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2020-2021学年江苏省南通市高二（下）期末
数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2＜4x，x∈N}，则A∩B＝（ ）
A．[0，2] B．（0，2] C．{0，1，2} D．{1，2}
2．已知复数z＝﹣+i，则z2+z＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．+i D．﹣i
3．已知a＝π﹣2，b＝﹣log25，c＝log2，则（ ）
A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
4．已知等比数列{an}的前6项和为，公比为，则a6＝（ ）
A． B． C． D．24
5．英国数学家泰勒（B．Taylor，1685﹣1731）发现了如下公式：sinx＝x﹣+﹣+…．根据该公式可知，与﹣1+﹣+﹣…的值最接近的是（ ）
A．cos57.3° B．cos147.3°
C．sin57.3° D．sin（﹣32.7°）
6．设F1，F2为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点．点P在C上，且PF1，F1F2，PF2成等比数列，则C的离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
7．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．若x1，x2∈（0，），则“x1＜x2”是“x2sinx1＞x1sinx2”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．如图是函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．图象关于（﹣，0）对称
C．f（﹣）＝1
D．f（x）的图象向右平移个单位，可以得到y＝cos2x的图象
10．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，则（ ）
A．∠PCD是PC与AB所成的角
B．∠PAD是PA与平面ABCD所成的角
C．∠PBA是二面角P﹣BC﹣A的平面角
D．作AE⊥PB于E，连结EC，则∠AEC是二面角A﹣PB﹣C的平面角
11．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与C相交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点．若|PQ|的最小值为6，则（ ）
A．抛物线C的方程为y2＝6x
B．PQ的中点到准线的距离的最小值为3
C．y1y2＝﹣36
D．当直线PQ的倾斜角为60°时，F为PQ的一个四等分点
12．在△ABC中，设＝，＝，＝，则下列命题正确的是（ ）
A．若•＜0，则△ABC为钝角三角形
B．•+•+•＜0
C．若•＞•，则||＜||
D．若|﹣|＝|﹣|，则||＝||
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若（x+）6的展开式中x的系数为30，则a＝ ．
14．某公司于2021年1月推出了一款产品A，现对产品上市时间x（单位：月）和市场占有率y进行统计分析，得到如表数据：
x
1
2
3
4
5
y
0.002
0.005
0.010
0.015
0.018
由表中数据求得线性回归方程为ŷ＝0.0042x+，则当x＝10时，市场占有率y约为 ．
15．已知f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）＝ln．若f（e2）＝1，则a＝ ．
16．一个正四棱台的侧面与底面所成的角为60°，且下底面边长是上底面边长的2倍．若该棱台的体积为，则其下底面边长为 ，外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝0，S6＝3（a7﹣1）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝2，求满足不等式+++…+＞（b1+b2+b3+…+bn）的正整数n的集合．
18．在①asinB＝bsin；②•＝S；③asinC+acosC＝b+c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答问题．
问题：在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，D是BC的中点．若a＝，b＝2，且______，求A及AD的长．
19．某中学高三年级组为了解学生主动预习与学习兴趣是否有关，随机抽取一个容量为n的样本进行调查．调查结果表明，主动预习的学生占样本容量的，学习兴趣高的学生占样本容量的，主动预习且学习兴趣高的学生占样本容量的．
（1）完成下面2×2列联表．若有97.5%的把握认为主动预习与学习兴趣有关，求样本容量n的最小值；
学习兴趣高
学习兴趣一般
合计
主动预习
n
n
不太主动预习
合计
n
n
（2）该校为了提高学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人，组成数学学习小组，现从该小组中随机抽取3人进行摸底测试，记3人中“不太主动预”的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．
附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝60°，AB＝AD＝CD＝2，E为棱PD上的一点，且DE＝2EP＝2．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）求二面角A﹣EC﹣D的余弦值．
