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2020-2021学年安徽省、河南省皖豫联盟体高二（下）期末
数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．已知集合A＝{x|log2x＞1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∪B＝（ ）
A．（2，3） B．（﹣1，3） C．（2，+∞） D．（﹣1，+∞）
2. 已知为虚数单位，若，则的共扼复数（ ）
A. B. C. D.
3. 已知椭圆的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（ ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 8
4．“x＞0”是“sinx＞0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，图象对应函数解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知－1，a，b，－4成等差数列，－1，c，d, e，－4成等比数列，则＝（ ）
A. B. － C. D. 或－
8．令（x+1）2020＝a1+a2x+a3x2+⋯+a2020x2019+a2021x2020（x∈R），则a2+2a3+⋯+2019a2020+2020a2021＝（ ）
A．2019•22019 B．2019•22020 C．2020•22019 D．2020•22020
9．3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（ ）
A．576 B．432 C．388 D．216
10. （ ）
A. B. 8 C. D.
11. 已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
12. 若函数有三个不同零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上．
13. 已知单位向量满足，则___________.
14．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为 ．
15．已知三棱锥P﹣ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，PB＝PC，，O1为△ABC的外接圆的圆心，，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 ．
16．已知点M为双曲线在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，4|MO|＝4|MF|＝7|OF|，则双曲线C的离心率为 ；若MF，MO分别交双曲线C于P，Q两点，记直线PM与PQ的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝ ．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．
17．如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且．
（1）求△ACD的面积；
（2）若，求AB的长．
18．在2021年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据如下（单位：cm）：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
168
167
165
186
a
b
c
d
178
158
序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
身高
166
178
175
169
172
177
182
169
168
176
由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个人的身高都在（160，182）之间（单位：cm），且这20组身高数据的平均数为，标准差为s＝7．
（1）为了更好地研究本校男生的身高数据决定用这20个数据中在区间（﹣2s，+2s）以内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，高校男生身高的平均值与方差分别为多少（方差保留两位小数）？
（2）使用统计学的观点说明，（﹣2s，+2s）以内的数据与原数据对比有什么特点（主要用平均数与方差进行说明）？
（参考公式：s2＝（xi﹣）2＝（xi2﹣n2））
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，且DM＝2MP，点N为BC中点．
（1）证明：直线MN∥平面PAB；
（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值．
20．已知点P（﹣2，y0）为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，F为抛物线C的焦点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且△FPQ面积为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l经过（2，5）交抛物线C于M，N两点（异于点P），求证：∠MPN的大小为定值．
21．已知函数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当λ＝2时，求证：f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立；
（3）求证：当x＞0时，（ex﹣1）ln（x+1）＞x2．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cosθ．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P坐标为（1，1），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．
23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣a|．
（1）当a＝2时，求f（x）的最小值；
（2）若函数在区间[﹣1，1]上递减，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．已知集合A＝{x|log2x＞1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∪B＝（ ）
A．（2，3） B．（﹣1，3） C．（2，+∞） D．（﹣1，+∞）
解：∵集合A＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}，
B＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，
∴A∪B＝{x|x＞﹣1}＝（﹣1，+∞）．
故选：D．
2．已知i为虚数单位，若，则z的共轭复数＝（ ）
A．cosθ﹣isinθ B．cosθ+isinθ C．sinθ+icosθ D．sinθ﹣icosθ
解：＝＝cosθ﹣isinθ，
故z的共轭复数＝cosθ+isinθ，
故选：B．
3．已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
解：将椭圆的方程转化为标准形式为，
显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，
，解得m＝8
故选：D．
4．“x＞0”是“sinx＞0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：当x＝时，sinx＝﹣1＜0，当x＝﹣时，sinx＝1＞0，
∴“x＞0”推不出“sinx＞0”；“sinx＞0”推不出“x＞0”；
故“x＞0”是“sinx＞0”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
5．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意，10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，
此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，
则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率P＝＝，
故选：B．
6．如图，图象对应的函数解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：根据题意，用排除法分析：
对于B，在区间（0，1）上，sinx＞0，cosx＞0，x2＞0，（4x﹣4﹣x）＞0，则必有f（x）＞0，不符合题意，
对于C，其定义域为{x|x≠0}，不符合题意，
对于D，在区间（0，1）上，sinx＞0，＞0，必有f（x）＞0，不符合题意，
故选：A．
7．已知﹣1，a，b，﹣4成等差数列，﹣1，c，d，e，﹣4成等比数列，则＝（ ）
A． B．﹣ C． D．或﹣
解：∵﹣1，a，b，﹣4成等差数列，
∴3（b﹣a）＝﹣4+1＝﹣3
∴d＝b﹣a＝﹣1
∵﹣1，c，d，e，﹣4五个实数成等比数列，
∴d2＝（﹣1）×（﹣4）＝4，d＝（﹣1）q2＜0，
∴d＝﹣2，
则＝．
故选：C．
8．令（x+1）2020＝a1+a2x+a3x2+⋯+a2020x2019+a2021x2020（x∈R），则a2+2a3+⋯+2019a2020+2020a2021＝（ ）
A．2019•22019 B．2019•22020 C．2020•22019 D．2020•22020
解：∵（x+1）2020＝a1+a2x+a3x2+……+a2020x2019+a2021x2020，
∴2020（x+1）2019＝a2+2a3x+……+2019a2020x2018+2020a2021x2019，
令x＝1得，2020•22019＝a2+2a3+……+2019a2020+2020a2021，
故选：C．
9．3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（ ）
A．576 B．432 C．388 D．216
解：根据题意，分2步进行分析：
①先将3名男生排好，有A33＝6种排法，排好后有4个空位，
②将女生分为1﹣2的两组，有C31＝3种分组方法，安排到4个空位中，考虑2个女生一组的顺序，有2×A42＝12种情况，则有3×24＝72种排法，
则有6×72＝432种不同排法，
故选：B．
10．（+x2）dx＝（ ）
A． B． C．8 D．2π
解：＝＝＝2π．
故选：A．
11．已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．c＞a＞b
解：由＞60＝1，6＜8＝2，
故1＜a＜2，
b＝log78+log5649＝+≥2＝2＞2，
7b+24b＝25c≥2＞2×7×24＝336，
可得1＜c＜2，
由于a比c更靠近2一些，故a＞c，
所以b＞a＞c．
故选：A．
12．若函数f（x）＝（2ax+）lnx﹣（a﹣1）x3有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．（1，）
C．（0，1）∪（1，）
D．（0，1）∪{}
解：令f（x）＝（2ax+）lnx﹣（a﹣1）x3＝0，
即2a•+（）2﹣（a﹣1）＝0，
设t＝g（x）＝，令g′（x）＝＝0，则x＝，即有g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，则t＜g（）＝，
原方程可化为t2+2at﹣（a﹣1）＝0，设方程两根为t1＜t2，则0＜t2＜，t1＜0，
设h（t）＝t2+2at﹣（a﹣1），
则，解得1＜a＜，
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上．
13．已知单位向量满足，则＝ 90° ．
解：因为单位向量满足，
所以＝，所以5﹣4＝5，
所以＝0，所以＝90°．
故答案为：90°．
14．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为 2 ．
解：设变量x、y满足约束条件，
在坐标系中画出可行域△ABC，A（1，1），B（3，1），C（2，0），
则直线z＝x+2y，过可行域内的点C（2，0）时的最小值，
目标函数z＝x+2y的最小值为：2．
故答案为：2．
15．已知三棱锥P﹣ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，PB＝PC，PA＝，O
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