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2020-2021学年陕西省咸阳市高二(下)期末
数学试卷(理科)
一、选择题(共12个小题,每小题5分,共60分).
1.已知函数f(x)=sinπx,则f'(1)=( )
A.﹣π B.0 C.π D.1
2.已知(2﹣i)•z=i,i为虚数单位,则|z|=( )
A. B.1 C.2 D.
3.在(3x﹣2)5的展开式中,各项系数的和为( )
A.0 B.1 C.55 D.﹣55
4.已知函数f(x)在x=x0处的导数为f'(x0),则=( )
A.2f'(x0) B.﹣2f'(x0) C. D.
5.为迎接2022年北京冬奥会的到来,某体育中心举办“激情冰雪,相约冬奥”主题展览体验活动,共有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个活动项目,每人限报1个项目.有3位同学准备参加该活动,则不同的体验方案的种数为( )
A.53 B.35 C.C D.A
6.已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若P(ξ<2)=P(ξ>6)=0.15,则P(2≤ξ<4)等于( )
A.0.3 B.0.35 C.0.5 D.0.7
7.如图,某系统使用A,B,C三种不同的元件连接而成,每个元件是否正常工作互不影响.当元件A正常工作且B,C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作.若元件A,B,C正常工作的概率分别为0.7,0.9,0.8,则系统正常工作的概率为( )
A.0.196 B.0.504 C.0.686 D.0.994
8.“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,推动着新能源汽车产业的迅速发展.如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表:
月份代码x
1
2
3
4
5
销售量y(万辆)
0.5
0.6
1
1.4
1.5
由上表可知其线性回归方程为=0.28x+a,则a的值为( )
A.0.16 B.1.6 C.0.06 D.0.8
9.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且y=f'(x)的图像如图所示,则下列结论一定正确的是( )
A.f(a)=0 B.f(x)没有极大值
C.x=b时,f(x)有极大值 D.x=c时,f(x)有极小值
10.中国作为世界上最大的棉花生产国和消费国,棉田面积在40万公顷以上有7个,分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽.A,B,C,D,E共5位优秀学生分别前往新疆、湖北、山东、河北考察,用实际行动支持中国棉花.其中每个地方至少有一位同学去,A,B,C不去河北但能去其他三个地方,D,E四个地方都能去,则不同的安排方案的种数是( )
A.240 B.126 C.78 D.72
11.已知函数的图像与x轴有唯一的公共点,则a的值为( )
A. B. C.e D.1
12.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x2+ax(a∈R),若经过点A(0,﹣1)存在一条直线l与f(x)图象和g(x)图象都相切,则a=( )
A.0 B.﹣1 C.3 D.﹣1或3
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.10张奖券中有4张“中奖”奖券,甲乙两人先后参加抽奖活动,每人从中不放回地抽取一张奖券,甲先抽,乙后抽,则在甲中奖的条件下,乙没有中奖的概率为 .
14.现有6名学生站成一排,若学生甲不站两端,则不同的站法共有 种.
15.若f(x)=cosx﹣ax在R上为增函数,则实数a的取值范围为 .
16.若对任意0<x1<x2<a,有成立,则a的最大值为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.已知函数f(x)=x3﹣3x+1.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间.
18.在二项式(﹣)12的展开式中.
(Ⅰ)求展开式中含x3项的系数;
(Ⅱ)如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等,试求k的值.
19.青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题.对于这一问题,习近平总书记连续作出重要指示,要求“全社会都要行动起来,共同呵护好孩子的眼睛,让他们拥有一个光明的未来”.某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响,随机抽取了200名青少年,调查他们每天使用电子产品的时间(单位:分钟),根据调查数据按(0,30],(30,60],(60,90],(90,120],(120,150],(150,180]分成6组,得到如下频数分布表:
时间/分钟
(0,30]
(30,60]
(60,90]
(90,120]
(120,150]
(150,180]
频数
12
38
72
46
22
10
记每天使用电子产品的时间超过60分钟为长时间使用电子产品.
(Ⅰ)完成下面的列联表;
非长时间使用电子产品
长时间使用电子产品
合计
患近视人数
100
未患近视人数
80
合计
200
(Ⅱ)判断是否有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关.
附:,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
20.已知复数z1=a+3i,z2=2﹣ai(a∈R,i是虚数单位).
(1)若在复平面内对应的点落在第一象限,求实数a的取值范围;
(2)若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根,求实数m的值.
21.为贯彻高中育人方式的变革,某省推出新的高考方案是“3+1+2”模式,“3”是语文、数学、外语三科必选,“1”是在物理和历史两科中选择一科,“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目.某学校为做好选课走班教学,结合本校实际情况,给出四种可供选择的组合进行模拟选课,组合A:物理、化学、生物;组合B:物理、生物、地理;组合C:历史、政治、地理;组合D:历史、生物、地理.在本校选取100名同学进行模拟选课,每名同学只能选一个组合,选课数据统计如表:
组合
组合A
组合B
组合C
组合D
人数
40
a
30
20
频率
0.4
0.1
0.3
b
以这100名同学选课的频率代替每名同学选课的概率.