21．设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C的左、右准线与其一条渐近线y＝2x的交点分别为A，B，四边形AF1BF2的面积为4．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知l为圆O：x2+y2＝的切线，且与C相交于P，Q两点，求•．
22．设函数f（x）＝ax﹣1+ex，已知x＝0是函数g（x）＝f（x）﹣2x的极值点．
（1）求a；
（2）当x∈[0，）时，若f（x）≥msin2x，求实数m的取值范围．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2＜4x，x∈N}，则A∩B＝（ ）
A．[0，2] B．（0，2] C．{0，1，2} D．{1，2}
解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，
B＝{x|x2＜4x，x∈N}＝{x|0＜x＜4，x∈N}＝{1，2，3}，
∴A∩B＝{1，2}．
故选：D．
2．已知复数z＝﹣+i，则z2+z＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．+i D．﹣i
解：∵z＝﹣+i，
∴z2+z＝z（z+1）＝＝．
故选：A．
3．已知a＝π﹣2，b＝﹣log25，c＝log2，则（ ）
A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
解：∵a＝π﹣2＝，∴0＜a＜1，
∵b＝﹣log25＝log2，c＝log2，＜，
∴log2＜log2，即b＜c＜0．
∴a＞c＞b，
故选：C．
4．已知等比数列{an}的前6项和为，公比为，则a6＝（ ）
A． B． C． D．24
解：根据题意，等比数列{an}的前6项和为，公比为，
则有S6＝＝，解可得a1＝24，
则a6＝a1q5＝；
故选：B．
5．英国数学家泰勒（B．Taylor，1685﹣1731）发现了如下公式：sinx＝x﹣+﹣+…．根据该公式可知，与﹣1+﹣+﹣…的值最接近的是（ ）
A．cos57.3° B．cos147.3°
C．sin57.3° D．sin（﹣32.7°）
解：由题意可知，sin（﹣1）＝﹣1+﹣+﹣…，
因为1弧度≈57.3°，
所以sin（﹣1）≈sin（﹣57.3°），
由诱导公式可得sin（﹣α）＝﹣sinα，sinα＝cos（），cos（π﹣α）＝﹣cosα，
所以sin（﹣57.3°）＝﹣sin57.3°＝﹣cos32.7°＝cos（180°﹣32.7°）＝cos147.3°，
则与﹣1+﹣+﹣…的值最接近的是cos147.3°．
故选：B．
6．设F1，F2为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点．点P在C上，且PF1，F1F2，PF2成等比数列，则C的离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
解：因为P在椭圆上，由椭圆的定义得PF1+PF2＝2a①；
由PF1，F1F2，PF2成等比数列，所以（2c）2＝PF1•PF2②；
由均值不等式及①②，得a≥2c；
所以，当且仅当PF1＝PF2时，等号成立．
故选：A．
7．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程，
要求每个学生从中任选2门进行学习，
甲、乙两名同学的选课包含的基本事件个数n＝＝36，
甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同包含的基本事件个数m＝＝24，
则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为P＝＝＝．
故选：A．
8．若x1，x2∈（0，），则“x1＜x2”是“x2sinx1＞x1sinx2”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：∵x1，x2∈（0，），
∴要使x2sinx1＞x1sinx2即使＞，
令f（x）＝，x∈（0，），f′（x）＝，
令h（x）＝xcosx﹣sinx，h′（x）＝cosx﹣xsinx﹣cosx＝﹣xsinx＜0，
故h（x）＝xcosx﹣sinx在（0，）上为减函数，且h（0）＝0，
故f′（x）＜0，故f（x）＝在（0，）上为减函数，
故“x1＜x2”是“＞”的充要条件，
即“x1＜x2”是“x2sinx1＞x1sinx2”成立的充要条件，
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．如图是函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．图象关于（﹣，0）对称
C．f（﹣）＝1
D．f（x）的图象向右平移个单位，可以得到y＝cos2x的图象
解：由图象可知，，
所以f（x）的最小正周期为π，
故选项A正确；
因为，可得ω＝2，
又为“五点法”中的第二个点，
则，解得φ＝，
所以，
因为≠0，
则（﹣，0）不是f（x）的对称中心，
故选项B错误；
，
故选项C正确；
的图象向右平移个单位，
可得函数，
故选项D错误．
故选：AC．
10．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，则（ ）
A．∠PCD是PC与AB所成的角
B．∠PAD是PA与平面ABCD所成的角
C．∠PBA是二面角P﹣BC﹣A的平面角
D．作AE⊥PB于E，连结EC，则∠AEC是二面角A﹣PB﹣C的平面角
解：作出图象如图所示，
因为ABCD是矩形，则
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