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2020-2021学年江苏省南通市高二(下)期末
数学试卷
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分).
1.已知集合A={x|﹣1≤x≤2},B={x|x2<4x,x∈N},则A∩B=( )
A.[0,2] B.(0,2] C.{0,1,2} D.{1,2}
2.已知复数z=﹣+i,则z2+z=( )
A.﹣1 B.1 C.+i D.﹣i
3.已知a=π﹣2,b=﹣log25,c=log2,则( )
A.b>a>c B.c>b>a C.a>c>b D.a>b>c
4.已知等比数列{an}的前6项和为,公比为,则a6=( )
A. B. C. D.24
5.英国数学家泰勒(B.Taylor,1685﹣1731)发现了如下公式:sinx=x﹣+﹣+….根据该公式可知,与﹣1+﹣+﹣…的值最接近的是( )
A.cos57.3° B.cos147.3°
C.sin57.3° D.sin(﹣32.7°)
6.设F1,F2为椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点.点P在C上,且PF1,F1F2,PF2成等比数列,则C的离心率的最大值为( )
A. B. C. D.1
7.为贯彻落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神,某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程,要求每个学生从中任选2门进行学习,则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为( )
A. B. C. D.
8.若x1,x2∈(0,),则“x1<x2”是“x2sinx1>x1sinx2”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.如图是函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象,则( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.图象关于(﹣,0)对称
C.f(﹣)=1
D.f(x)的图象向右平移个单位,可以得到y=cos2x的图象
10.已知四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形,PD⊥平面ABCD,则( )
A.∠PCD是PC与AB所成的角
B.∠PAD是PA与平面ABCD所成的角
C.∠PBA是二面角P﹣BC﹣A的平面角
D.作AE⊥PB于E,连结EC,则∠AEC是二面角A﹣PB﹣C的平面角
11.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C相交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点.若|PQ|的最小值为6,则( )
A.抛物线C的方程为y2=6x
B.PQ的中点到准线的距离的最小值为3
C.y1y2=﹣36
D.当直线PQ的倾斜角为60°时,F为PQ的一个四等分点
12.在△ABC中,设=,=,=,则下列命题正确的是( )
A.若•<0,则△ABC为钝角三角形
B.•+•+•<0
C.若•>•,则||<||
D.若|﹣|=|﹣|,则||=||
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若(x+)6的展开式中x的系数为30,则a= .
14.某公司于2021年1月推出了一款产品A,现对产品上市时间x(单位:月)和市场占有率y进行统计分析,得到如表数据:
x
1
2
3
4
5
y
0.002
0.005
0.010
0.015
0.018
由表中数据求得线性回归方程为ŷ=0.0042x+,则当x=10时,市场占有率y约为 .
15.已知f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=ln.若f(e2)=1,则a= .
16.一个正四棱台的侧面与底面所成的角为60°,且下底面边长是上底面边长的2倍.若该棱台的体积为,则其下底面边长为 ,外接球的表面积为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=0,S6=3(a7﹣1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2,求满足不等式+++…+>(b1+b2+b3+…+bn)的正整数n的集合.
18.在①asinB=bsin;②•=S;③asinC+acosC=b+c这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并回答问题.
问题:在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,D是BC的中点.若a=,b=2,且______,求A及AD的长.
19.某中学高三年级组为了解学生主动预习与学习兴趣是否有关,随机抽取一个容量为n的样本进行调查.调查结果表明,主动预习的学生占样本容量的,学习兴趣高的学生占样本容量的,主动预习且学习兴趣高的学生占样本容量的.
(1)完成下面2×2列联表.若有97.5%的把握认为主动预习与学习兴趣有关,求样本容量n的最小值;
学习兴趣高
学习兴趣一般
合计
主动预习
n
n
不太主动预习
合计
n
n
(2)该校为了提高学生的数学学习兴趣,用分层抽样的方法从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人,组成数学学习小组,现从该小组中随机抽取3人进行摸底测试,记3人中“不太主动预”的人数为X,求X的分布列和数学期望E(X).
附:K2=,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥CD,∠BAD=60°,AB=AD=CD=2,E为棱PD上的一点,且DE=2EP=2.
(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)求二面角A﹣EC﹣D的余弦值.
21.设双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C的左、右准线与其一条渐近线y=2x的交点分别为A,B,四边形AF1BF2的面积为4.
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知l为圆O:x2+y2=的切线,且与C相交于P,Q两点,求•.
22.设函数f(x)=ax﹣1+ex,已知x=0是函数g(x)=f(x)﹣2x的极值点.
