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2020-2021学年安徽省、河南省皖豫联盟体高二(下)期末
数学试卷(理科)
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分).
1.已知集合A={x|log2x>1},B={x||x﹣1|<2},则A∪B=( )
A.(2,3) B.(﹣1,3) C.(2,+∞) D.(﹣1,+∞)
2. 已知为虚数单位,若,则的共扼复数( )
A. B. C. D.
3. 已知椭圆的长轴在y轴上,若焦距为4,则m等于( )
A. 3 B. 5 C. 7 D. 8
4.“x>0”是“sinx>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.10张奖券中有4张“中奖”奖券,甲乙两人先后参加抽奖活动,每人从中不放回抽取一张奖券,甲先抽,乙后抽,在甲中奖条件下,乙没有中奖的概率为( )
A. B. C. D.
6. 如图,图象对应函数解析式可能是( )
A. B.
C. D.
7. 已知-1,a,b,-4成等差数列,-1,c,d, e,-4成等比数列,则=( )
A. B. - C. D. 或-
8.令(x+1)2020=a1+a2x+a3x2+⋯+a2020x2019+a2021x2020(x∈R),则a2+2a3+⋯+2019a2020+2020a2021=( )
A.2019•22019 B.2019•22020 C.2020•22019 D.2020•22020
9.3男3女六位同学站成一排,则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是( )
A.576 B.432 C.388 D.216
10. ( )
A. B. 8 C. D.
11. 已知实数a,b,c满足,,,则a,b,c的大小关系是( )
A. B. C. D.
12. 若函数有三个不同零点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在题中的横线上.
13. 已知单位向量满足,则___________.
14.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为 .
15.已知三棱锥P﹣ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,PB=PC,,O1为△ABC的外接圆的圆心,,则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 .
16.已知点M为双曲线在第一象限上一点,点F为双曲线C的右焦点,O为坐标原点,4|MO|=4|MF|=7|OF|,则双曲线C的离心率为 ;若MF,MO分别交双曲线C于P,Q两点,记直线PM与PQ的斜率分别为k1,k2,则k1k2= .
三、解答题:共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.(一)必考题:共60分.
17.如图,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且.
(1)求△ACD的面积;
(2)若,求AB的长.
18.在2021年高考体检中,某校随机选取了20名男生,测得其身高数据如下(单位:cm):
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
168
167
165
186
a
b
c
d
178
158
序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
身高
166
178
175
169
172
177
182
169
168
176
由于统计时出现了失误,导致5,6,7,8号的身高数据丢失,先用字母a,b,c,d表示,但是已知这4个人的身高都在(160,182)之间(单位:cm),且这20组身高数据的平均数为,标准差为s=7.
(1)为了更好地研究本校男生的身高数据决定用这20个数据中在区间(﹣2s,+2s)以内的数据,重新计算其平均数与方差,据此估计,高校男生身高的平均值与方差分别为多少(方差保留两位小数)?
(2)使用统计学的观点说明,(﹣2s,+2s)以内的数据与原数据对比有什么特点(主要用平均数与方差进行说明)?
(参考公式:s2=(xi﹣)2=(xi2﹣n2))
19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,其中AD∥BC,AD=3,AB=BC=2,PA⊥平面ABCD,且PA=3.点M在棱PD上,且DM=2MP,点N为BC中点.
(1)证明:直线MN∥平面PAB;
(2)求二面角C﹣PD﹣N的正弦值.
20.已知点P(﹣2,y0)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,F为抛物线C的焦点,抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q,且△FPQ面积为2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设直线l经过(2,5)交抛物线C于M,N两点(异于点P),求证:∠MPN的大小为定值.
21.已知函数.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当λ=2时,求证:f(x)>0在(1,+∞)上恒成立;
(3)求证:当x>0时,(ex﹣1)ln(x+1)>x2.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.在平面直角坐标系xOy中,直线l参数方程为(t为参数).在以原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆C的方程为ρ=4cosθ.
(Ⅰ)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;
(Ⅱ)若点P坐标为(1,1),圆C与直线l交于A、B两点,求|PA|+|PB|的值.
23.已知函数f(x)=|x+1|+2|x﹣a|.
(1)当a=2时,求f(x)的最小值;
(2)若函数在区间[﹣1,1]上递减,求a的取值范围.
参考答案
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分).
1.已知集合A={x|log2x>1},B={x||x﹣1|<2},则A∪B=( )
A.(2,3) B.(﹣1,3) C.(2,+∞) D.(﹣1,+∞)
解:∵集合A={x|log2x>1}={x|x>2},
B={x||x﹣1|<2}={x|﹣1<x<3},
∴A∪B={x|x>﹣1}=(﹣1,+∞).
故选:D.
