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2020-2021学年广东省云浮市高二(下)期末
数学试卷
一、选择题(共8小题,每题5分,共40分).
1.复数在复平面内对应的点的坐标为( )
A.(,) B.(﹣,) C.(﹣,﹣) D.(,﹣)
2.已知随机变量X~B(n,p),若D(X)=3,E(X)=4,则n,p分别为( )
A.n=8,p= B.n=8,p= C.n=16,p= D.n=16,p=
3.函数f(x)=xlnx的图象在x=e处的切线方程为( )
A.2x﹣y﹣e=0 B.x﹣2y+e=0 C.2x+y﹣3e=0 D.x+2y﹣3e=0
4.若X~N(5,σ²),且P(5<X<6)=0.3,则P(X≤4)=( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6
5.三个班分别从六个风景点中选择一处游览,不同选法的种数是( )
A.729 B.18 C.216 D.81
6.(2+)(1﹣x)10展开式中的常数项为( )
A.12 B.8 C.﹣8 D.﹣12
7.一边长为18的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒.当方盒的容积最大时,x=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
8.设0<a<1.随机变量X的分布列是
X
0
a
1
P
则当a在(0,1)内增大时,( )
A.D(X)增大 B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列求导正确的是( )
A.若f(x)=,则f′(x)=lnx
B.若f(x)=3e﹣x,则f′(x)=﹣3e﹣x
C.若f(x)=x2+log2x,则f′(x)=2x
D.若f(x)=sinx+cos,则f′(x)=cosx﹣sin
10.已知(x﹣)n展开式中各项的二项式系数和是64,则( )
A.n=6
B.展开式中所有项的系数和为﹣1
C.展开式中常数项为﹣160
D.展开式中含x2项为﹣60x2
11.已知双曲线W:﹣=1.( )
A.m∈(﹣2,﹣1)
B.若W的顶点坐标为(0,),则m=﹣3
C.W的焦点坐标为(±1,0)
D.若m=0,则W的渐近线方程为x±y=0
12.已知函数,则( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在上的最大值为1
C.f(x)在[0,π]上为减函数
D.f(x)在(0,π)上有且仅有1个零点
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的橫线上.
13.计算(4﹣3i)(﹣5﹣4i)= .
14.直线l:x﹣y﹣1=0被圆C:x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦AB的长为 .
15.从1,3,5,7,9中任取三个数,从2,4,6,8,中任取两个数,一共可组成 个没有重复数字的五位数.
16.某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.元件1,元件2,元件3正常工作的概率分别为,则这个部件能正常工作的概率为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数f(x)=2x3+3x2﹣12x.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在[0,3]上的最值.
18.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点到准线的距离为1.
(1)求p的值及抛物线C的焦点F的坐标;
(2)求抛物线C在x=1处的切线方程.
19.从某大学中随机选取8名女大学生,其身高x和体重y数据如表所示.
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高/cm
164
166
160
170
175
164
156
173
体重/kg
49
57
52
53
65
61
44
59
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程,并预报一名身高为174cm的女大学生的体重.(结果精确到0.01,且每一步用上一步的近似值进行计算)
参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为==,=﹣.
20.习近平总书记在党的十九大工作报告中提出,永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标.在这一号召的引领下,全国人民积极工作,健康生活.当前“日行万步”正成为健康生活的代名词,某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动,界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”,不少于10千步的人为“超健康生活方式者”,其他为“一般生活方式者”.该学校工会随机抽取了本校50名教职工,统计他们的日行步数,已知步数均没超过14千步,按步数分为[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14](单位:千步)七组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求这50名教职工日行步数的样本平均数(同一组数据用该组数据区间的中点值代替);
(2)学校工会准备从样本中的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中再抽取3人进行日常生活方式交流座谈会,记抽取的3人中“超健康生活方式者”人数为X,求X的分布列和数学期望;
(3)用样本估计总体,将频率视为概率.若工会打算对该校全体1000名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励,其中步数在[10,12)内的教职工奖励一件T恤,价值50元;步数在[12,14]内的教职工奖励一件T恤和一条运动裤,价值100元试判断10000元的预算是否足够.
21.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且椭圆C过点(﹣2,0),离心率e=,O为坐标原点,过F2且不平行于坐标轴的动直线l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.
(1)求C的标准方程;
(2)记直线OM的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:k1k2为定值.
(3)y轴上是否存在点P,使得△ABP为等边三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
22.已知函数f(x)=2ex(ex﹣2a)+4ax+a2.
(1)讨论f(x)极值点的个数;
(2)若到x1,x2是f(x)的两个极值点,且f(x1)+f(x2)≥t(x1+x2)恒成立,求实数t的取值范围.
参考答案
一、选择题(共8小题,每题5分,共40分).