(1)求a;
(2)当x∈[0,)时,若f(x)≥msin2x,求实数m的取值范围.
参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分).
1.已知集合A={x|﹣1≤x≤2},B={x|x2<4x,x∈N},则A∩B=( )
A.[0,2] B.(0,2] C.{0,1,2} D.{1,2}
解:∵集合A={x|﹣1≤x≤2},
B={x|x2<4x,x∈N}={x|0<x<4,x∈N}={1,2,3},
∴A∩B={1,2}.
故选:D.
2.已知复数z=﹣+i,则z2+z=( )
A.﹣1 B.1 C.+i D.﹣i
解:∵z=﹣+i,
∴z2+z=z(z+1)==.
故选:A.
3.已知a=π﹣2,b=﹣log25,c=log2,则( )
A.b>a>c B.c>b>a C.a>c>b D.a>b>c
解:∵a=π﹣2=,∴0<a<1,
∵b=﹣log25=log2,c=log2,<,
∴log2<log2,即b<c<0.
∴a>c>b,
故选:C.
4.已知等比数列{an}的前6项和为,公比为,则a6=( )
A. B. C. D.24
解:根据题意,等比数列{an}的前6项和为,公比为,
则有S6==,解可得a1=24,
则a6=a1q5=;
故选:B.
5.英国数学家泰勒(B.Taylor,1685﹣1731)发现了如下公式:sinx=x﹣+﹣+….根据该公式可知,与﹣1+﹣+﹣…的值最接近的是( )
A.cos57.3° B.cos147.3°
C.sin57.3° D.sin(﹣32.7°)
解:由题意可知,sin(﹣1)=﹣1+﹣+﹣…,
因为1弧度≈57.3°,
所以sin(﹣1)≈sin(﹣57.3°),
由诱导公式可得sin(﹣α)=﹣sinα,sinα=cos(),cos(π﹣α)=﹣cosα,
所以sin(﹣57.3°)=﹣sin57.3°=﹣cos32.7°=cos(180°﹣32.7°)=cos147.3°,
则与﹣1+﹣+﹣…的值最接近的是cos147.3°.
故选:B.
6.设F1,F2为椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点.点P在C上,且PF1,F1F2,PF2成等比数列,则C的离心率的最大值为( )
A. B. C. D.1
解:因为P在椭圆上,由椭圆的定义得PF1+PF2=2a①;
由PF1,F1F2,PF2成等比数列,所以(2c)2=PF1•PF2②;
由均值不等式及①②,得a≥2c;
所以,当且仅当PF1=PF2时,等号成立.
故选:A.
7.为贯彻落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神,某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程,要求每个学生从中任选2门进行学习,则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为( )
A. B. C. D.
解:某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程,
要求每个学生从中任选2门进行学习,
甲、乙两名同学的选课包含的基本事件个数n==36,
甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同包含的基本事件个数m==24,
则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为P===.
故选:A.
8.若x1,x2∈(0,),则“x1<x2”是“x2sinx1>x1sinx2”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解:∵x1,x2∈(0,),
∴要使x2sinx1>x1sinx2即使>,
令f(x)=,x∈(0,),f′(x)=,
令h(x)=xcosx﹣sinx,h′(x)=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx<0,
故h(x)=xcosx﹣sinx在(0,)上为减函数,且h(0)=0,
故f′(x)<0,故f(x)=在(0,)上为减函数,
故“x1<x2”是“>”的充要条件,
即“x1<x2”是“x2sinx1>x1sinx2”成立的充要条件,
故选:C.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.如图是函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象,则( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.图象关于(﹣,0)对称
C.f(﹣)=1
D.f(x)的图象向右平移个单位,可以得到y=cos2x的图象
解:由图象可知,,
所以f(x)的最小正周期为π,
故选项A正确;
因为,可得ω=2,
又为“五点法”中的第二个点,
则,解得φ=,
所以,
因为≠0,
则(﹣,0)不是f(x)的对称中心,
故选项B错误;
,
故选项C正确;
的图象向右平移个单位,
可得函数,
故选项D错误.
故选:AC.
10.已知四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形,PD⊥平面ABCD,则( )
A.∠PCD是PC与AB所成的角
B.∠PAD是PA与平面ABCD所成的角
C.∠PBA是二面角P﹣BC﹣A的平面角
D.作AE⊥PB于E,连结EC,则∠AEC是二面角A﹣PB﹣C的平面角
解:作出图象如图所示,
因为ABCD是矩形,则
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