2.已知i为虚数单位,若,则z的共轭复数=( )
A.cosθ﹣isinθ B.cosθ+isinθ C.sinθ+icosθ D.sinθ﹣icosθ
解:==cosθ﹣isinθ,
故z的共轭复数=cosθ+isinθ,
故选:B.
3.已知椭圆,长轴在y轴上,若焦距为4,则m等于( )
A.4 B.5 C.7 D.8
解:将椭圆的方程转化为标准形式为,
显然m﹣2>10﹣m,即m>6,
,解得m=8
故选:D.
4.“x>0”是“sinx>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解:当x=时,sinx=﹣1<0,当x=﹣时,sinx=1>0,
∴“x>0”推不出“sinx>0”;“sinx>0”推不出“x>0”;
故“x>0”是“sinx>0”的既不充分也不必要条件,
故选:D.
5.10张奖券中有4张“中奖”奖券,甲乙两人先后参加抽奖活动,每人从中不放回抽取一张奖券,甲先抽,乙后抽,在甲中奖条件下,乙没有中奖的概率为( )
A. B. C. D.
解:根据题意,10张奖券中有4张“中奖”奖券,甲先抽,并且中奖,
此时还有9张奖券,其中3张为“中奖”奖券,
则在甲中奖条件下,乙没有中奖的概率P==,
故选:B.
6.如图,图象对应的函数解析式可能是( )
A.
B.
C.
D.
解:根据题意,用排除法分析:
对于B,在区间(0,1)上,sinx>0,cosx>0,x2>0,(4x﹣4﹣x)>0,则必有f(x)>0,不符合题意,
对于C,其定义域为{x|x≠0},不符合题意,
对于D,在区间(0,1)上,sinx>0,>0,必有f(x)>0,不符合题意,
故选:A.
7.已知﹣1,a,b,﹣4成等差数列,﹣1,c,d,e,﹣4成等比数列,则=( )
A. B.﹣ C. D.或﹣
解:∵﹣1,a,b,﹣4成等差数列,
∴3(b﹣a)=﹣4+1=﹣3
∴d=b﹣a=﹣1
∵﹣1,c,d,e,﹣4五个实数成等比数列,
∴d2=(﹣1)×(﹣4)=4,d=(﹣1)q2<0,
∴d=﹣2,
则=.
故选:C.
8.令(x+1)2020=a1+a2x+a3x2+⋯+a2020x2019+a2021x2020(x∈R),则a2+2a3+⋯+2019a2020+2020a2021=( )
A.2019•22019 B.2019•22020 C.2020•22019 D.2020•22020
解:∵(x+1)2020=a1+a2x+a3x2+……+a2020x2019+a2021x2020,
∴2020(x+1)2019=a2+2a3x+……+2019a2020x2018+2020a2021x2019,
令x=1得,2020•22019=a2+2a3+……+2019a2020+2020a2021,
故选:C.
9.3男3女六位同学站成一排,则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是( )
A.576 B.432 C.388 D.216
解:根据题意,分2步进行分析:
①先将3名男生排好,有A33=6种排法,排好后有4个空位,
②将女生分为1﹣2的两组,有C31=3种分组方法,安排到4个空位中,考虑2个女生一组的顺序,有2×A42=12种情况,则有3×24=72种排法,
则有6×72=432种不同排法,
故选:B.
10.(+x2)dx=( )
A. B. C.8 D.2π
解:===2π.
故选:A.
11.已知实数a,b,c满足,则a,b,c的大小关系是( )
A.b>a>c B.c>b>a C.b>c>a D.c>a>b
解:由>60=1,6<8=2,
故1<a<2,
b=log78+log5649=+≥2=2>2,
7b+24b=25c≥2>2×7×24=336,
可得1<c<2,
由于a比c更靠近2一些,故a>c,
所以b>a>c.
故选:A.
12.若函数f(x)=(2ax+)lnx﹣(a﹣1)x3有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.(0,)
B.(1,)
C.(0,1)∪(1,)
D.(0,1)∪{}
解:令f(x)=(2ax+)lnx﹣(a﹣1)x3=0,
即2a•+()2﹣(a﹣1)=0,
设t=g(x)=,令g′(x)==0,则x=,即有g(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,则t<g()=,
原方程可化为t2+2at﹣(a﹣1)=0,设方程两根为t1<t2,则0<t2<,t1<0,
设h(t)=t2+2at﹣(a﹣1),
则,解得1<a<,
故选:B.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在题中的横线上.
13.已知单位向量满足,则= 90° .
解:因为单位向量满足,
所以=,所以5﹣4=5,
所以=0,所以=90°.
故答案为:90°.
14.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值为 2 .
解:设变量x、y满足约束条件,
在坐标系中画出可行域△ABC,A(1,1),B(3,1),C(2,0),
则直线z=x+2y,过可行域内的点C(2,0)时的最小值,
目标函数z=x+2y的最小值为:2.
故答案为:2.
15.已知三棱锥P﹣ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,PB=PC,PA=,O
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