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2020-2021学年陕西省咸阳市高二（下）期末
数学试卷（理科）
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.
1．已知函数f（x）＝sinπx，则f'（1）＝（ ）
A．﹣π B．0 C．π D．1
2．已知（2﹣i）•z＝i，i为虚数单位，则|z|＝（ ）
A． B．1 C．2 D．
3．在（3x﹣2）5的展开式中，各项系数的和为（ ）
A．0 B．1 C．55 D．﹣55
4．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为f'（x0），则＝（ ）
A．2f'（x0） B．﹣2f'（x0） C． D．
5．为迎接2022年北京冬奥会的到来，某体育中心举办“激情冰雪，相约冬奥”主题展览体验活动，共有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个活动项目，每人限报1个项目．有3位同学准备参加该活动，则不同的体验方案的种数为（ ）
A．53 B．35 C．C D．A
6．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，则P（2≤ξ＜4）等于（ ）
A．0.3 B．0.35 C．0.5 D．0.7
7．如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）
A．0.196 B．0.504 C．0.686 D．0.994
8．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展．如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：
月份代码x
1
2
3
4
5
销售量y（万辆）
0.5
0.6
1
1.4
1.5
由上表可知其线性回归方程为＝0.28x+a，则a的值为（ ）
A．0.16 B．1.6 C．0.06 D．0.8
9．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且y＝f'（x）的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（ ）
A．f（a）＝0 B．f（x）没有极大值
C．x＝b时，f（x）有极大值 D．x＝c时，f（x）有极小值
10．中国作为世界上最大的棉花生产国和消费国，棉田面积在40万公顷以上有7个，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽．A，B，C，D，E共5位优秀学生分别前往新疆、湖北、山东、河北考察，用实际行动支持中国棉花．其中每个地方至少有一位同学去，A，B，C不去河北但能去其他三个地方，D，E四个地方都能去，则不同的安排方案的种数是（ ）
A．240 B．126 C．78 D．72
11．已知函数的图像与x轴有唯一的公共点，则a的值为（ ）
A． B． C．e D．1
12．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x2+ax（a∈R），若经过点A（0，﹣1）存在一条直线l与f（x）图象和g（x）图象都相切，则a＝（ ）
A．0 B．﹣1 C．3 D．﹣1或3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回地抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，则在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为 ．
14．现有6名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同的站法共有 种．
15．若f（x）＝cosx﹣ax在R上为增函数，则实数a的取值范围为 ．
16．若对任意0＜x1＜x2＜a，有成立，则a的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
18．在二项式（﹣）12的展开式中．
（Ⅰ）求展开式中含x3项的系数；
（Ⅱ）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值．
19．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．对于这一问题，习近平总书记连续作出重要指示，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”．某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查他们每天使用电子产品的时间（单位：分钟），根据调查数据按（0，30]，（30，60]，（60，90]，（90，120]，（120，150]，（150，180]分成6组，得到如下频数分布表：
时间/分钟
（0，30]
（30，60]
（60，90]
（90，120]
（120，150]
（150，180]
频数
12
38
72
46
22
10
记每天使用电子产品的时间超过60分钟为长时间使用电子产品．
（Ⅰ）完成下面的列联表；
非长时间使用电子产品
长时间使用电子产品
合计
患近视人数
100
未患近视人数
80
合计
200
（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关．
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
20．已知复数z1＝a+3i，z2＝2﹣ai（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求实数m的值．
21．为贯彻高中育人方式的变革，某省推出新的高考方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、数学、外语三科必选，“1”是在物理和历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，结合本校实际情况，给出四种可供选择的组合进行模拟选课，组合A：物理、化学、生物；组合B：物理、生物、地理；组合C：历史、政治、地理；组合D：历史、生物、地理．在本校选取100名同学进行模拟选课，每名同学只能选一个组合，选课数据统计如表：
组合
组合A
组合B
组合C
组合D
人数
40
a
30
20
频率
0.4
0.1
0.3
b
以这100名同学选课的频率代替每名同学选课的概率．
（Ⅰ）求表格中a和b的值；
（Ⅱ）估计某同学在选择地理的条件下，选择物理的概率；
（Ⅲ）甲、乙、丙三名同学每人选课是相互独立的，设X为三人中选择含地理组合的人数，求X的分布列和数学期望．
22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）存在极值，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＝﹣1时，求证：xex﹣1﹣f（x）≥0．
参考答案
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.
