资源描述
怀仁市2020—2021学年度高二下学期期末教学质量调研测试
理科数学Ⅰ卷
(考试时间120分钟,满分150分)
一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1.若,其中为虚数单位,则复数等于( )
A. B. C. D.
2.对于自变量和因变量,当取值一定时,的取值带有一定的随机性,,之间的这种非确定性关系叫做( )
A.函数关系 B.线性关系 C.相关关系 D.回归关系
3.下列表述正确的是①归纳推理是由特殊到一般的推理;②演绎推理是由一般到特殊的推理;③类比推理是由特殊到一般的推理;④分析法是一种间接证明法;
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
4.为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况,抽取了部分学生作为样本,统计其喜欢的支付方式,并制作出如下等高条形图(如图),根据图中的信息,下列结论中不正确的是( )
A.样本中的男生数量多于女生数量 B.样本中喜欢手机支付的数量多于现金支付的数量
C.样本中多数男生喜欢现金支付 D.样本中多数女生喜欢手机支付
5.在列联表中,下列哪两个比值相差越大,两个分类变量有关系的可能性就越大( )
A.与 B.与 C.与 D.与
6.观察如图中各多边形图案,每个图案均由若干个全等的正六边形组成,记第个图案中正六边形的个数是.
…由,,可推( )
A.270 B.271 C.272 D.273
7.某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为7天左右,短的大约2~3天,长的大约10~14天,甚至有20余天。某医疗机构对400名确诊患者的潜伏期进行统计,整理得到以下频率分布直方图。根据该直方图估计;要使90%的患者显现出明显病状,需隔离观察的天数至少是( )
A.12 B.13 C.14 D.15
8.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准,现选择15名志愿者,对其身高和臂展进行测量(单位:厘米),左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图,右图为身高与臂展所对应的散点图,并求得其回归方程为,以下结论中不正确的为( )
A.15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B.15名志愿者身高和臂展成正相关关系
C.可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D.身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米
9.从全体高二同学的期末考试成绩中,随机抽取了100位同学的数学成绩进行分析,在录入数据时,统计员不小心将100位同学中的最高成绩148分录成了150分,则在计算出的数据中一定正确的是( )
A.平均分 B.方差 C.中位数 D.标准差
10.有一组样本数据,,,…,由这组数据得到新样本数据,其中,,,…,为非零常数,则( )
A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差不同
11.小正方形按照下图中的规律排列,每个图形中的小正方形的个数构成数列有以下结论:①;②是一个等差数列;③数列是一个等比数列;④数列的递推公式,其中正确的是( )
A.①②④ B.①③④ C.①② D.①④
12.已知,不等式,,,…,可推广为,则的值为( )
A. B. C. D.
二.填空题:本大题共4小题,每小题5,共20分
13.已知函数.则曲线在点处的切线方程______.
14.下列命题中,正确的命题有______.
①回归直线恒过样本点的中心,且至少过一个样本点;
②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后,方差不变;
③用相关指数来刻画回归效果,越接近0,说明模型的拟合效果越好;
④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生从1~160编号,按编号顺序平均分成20组(1~8号,9~16号,…,153~160号),若第16组抽出的号码为126,则第一组中用抽签法确定的号码为6号.
15.在极坐标系中,已知圆的圆心,半径,点在圆上运动.若点在线段上,且,则动点的极坐标方程______.
16.如图所示,有三根针和套在一根针上的个金属片,按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.(1)每次只能移动一个金属片;
(2)在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为,则______.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)已知复数,.
(1)若为纯虚数,求实数的值;
(2)若在复平面上对应的点在直线上,求实数的值.
18.(12分)已知正项数列的前项和,满足。
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:.
