∪（1，2） B．（1，2）
C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上）
13．已知z＝1+i，则|z|＝ ．
14．已知直线参数方程（t为参数），试写出它的直角坐标方程 ．
15．函数f（x）＝x3﹣3x+1的单调减区间为 ．
16．下列命题正确的是 ．
（1）在独立性检验中，随机变量K2的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小；
（2）已知X∼N（μ，σ2），当μ不变时，σ越大，X的正态密度曲线越矮胖；
（3）函数f（x）＝x3的极值点是x＝0；
（4）曲线x2+y2＝1经过变换后，得到的新曲线的方程为．
三、解答题（本大题共70分，解答应写出必要分文字说明、演算步骤或证明过程，请把答案填在答题卡上）
17．已知的展开式中，第四项为常数项．
（1）求n；
（2）求含x2的项的二项式系数；
（3）求展开式中所有项的系数和．
18．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：
零件的个数x（个）
2
3
4
5
加工的时间y（小时）
2.5
3
4
4.5
（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程＝x+；
（Ⅲ）试预测加工10个零件需要的时间．
参考公式：．
19．由商务部和北京市人民政府共同举办的2020年中国国际服务贸易交易会（简称服贸会）于9月4日开幕，主题为“全球服务，互惠共享”．某高校为了调查学生对服贸会的了解情况，决定随机抽取100名学生进行采访．根据统计结果，采访的学生中男女比例为3：2，已知抽取的男生中有10名不了解服贸会，抽取的女生中有25名了解服贸会，请你解答下面所提出的相关问题
（1）完成2×2列联表，并回答“是否有99%的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关”．
了解情况
性别
了解
不了解
合计
男生
女生
合计
100
（2）若从被采访的学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人在校内开展一次“介绍服贸会”的专题活动，记抽取男生的人数为ξ，求出ξ的分布列及数学期望．
附：，n＝a+b+c+d
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
21．已知函数f（x）＝x3﹣x2+ax+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．
22．在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1．
（1）写出⊙C的一个参数方程；
（2）过点F（4，1）作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
参考答案
一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（ ）
A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i
解：∵z＝2﹣i，
∴z（+i）＝（2﹣i）（2+i+i）＝（2﹣i）（2+2i）＝4+4i﹣2i﹣2i2＝6+2i．
故选：C．
2．曲线y＝2x2在点（﹣1，2）处的切线方程为（ ）
A．4x+y+2＝0 B．2x﹣y+3＝0 C．2x﹣y+1＝0 D．x+4y+2＝0
解：由y＝2x2，得y′＝4x，
∴y′|x＝﹣1＝﹣4，
则曲线y＝2x2在点（﹣1，2）处的切线方程为y﹣2＝﹣4（x+1），
即4x+y+2＝0．
故选：A．
3．若随机变量X～B（6，），则E（X）的值为（ ）
A．2 B．5 C．3 D．4
解：∵随机变量X～B（6，），则E（X）＝6×＝2，
故选：A．
4．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型1的相关指数R2为0.98
B．模型2的相关指数R2为0.80
C．模型3的相关指数R2为0.50
D．模型4的相关指数R2为0.25
解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，
这个模型的拟合效果越好，
在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，
∴拟合效果最好的模型是模型1．
故选：A．
5．已知随机变量X的分布列如下（其中m为常数）：
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.2
m
0.3
m的值是（ ）
A．m＝0.1 B．m＝0.4 C．m＝0.2 D．m＝0.01
解：由随机变量X的分布列，得：
0.2+0.1+0.2+m+0.3＝1，
解得m＝0.2．
故选：C．
6．现有不同的红球7个，不同的白球5个．若从中任取两个不同颜色的球，则不同的取法有（ ）
A．35种 B．12种 C．49种 D．25种
解：若从中任取两个不同颜色的球，则有＝7×5＝35种，
故选：A．
7．在新高考改革中，一名高一学生在确定选修物理的情况下，想从政治，地理，生物，化学中再选两科学习，则所选两科中一定有地理的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：四科中间选两科，一共有：政地，政生，政化，地生，地化，生化6种选择，
其中有地理的是3种，
所以所选两科中一定有地理的概率是p＝．
故选：D．
8．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（0≤X≤2）＝0.2，则P（X＞4）＝（ ）
A．0.6 B．0.2 C．0.3 D．0.35
解：因为随机变量X服从正态分布N（2，σ2），
所以正态曲线的对称轴为x＝2，
又且P（0≤X≤2）＝0.2，
则P（X＞4）＝P（X＜0）＝0.5﹣0.2＝0.3．
故选：C．
9．8名学生中有3名女生，若从中抽取2名作为学生代表，恰好抽到2名女的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：因为8名学生中有3名女生，则从中抽取2名学生，共有种选法，
其中恰好抽到2名女，共有种选法，
所以恰好抽到2名女的概率为．
故选：B．
10．在极坐标系中，点到直线的距离为（ ）
A．2 B．1 C． D．
解：点A（3，）根据转换为直角坐标为（），
直线根据转换为直角坐标方程为，
利用点到直线的距离公式d＝．
故选：A．
11．从一口袋中有放回地每次摸出1个球，摸出一个白球的概率为0.4，摸出一个黑球的概率为0.5，若摸球3次，则恰好有2次摸出白球的概率为（ ）
A．0.24 B．0.26 C．0.288 D．0.292
解：恰好有2次摸出白球的概率为 •0.42•（1﹣0.4）＝0.288，
故选：C．
12．已知定义在R上的函数f（x）的图象如图，则x•f′（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，0）∪（1，2） B．（1，2）
C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
解：不等式x•f′（x）＞0等价为当x＞0时，f′（x）＞0，即x＞0时，函数递增，此时1＜x＜2，
或者当x＜0时，f′（x）＜0，即x＜0时，函数递减，此时x＜0，
综上1＜x＜2或x＜0，
即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（1，2），
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上）
13．已知z＝1+i，则|z|＝ ．
解：由z＝1+i，所以．
故答案为．
14．已知直线参数方程（t为参数），试写出它的直角坐标方程 4x+2y﹣3＝0 ．
解：已知直线参数方程（t为参数），转换为直角坐标方程为4x+2y﹣3＝0．
故答案为：4x+2y﹣3＝0．
15．函数f（x）＝x3﹣3x+1的单调减区间为 （﹣1，1） ．
解：令f′（x）＝3x2﹣3＜0
解得﹣1＜x＜1，
∴函数y＝x3﹣3x的单调递减区间是（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
16．下列命题正确的是 （1）（2）（4） ．
（1）在独立性检验中，随机变量K2的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小；
（2）已知X∼N（μ，σ2），当μ不变时，σ越大，X的正态密度曲线越矮胖；
（3）函数f（x）＝x3的极值点是x＝0；
（4）曲线x2+y2＝1经过变换后，得到的新曲线的方程为．
解：对（1）：在独立性检验中，随机变量K2的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小．满足独立检验的性质，所以（1）正确；
对（2）：σ越大，
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