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2020-2021学年广东省广州市荔湾区高二(下)期末
数学试卷
一、选择题(共8小题,每题5分,共40分).
1.复数z=(其中i是虚数单位)的虚部是( )
A.1 B.i C.﹣1 D.﹣i
2.下列求导运算正确的是( )
A. B.(cosx2)′=﹣sinx2
C. D.
3.函数f(x)的图象如图所示,下列数值排序正确的是( )
A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)﹣f(2)
B.0<f'(3)<f(3)﹣f(2)<f'(2)
C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)﹣f(2)
D.0<f(3)﹣f(2)<f'(2)<f'(3)
4.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的左边,那么不同的排法共有( )种
A.24 B.36 C.48 D.60
5.甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛,决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说“很遗憾,你和乙都没有得到冠军”;对乙说“你当然不会是最差的”.从上述回答分析,5人的名次排列有( )种不同情况.
A.36 B.54 C.72 D.81
6.以模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=lny,其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4,则c=( )
A.0.3 B.e0.3 C.4 D.e4
7.甲、乙两队进行篮球决赛,采取五场三胜制(当一队得三场胜利时,该队获胜,比赛结束),根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以3:1获胜的概率是( )
A.0.18 B.0.21 C.0.39 D.0.42
8.若x2>x1>1,则( )
A.
B.
C.
D.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.下列叙述正确的是( )
A.回归直线一定过样本点的中心(,)
B.在回归分析中,R2=0.80的模型比R2=0.98的模型拟合的效果好
C.在残差图中,残差点分布的水平带状区域越窄,说明模型的拟合效果越好
D.某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x(℃)的关系,得到回归方程,则气温为2℃时,一定可卖出142杯热饮
10.已知两种不同型号的电子元件(分别记为X,Y)的使用寿命均服从正态分布X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是( )
(参考数据:若Z~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ﹣2σ)≤Z≤μ+2σ)≈0.9545)
A.μ1>μ2
B.σ1<σ2
C.P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)
D.P(μ1﹣σ1≤X≤μ1+2σ1)≈0.8186
11.在复平面内,复数z=a+bi对应向量为(O为坐标原点,a,b∈R).设,射线Ox为始边,OZ为终边逆时针旋转的角为θ,则z=r(cosθ+isinθ).数学家棣莫弗发现:设z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2],我们称这个结论为英弗定理,并由此定理推出了复数乘方公式:zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈N*),根据以上信息,下列说法正确的是( )
A.当r=1,时,z3=1
B.当r=1,θ=时,=﹣i
C.|z2|=|z|2
D.当r=1,时,若n为偶数,则复数zn为纯虚数
12.若函数的图象和直线y=ax有四个不同的交点,则实数a的取值可以是( )
A.4 B.2 C.0 D.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.曲线y=x2﹣x在点P(﹣1,2)处的切线方程为 .
14.新型冠状病毒疫情期间,4位志愿者需要被安排到3个不同的路口执勤,每个路口至少安排一人,总共有 种不同安排方法.(用数字作答)
15.(1+3x)6(1﹣x)3的展开式中x2的系数为 .
16.某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.每个瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm,当瓶子的半径r= cm时,每瓶饮料的利润最大,最大值为 分(结果保留π).
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知二项式(1﹣2x)n,若选条件_____(填写序号),
(1)求展开式中含x3的项;
(2)设(1﹣2x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn,求展开式中奇次项的系数和.
请在:①只有第4项的二项式系数最大;
②第2项与第6项的二项式系数相等;
③所有二项式系数的和为64
这三个条件中任选一个,补充在上面问题中的线上,并完成解答.
18.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2,f(x)的极值点分别为x1=﹣1,x2=3.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的极值.
19.一个箱子中装有4个红球和3个白球,那么:
(1)一次取出2个球,在已知它们颜色相同的情况下,求该颜色是红色的慨率;
(2)一次取出1个球,取出后记录颜色并放回箱中,取球3次,求取到红球个数X的期望与方差.
20.为响应“没有全民健康,就没有全面小康”的号召,社区开展了“健康身体,从我做起”社区健身活动,活动分为徒手运动和器械运动两大类.该社区对所有参与活的1000人进行了调查.其中男性600人中有180人参加徒手运动,女性中有320人参加器械运动.
(1)根据以上提供的信息,完成2×2列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为选择器械运动与性别有关系?
器械运动
徒手运动
总计
男性
女性
总计
(2)将上述调查所得的频率视为概率,为了进一步弄清选徒手运动的影响因素,准备进行抽样调查,现从选徒手运动的人中按分层抽样的方法抽取13人,再从这13人中任意抽取3人进行访谈,记抽取3人中参加徒手运动的女性人数为与ξ,求ξ的概率分布列.
