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2020-2021学年广东省广州市荔湾区高二（下）期末
数学试卷
一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.
1．复数z＝（其中i是虚数单位）的虚部是（ ）
A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i
2．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．（cosx2）′＝﹣sinx2
C． D．
3．函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）
B．0＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）＜f'（2）
C．0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）﹣f（2）
D．0＜f（3）﹣f（2）＜f'（2）＜f'（3）
4．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有（ ）种
A．24 B．36 C．48 D．60
5．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，5人的名次排列有（ ）种不同情况．
A．36 B．54 C．72 D．81
6．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，其变换后得到线性回归方程z＝0.3x+4，则c＝（ ）
A．0.3 B．e0.3 C．4 D．e4
7．甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以3：1获胜的概率是（ ）
A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.42
8．若x2＞x1＞1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列叙述正确的是（ ）
A．回归直线一定过样本点的中心（，）
B．在回归分析中，R2＝0.80的模型比R2＝0.98的模型拟合的效果好
C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好
D．某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x（℃）的关系，得到回归方程，则气温为2℃时，一定可卖出142杯热饮
10．已知两种不同型号的电子元件（分别记为X，Y）的使用寿命均服从正态分布X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ）
（参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ）≤Z≤μ+2σ）≈0.9545）
A．μ1＞μ2
B．σ1＜σ2
C．P（Y≥μ2）＜P（Y≥μ1）
D．P（μ1﹣σ1≤X≤μ1+2σ1）≈0.8186
11．在复平面内，复数z＝a+bi对应向量为（O为坐标原点，a，b∈R）．设，射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为θ，则z＝r（cosθ+isinθ）．数学家棣莫弗发现：设z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），则z1z2＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2]，我们称这个结论为英弗定理，并由此定理推出了复数乘方公式：zn＝[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．当r＝1，时，z3＝1
B．当r＝1，θ＝时，＝﹣i
C．|z2|＝|z|2
D．当r＝1，时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数
12．若函数的图象和直线y＝ax有四个不同的交点，则实数a的取值可以是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线y＝x2﹣x在点P（﹣1，2）处的切线方程为 ．
14．新型冠状病毒疫情期间，4位志愿者需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，总共有 种不同安排方法．（用数字作答）
15．（1+3x）6（1﹣x）3的展开式中x2的系数为 ．
16．某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．每个瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，当瓶子的半径r＝ cm时，每瓶饮料的利润最大，最大值为 分（结果保留π）．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知二项式（1﹣2x）n，若选条件_____（填写序号），
（1）求展开式中含x3的项；
（2）设（1﹣2x）n＝a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，求展开式中奇次项的系数和．
请在：①只有第4项的二项式系数最大；
②第2项与第6项的二项式系数相等；
③所有二项式系数的和为64
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中的线上，并完成解答．
18．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+2，f（x）的极值点分别为x1＝﹣1，x2＝3．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的极值．
19．一个箱子中装有4个红球和3个白球，那么：
（1）一次取出2个球，在已知它们颜色相同的情况下，求该颜色是红色的慨率；
（2）一次取出1个球，取出后记录颜色并放回箱中，取球3次，求取到红球个数X的期望与方差．
20．为响应“没有全民健康，就没有全面小康”的号召，社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动，活动分为徒手运动和器械运动两大类．该社区对所有参与活的1000人进行了调查．其中男性600人中有180人参加徒手运动，女性中有320人参加器械运动．
（1）根据以上提供的信息，完成2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为选择器械运动与性别有关系？
器械运动
徒手运动
总计
男性
女性
总计
（2）将上述调查所得的频率视为概率，为了进一步弄清选徒手运动的影响因素，准备进行抽样调查，现从选徒手运动的人中按分层抽样的方法抽取13人，再从这13人中任意抽取3人进行访谈，记抽取3人中参加徒手运动的女性人数为与ξ，求ξ的概率分布列．
附：．
临界值表：
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
21．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，夏季多雨，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.2，（假设两河流发生洪水与否互不影响），现有一台大型设备正在该地施工，为了保护设备，施工方提出以下三种方案：
方案一：运走设备需要花费5000元；
方案二：建防洪设施，需要花费2000元，但防洪设施只能抵御一条河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失56000元；
方案三：不采取措施，当两条河流同时发生洪水时损失60000元，只有一条河流发生洪水时，损失10000元．
（1）求今年甲、乙两河流至少有一条发生洪水的概率；
（2）试比较哪一种方案更好，说明理由．
22．已知函数f（x）＝ex﹣ax+x．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x＞0时，f（x）≥x2+1恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）.
1．复数z＝（其中i是虚数单位）的虚部是（ ）
A．1 B．i C．﹣1 D．﹣i
解：∵z＝＝，
∴复数z＝的虚部是﹣1．
故选：C．
2．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．（cosx2）′＝﹣sinx2
C． D．
解：（x2+ln2）′＝2x，∴A错；
（cosx2）′＝﹣sinx2•（x2）′＝﹣2xsinx2，∴B错；
（）′＝＝＝，∴C对；
（）′＝（（x+1））′＝（x+1）＝，∴D错．
故选：C．
3．函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）
B．0＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）＜f'（2）
C．0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）﹣f（2）
D．0＜f（3）﹣f（2）＜f'（2）＜f'（3）
解：设x＝2，x＝3时曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，
则f（3）﹣f（2）＝，
f'（3）＝kBQ，f'（2）＝kAT，
因为切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，
所以kBQ＜kAB＜kAT，即0＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）＜f'（2）．
故选：B．
4．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有（ ）种
A．24 B．36 C．48 D．60
解：根据题意，分2步进行分析：
①A，B必须相邻且B在A的左边，将AB看成一个整体，有1种顺序，
②将AB整体与C、D、E全排列，有＝24种情况，
则有1×24＝24种排法；
故选：A．
5．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，5人的名次排列有（ ）种不同情况．
A．36 B．54 C．72 D．81
解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分2种情况讨论：
①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有A33＝6种情况，
此时有3×6＝18种名次排列情况；
②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有A32＝6种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有A33＝6种情况，
此时有6×6＝36种名次排列情况；
则一共有36+18＝54种不同的名次排列情况，
故选：B．
6．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，其变换后得到线性回归方程z＝0.3x+4，则c＝（ ）
A．0.3 B．e0.3 C．4 D．e4
解：∵y＝cekx，
∴两边取对数，可得lny＝ln（cekx）＝lnc+lnekx＝lnc+kx，
令z＝lny，可得z＝lnc+kx，
∵z＝0.3x+4，
∴lnc＝4，
∴c＝e4．
故选：D．
7．甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以3：1获胜的概率是（ ）
A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.42
解：根据题意，若甲队以3：1获胜，则甲队在第四局获胜，前三局中获胜2局，
则甲队以3：1获胜的概率P＝0.6×0.6×（1﹣0.5）×0.5+0.6×（1﹣0.6）×0.5×0.5+（1﹣0.6）×0.6×0.5×0.5＝0.21；
故选：B．
8．若x2＞x1＞1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
解：令f（x）＝ex﹣3lnx，则f′（x）＝，
在同一坐标系中画出y＝ex与y＝的图象如图，
由图可知，存在a∈（1，+∞），当x∈（1，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴与3lnx2﹣3lnx1的大小关系不确定，故AB错误；
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