1.复数在复平面内对应的点的坐标为( )
A.(,) B.(﹣,) C.(﹣,﹣) D.(,﹣)
【分析】直接化简已知的复数,从而得到其在复平面内对应点的坐标得答案.
解:∵==﹣+i,
∴复数在复平面内对应的点的坐标为(﹣,),
故选:B.
2.已知随机变量X~B(n,p),若D(X)=3,E(X)=4,则n,p分别为( )
A.n=8,p= B.n=8,p= C.n=16,p= D.n=16,p=
【分析】根据已知条件,结合二项分布的期望与方差公式,即可求解.
解:∵随机变量X~B(n,p),D(X)=3,E(X)=4,
∴D(X)=np(1﹣p)=3,E(X)=np=4,
∴n=16,p=.
故选:D.
3.函数f(x)=xlnx的图象在x=e处的切线方程为( )
A.2x﹣y﹣e=0 B.x﹣2y+e=0 C.2x+y﹣3e=0 D.x+2y﹣3e=0
【分析】求出原函数的导函数,得到函数在x=e处的导数,再求出f(e)的值,利用直线方程的点斜式得答案.
解:由f(x)=xlnx,得f′(x)=lnx+1,
则f′(e)=lne+1=2,又f(e)=elne=e,
∴函数f(x)=xlnx的图象在x=e处的切线方程为y﹣e=2(x﹣e),
即2x﹣y﹣e=0.
故选:A.
4.若X~N(5,σ²),且P(5<X<6)=0.3,则P(X≤4)=( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6
【分析】根据已知条件,结合正态分布的对称性,即可求解.
解:∵X~N(5,σ²),且P(5<X<6)=0.3,
∴P(4<X<5)=0.3,
∴P(4<X<6)=0.3+0.3=0.6,
∴.
故选:A.
5.三个班分别从六个风景点中选择一处游览,不同选法的种数是( )
A.729 B.18 C.216 D.81
【分析】每个班级都有6种选法,由分步乘法计数原理求解.
解:每个班级都有6种选法,由分步乘法计数原理,得不同选法的种数是6×6×6=216.
故选:C.
6.(2+)(1﹣x)10展开式中的常数项为( )
A.12 B.8 C.﹣8 D.﹣12
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式,求出:(2+)(1﹣x)10展开式中的常数项.
解:(2+)(1﹣x)10展开式中的常数项为2×+××(﹣x)=2﹣10=﹣8,
故选:C.
7.一边长为18的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒.当方盒的容积最大时,x=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【分析】求出关于容积V(x)的解析式,求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数取最大值时x的值即可.
解:由题意得:无盖方盒的底面是边长为18﹣2x的 正方形,高为x,
则无盖方盒的容积V(x)=(18﹣2x)2x=4x3﹣72x2+324x(0<x<9),
∵V′(x)=12x2﹣144x+324=12(x﹣3)(x﹣9),
∴当x∈(0,3)时,V′(x)>0,当x∈(3,9)时,V′(x)<0,
故x=3时,方盒的容积最大,
故选:B.
8.设0<a<1.随机变量X的分布列是
X
0
a
1
P
则当a在(0,1)内增大时,( )
A.D(X)增大 B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大
【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果
解:E(X)=0×+a×+1×=,
D(X)=()2×+(a﹣)2×+(1﹣)2×
=[(a+1)2+(2a﹣1)2+(a﹣2)2]=(a2﹣a+1)=(a﹣)2+
∵0<a<1,∴D(X)先减小后增大
故选:D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列求导正确的是( )
A.若f(x)=,则f′(x)=lnx
B.若f(x)=3e﹣x,则f′(x)=﹣3e﹣x
C.若f(x)=x2+log2x,则f′(x)=2x
D.若f(x)=sinx+cos,则f′(x)=cosx﹣sin
【分析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可.
解:∵,∴A错误;
∵(3e﹣x)′=﹣3e﹣x,∴B正确;
∵,∴C正确;
∵,∴D错误.
故选:BC.
10.已知(x﹣)n展开式中各项的二项式系数和是64,则( )
A.n=6
B.展开式中所有项的系数和为﹣1
C.展开式中常数项为﹣160
D.展开式中含x2项为﹣60x2
【分析】由题意利用二项式系数的性质、二项展开式的通项公式,注意判断各个选项是否正确,从而得出结论.
解:∵(x﹣)n展开式中各项的二项式系数和是 2n=64,∴n=6,故A正确;
令x=1,可得展开式中所有项的系数和为(1﹣2)6=1,故B错误;
在通项公式Tr+1=•(﹣2)r•x6﹣2r 中,令6﹣2r=0,求得r=3,
可得展开式中常数项为•(﹣8)=﹣160,故C正确;
在通项公式Tr+1=•(﹣2)r•x6﹣2r 中,令
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