1．已知函数f（x）＝sinπx，则f'（1）＝（ ）
A．﹣π B．0 C．π D．1
【分析】先利用复合函数的求导公式求出f'（x），然后求解f'（1），即可得到答案．
解：因为函数f（x）＝sinπx，
所以f'（x）＝πcosπx，
则f'（1）＝﹣π．
故选：A．
2．已知（2﹣i）•z＝i，i为虚数单位，则|z|＝（ ）
A． B．1 C．2 D．
【分析】由已知求出z，进而可以求解．
解：由已知可得：
z＝，
所以|z|＝，
故选：A．
3．在（3x﹣2）5的展开式中，各项系数的和为（ ）
A．0 B．1 C．55 D．﹣55
【分析】令x＝1，即可求得各项系数的和．
解：令x＝1，可得各项系数的和为1．
故选：B．
4．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为f'（x0），则＝（ ）
A．2f'（x0） B．﹣2f'（x0） C． D．
【分析】根据题意，由极限的运算性质可得＝2，结合导数的定义分析可得答案．
解：根据题意，＝2＝2f'（x0），
故选：A．
5．为迎接2022年北京冬奥会的到来，某体育中心举办“激情冰雪，相约冬奥”主题展览体验活动，共有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个活动项目，每人限报1个项目．有3位同学准备参加该活动，则不同的体验方案的种数为（ ）
A．53 B．35 C．C D．A
【分析】根据题意，分析可得3名同学每人都有5种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，每人限报1个项目，有3位同学准备参加该活动，
则每人都有5种报名方法，则53种报名方法，
故选：A．
6．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，则P（2≤ξ＜4）等于（ ）
A．0.3 B．0.35 C．0.5 D．0.7
【分析】随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，得到曲线关于x＝4对称，根据曲线的对称性从而得到所求．
解：由题意可得，
故选：B．
7．如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）
A．0.196 B．0.504 C．0.686 D．0.994
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出系统正常工作的概率．
解：某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．
当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．
元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，
则系统正常工作的概率为：
P＝0.7×[1﹣（1﹣0.9）（1﹣0.8）]＝0.686．
故选：C．
8．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展．如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：
月份代码x
1
2
3
4
5
销售量y（万辆）
0.5
0.6
1
1.4
1.5
由上表可知其线性回归方程为＝0.28x+a，则a的值为（ ）
A．0.16 B．1.6 C．0.06 D．0.8
【分析】先求出样本平均数，然后代入线性回归方程求解即可．
解：由题意可知，，，
因为线性回归方程过点（），
所以有1＝0.28×3+a，
故a＝0.16．
故选：A．
9．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且y＝f'（x）的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（ ）
A．f（a）＝0 B．f（x）没有极大值
C．x＝b时，f（x）有极大值 D．x＝c时，f（x）有极小值
【分析】由图象可知，设y＝f′（x）的图象在原点与（c，0）之间的交点为（d，0），由图象可知f′（a）＝f′（d）＝f′（c）＝0，根据导数的正负，研究函数f（x）的单调性极值，即可得出答案．
解：由图象可知，设y＝f′（x）的图象在原点与（c，0）之间的交点为（d，0），
由图象可知f′（a）＝f′（d）＝f′（c）＝0，
当x＜a时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当a＜x＜d时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当d＜x＜c时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当c＜x时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以x＝a是f（x）的极小值点，x＝d是函数f（x）的极大值点，
x＝c是f（x）的极小值点，x＝b不是f（x）的极值点，
f（a）＝0不一定成立，
故选：D．
10．中国作为世界上最大的棉花生产国和消费国，棉田面积在40万公顷以上有7个，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽．A，B，C，D，E共5位优秀学生分别
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