附:.
临界值表:
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
21.某地位于甲、乙两条河流的交汇处,夏季多雨,根据统计资料预测,今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25,乙河流发生洪水的概率为0.2,(假设两河流发生洪水与否互不影响),现有一台大型设备正在该地施工,为了保护设备,施工方提出以下三种方案:
方案一:运走设备需要花费5000元;
方案二:建防洪设施,需要花费2000元,但防洪设施只能抵御一条河流发生的洪水,当两河流同时发生洪水时,设备将受损,损失56000元;
方案三:不采取措施,当两条河流同时发生洪水时损失60000元,只有一条河流发生洪水时,损失10000元.
(1)求今年甲、乙两河流至少有一条发生洪水的概率;
(2)试比较哪一种方案更好,说明理由.
22.已知函数f(x)=ex﹣ax+x.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当x>0时,f(x)≥x2+1恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
一、选择题(共8小题,每题5分,共40分).
1.复数z=(其中i是虚数单位)的虚部是( )
A.1 B.i C.﹣1 D.﹣i
解:∵z==,
∴复数z=的虚部是﹣1.
故选:C.
2.下列求导运算正确的是( )
A. B.(cosx2)′=﹣sinx2
C. D.
解:(x2+ln2)′=2x,∴A错;
(cosx2)′=﹣sinx2•(x2)′=﹣2xsinx2,∴B错;
()′===,∴C对;
()′=((x+1))′=(x+1)=,∴D错.
故选:C.
3.函数f(x)的图象如图所示,下列数值排序正确的是( )
A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)﹣f(2)
B.0<f'(3)<f(3)﹣f(2)<f'(2)
C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)﹣f(2)
D.0<f(3)﹣f(2)<f'(2)<f'(3)
解:设x=2,x=3时曲线上的点分别为A,B,点A处的切线为AT,点B处的切线为BQ,
则f(3)﹣f(2)=,
f'(3)=kBQ,f'(2)=kAT,
因为切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角,直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角,
所以kBQ<kAB<kAT,即0<f'(3)<f(3)﹣f(2)<f'(2).
故选:B.
4.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的左边,那么不同的排法共有( )种
A.24 B.36 C.48 D.60
解:根据题意,分2步进行分析:
①A,B必须相邻且B在A的左边,将AB看成一个整体,有1种顺序,
②将AB整体与C、D、E全排列,有=24种情况,
则有1×24=24种排法;
故选:A.
5.甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛,决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说“很遗憾,你和乙都没有得到冠军”;对乙说“你当然不会是最差的”.从上述回答分析,5人的名次排列有( )种不同情况.
A.36 B.54 C.72 D.81
解:根据题意,甲乙都没有得到冠军,而乙不是最后一名,
分2种情况讨论:
①、甲是最后一名,则乙可以为第二、三、四名,即乙有3种情况,
剩下的三人安排在其他三个名次,有A33=6种情况,
此时有3×6=18种名次排列情况;
②、甲不是最后一名,甲乙需要排在第二、三、四名,有A32=6种情况,
剩下的三人安排在其他三个名次,有A33=6种情况,
此时有6×6=36种名次排列情况;
则一共有36+18=54种不同的名次排列情况,
故选:B.
6.以模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=lny,其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4,则c=( )
A.0.3 B.e0.3 C.4 D.e4
解:∵y=cekx,
∴两边取对数,可得lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=lnc+kx,
令z=lny,可得z=lnc+kx,
∵z=0.3x+4,
∴lnc=4,
∴c=e4.
故选:D.
7.甲、乙两队进行篮球决赛,采取五场三胜制(当一队得三场胜利时,该队获胜,比赛结束),根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以3:1获胜的概率是( )
A.0.18 B.0.21 C.0.39 D.0.42
解:根据题意,若甲队以3:1获胜,则甲队在第四局获胜,前三局中获胜2局,
则甲队以3:1获胜的概率P=0.6×0.6×(1﹣0.5)×0.5+0.6×(1﹣0.6)×0.5×0.5+(1﹣0.6)×0.6×0.5×0.5=0.21;
故选:B.
8.若x2>x1>1,则( )
A.
B.
C.
D.
解:令f(x)=ex﹣3lnx,则f′(x)=,
在同一坐标系中画出y=ex与y=的图象如图,
由图可知,存在a∈(1,+∞),当x∈(1,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
∴与3lnx2﹣3lnx1的大小关系不确定,故AB错误;
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