(Ⅰ)求表格中a和b的值;
(Ⅱ)估计某同学在选择地理的条件下,选择物理的概率;
(Ⅲ)甲、乙、丙三名同学每人选课是相互独立的,设X为三人中选择含地理组合的人数,求X的分布列和数学期望.
22.已知函数f(x)=lnx﹣ax(a∈R).
(Ⅰ)若f(x)存在极值,求a的取值范围;
(Ⅱ)当a=﹣1时,求证:xex﹣1﹣f(x)≥0.
参考答案
一、选择题(共12个小题,每小题5分,共60分).
1.已知函数f(x)=sinπx,则f'(1)=( )
A.﹣π B.0 C.π D.1
【分析】先利用复合函数的求导公式求出f'(x),然后求解f'(1),即可得到答案.
解:因为函数f(x)=sinπx,
所以f'(x)=πcosπx,
则f'(1)=﹣π.
故选:A.
2.已知(2﹣i)•z=i,i为虚数单位,则|z|=( )
A. B.1 C.2 D.
【分析】由已知求出z,进而可以求解.
解:由已知可得:
z=,
所以|z|=,
故选:A.
3.在(3x﹣2)5的展开式中,各项系数的和为( )
A.0 B.1 C.55 D.﹣55
【分析】令x=1,即可求得各项系数的和.
解:令x=1,可得各项系数的和为1.
故选:B.
4.已知函数f(x)在x=x0处的导数为f'(x0),则=( )
A.2f'(x0) B.﹣2f'(x0) C. D.
【分析】根据题意,由极限的运算性质可得=2,结合导数的定义分析可得答案.
解:根据题意,=2=2f'(x0),
故选:A.
5.为迎接2022年北京冬奥会的到来,某体育中心举办“激情冰雪,相约冬奥”主题展览体验活动,共有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个活动项目,每人限报1个项目.有3位同学准备参加该活动,则不同的体验方案的种数为( )
A.53 B.35 C.C D.A
【分析】根据题意,分析可得3名同学每人都有5种报名方法,由分步计数原理计算可得答案.
解:根据题意,每人限报1个项目,有3位同学准备参加该活动,
则每人都有5种报名方法,则53种报名方法,
故选:A.
6.已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若P(ξ<2)=P(ξ>6)=0.15,则P(2≤ξ<4)等于( )
A.0.3 B.0.35 C.0.5 D.0.7
【分析】随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),若P(ξ<2)=P(ξ>6)=0.15,得到曲线关于x=4对称,根据曲线的对称性从而得到所求.
解:由题意可得,
故选:B.
7.如图,某系统使用A,B,C三种不同的元件连接而成,每个元件是否正常工作互不影响.当元件A正常工作且B,C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作.若元件A,B,C正常工作的概率分别为0.7,0.9,0.8,则系统正常工作的概率为( )
A.0.196 B.0.504 C.0.686 D.0.994
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出系统正常工作的概率.
解:某系统使用A,B,C三种不同的元件连接而成,每个元件是否正常工作互不影响.
当元件A正常工作且B,C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作.
元件A,B,C正常工作的概率分别为0.7,0.9,0.8,
则系统正常工作的概率为:
P=0.7×[1﹣(1﹣0.9)(1﹣0.8)]=0.686.
故选:C.
8.“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,推动着新能源汽车产业的迅速发展.如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表:
月份代码x
1
2
3
4
5
销售量y(万辆)
0.5
0.6
1
1.4
1.5
由上表可知其线性回归方程为=0.28x+a,则a的值为( )
A.0.16 B.1.6 C.0.06 D.0.8
【分析】先求出样本平均数,然后代入线性回归方程求解即可.
解:由题意可知,,,
因为线性回归方程过点(),
所以有1=0.28×3+a,
故a=0.16.
故选:A.
9.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且y=f'(x)的图像如图所示,则下列结论一定正确的是( )
A.f(a)=0 B.f(x)没有极大值
C.x=b时,f(x)有极大值 D.x=c时,f(x)有极小值
【分析】由图象可知,设y=f′(x)的图象在原点与(c,0)之间的交点为(d,0),由图象可知f′(a)=f′(d)=f′(c)=0,根据导数的正负,研究函数f(x)的单调性极值,即可得出答案.
解:由图象可知,设y=f′(x)的图象在原点与(c,0)之间的交点为(d,0),
由图象可知f′(a)=f′(d)=f′(c)=0,
当x<a时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当a<x<d时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当d<x<c时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当c<x时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以x=a是f(x)的极小值点,x=d是函数f(x)的极大值点,
x=c是f(x)的极小值点,x=b不是f(x)的极值点,
f(a)=0不一定成立,
故选:D.
10.中国作为世界上最大的棉花生产国和消费国,棉田面积在40万公顷以上有7个,分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽.A,B,C,D,E共5位优秀学生分别
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