19.(12分)某科研课题组通过一款手机软件,调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量(简称“周跑量”),得到如下的频数分布表:
周跑量
人数
100
120
130
180
220
150
60
30
10
(1)补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图:
周跑量
小于20公里
20公里到
不小于40公里
类别
休闲跑者
核心跑者
精英跑者
装备价格
2500
4000
4500
(2)根据以上图表数据,试求样本的中位数及众数(保留一位小数);
(3)根据跑步爱好者的周跑量,将跑步爱好者分成以下三类,不同类别的跑者购买的装备的价格不一样(如表),根据以上数据,估计该市每位跑步爱好者购买装备,平均需要花费多少元?
20.(12分)甲、乙两校分别有120名、100名学生参加了某培训机构组织的自主招生培训,考试结果出来以后,培训机构为了进一步了解各校所培训学生通过自主招生的情况,从甲校随机抽取60人,从乙校随机抽取50人进行分析,相关数据如下表.
通过人数
未通过人数
总计
甲
乙
30
总计
60
(1)完成上面列联表,并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关;
(2)现从甲、乙两校通过的学生中采取分层抽样的方法抽取5人,再从所抽取的5人种随机抽取2人,求2人全部来自于乙校的概率.
参考公式:,.
参考数据:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21.(12分)已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)当时,证明:.
选作题:本小题满分10分,请考生在第22题、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时写清题号。
22、[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在极坐标系中,曲线的极坐标方程是,在以极点为原点,极轴为轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程;
(2)将曲线经过伸缩变换后得到曲线,若,分别是曲线和曲线上的动点,求的最小值.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设.(1)求的解集;
(2)若不等式,对任意实数恒成立,求实数的取值范围.
怀仁市2020—2021学年度下学期期末
高二教学质量调研测试
文科数学答案Ⅰ卷
一.选择题:BCACA BCDCC DB
二.填空题:13. 14.②④ 15. 16.;
三.解答题:
17.解:(Ⅰ)若为纯虚数,则,且,解得实数的值为2;
(Ⅱ)在复平面上对应的点,
在直线上,则,
解得.
18.(12分)解(1)由,当时,得。∵,∴。
∵当时,,…①,当时,,……②
由①-②得:,
即,∴。
∴当时,。故数列是公差为1的等差数列。
故数列的通项公式为。
(2)∵
∴
∴
19.解(1)补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图,如下:
(2)中位数的估计值:
由,,
所以中位数位于区间中,设中位数为,则,
解得.即样本中位数是29.2.
因为样本中频率最高的一组为,所以样本的众数为32.5
(3)依题意可知,休闲跑者共有人,
核心跑者人,
精英跑者人,所以该市每位跑步爱好者购买装备,
平均需要元.
即该市每位跑步爱好者购买装备,平均需要3720元.
20.解(1)列联表如下:
通过人数
未通过人数
总计
甲
20
40
60
乙
30
20
50
总计
50
60
110
由上表数据算得:
所以有99%的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关
(2)按照分层抽样的方法,应从甲校中抽2人,乙校中抽3人,甲校2人记为,,乙校3人记为,,,从5人中任取2人共有,,,,,,,,,10种情况,其中2人全部来自乙校的情况有,,共3种,所以所求事件的概率为
21.(Ⅰ)显然,,
(1)当时,,在上单调递减;
(2)当时,由得
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增.
(Ⅱ)当时,要证:,
只需证:,由(Ⅰ)易知,
所以即证:,
设,则,令得得,
当时,,在上单调递减;当时,,在上单调递增.∴,即,即,所以
22.(10分)(1)由题意,曲线的极坐标方程是,
即,又由,,
所以,故的直角坐标方程为.
因为曲线的参数方程为(为参数),所以,
故的普通方程为.
(2)将曲线经过伸缩变换后得到曲线,
则曲线的参数方程为(为参数).
设,则点到曲线的距离
(其中满足)
当时,有最小值,
所以的最小值为.
23.(1)由有或
或
解得,∴所求解集为.
(2),
当且仅当时取等号.
由不等式对任意实数恒成立,
可得,解得或.
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