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2020-2021学年上海市奉贤区高二（下）期末
数学试卷
一．填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点与坐标原点O重合，以Ox的正半轴为角θ的始边，终边经过点（﹣3，4），则cosθ＝ ．
2．如果1﹣2i是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的一个根，其中i是虚数单位，则pq＝ ．
3．若＝110，则n＝ ．
4．函数y＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是 ．
5．已知地球的半径为6371千米，上海的位置约为东经121°27'，北纬31°8'，台北的位置约为东经121°27'，北纬25°5'，则两个城市之间的距离约为 千米．（结果精确到1千米）
6．（1+a）12的二项展开式中的倒数第5项是 ．
7．用半径为2米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器，则这个容器的容积是 立方米．
8．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 ．
9．在一次义诊送上门大型活动中，需要从某医院某科室的6名男医生（含一名主任医师）和4名女医生（含一名主任医师）一共10人中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有 种．（用数字作答）
10．设圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0与双曲线的渐近线相切，则实数b＝ ．
11．二次函数y＝ax2（a＞0）图象上的A、B两点均在第一象限．设点F（0，），当|AF|＝4，|BF|＝2，|AB|＝3时，直线AB的斜率为 ．
12．在《九章算术》中定义“底面为直角三角形而有一侧棱垂直于底面的三棱锥为鳖臑”．如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD，AB＝1，BC＝2，CD＝1，则异面直线AC与BD所成角的大小为 ．
二．选择题（13-16每题5分，共20分）
13．在复平面内，复数z＝sin2+icos2（i是虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，1在同一平面”是“m，n，1两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
15．下列参数方程（t是参数）与普通方程y2＝x表示同一曲线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．直线+＝1（ab≠0）与椭圆+＝1相交于两点M、N，点P使得△PMN的面积为|ab|，则这样的点P在椭圆上的个数有（ ）
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题(14+14+14+16+18）
17．设z＝x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，复数z在复平面对应的点为Z（x，y），已知为实数．
（1）求Z（x，y）的轨迹方程；
（2）求|z﹣1|的取值范围．
18．我国发射的第一颗人造地球卫星，它的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，椭圆长轴的两个端点A、B分别为近地点和远地点，如图所示．卫星在近地点A与地球表面的距离为439千米，在远地点B与地球表面的距离为2384千米，地球中心与A、B
在同一直线上．已知地球的半径R为6371千米，建立适当的平面直角坐标系，求卫星轨道的方程．
19．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（）＝2，a＝2，求△ABC周长的取值范围．
20．（16分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，的棱长为2，点E为BB1的中点．
（1）求直线AA1与平面D1AE所成角的大小；
（2）作出过D1，A，E三点的平面截正方体所得的截面α，并求截面α与侧面ADD1A1所成的锐二面角的大小；
（3）点F为CC1的中点，动点P在底面正方形ABCD（包括边界）内，若FP∥平面D1AE，求线段C1P长度的取值范围．
21．（18分）已知椭圆，过动点M（0，m）（m＞0）的直线1交x轴于点N，交椭圆于点A，P（点P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交椭圆于另一点Q，延长QM交椭圆于点B．点T（，）在椭圆上．
（1）求椭圆的焦距；
（2）设直线PM的斜率为k，直线QM的斜率为k′，证明：为定值；
（3）求直线AB倾斜角的最小值．
参考答案
一．填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点与坐标原点O重合，以Ox的正半轴为角θ的始边，终边经过点（﹣3，4），则cosθ＝ ﹣ ．
解：由题意，角θ的顶点与坐标原点O重合，以Ox的正半轴为角θ的始边，终边经过点（﹣3，4），
所以x＝﹣3，y＝4，r＝5，
cosθ＝＝﹣．
故答案为：﹣．
2．如果1﹣2i是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的一个根，其中i是虚数单位，则pq＝ ﹣10 ．
解：1﹣2i是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的一个根，
则1+2i也是方程的根，
所以，
解得p＝﹣2，q＝5，
所以pq＝﹣10．
故答案为：﹣10．
3．若＝110，则n＝ 11 ．
解：∵＝n（n﹣1）＝110，则n＝11，
故答案为：11．
4．函数y＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是 π ．
解：∵y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，
∴．
∴故答案为：π．
5．已知地球的半径为6371千米，上海的位置约为东经121°27'，北纬31°8'，台北的位置约为东经121°27'，北纬25°5'，则两个城市之间的距离约为 672 千米．（结果精确到1千米）
解：因为上海和台北在同一经线上，
所以它们在地球的同一个大圆上，
则这个大圆上，设地球的球心为O，上海、台北分别为点A，B，
由上海、台北的经纬度可知，∠AOB＝6°3'，
地球的半径为r＝6371，
故AB的弧长为672千米，
所以上海和台北两个城市之间的距离约为672千米．
故答案为：672．
6．（1+a）12的二项展开式中的倒数第5项是 495a8 ．
【分析】由题意可得，本题即求展开式的第9项，再利用二项展开式的通项公式，得出结论．
解：（1+a）12的二项展开式中的倒数第5项，即展开式的第9项，为T9＝•a8＝495a8，
故答案为：495a8．
7．用半径为2米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器，则这个容器的容积是 立方米．
【分析】由题意，圆锥的母线长为l＝2，由圆锥的底面周长等于半圆弧长列式求圆锥底面半径，根据勾股定理计算圆锥的高，代入体积公式计算．
解：由题意，圆锥的母线长为l＝2，
设圆锥的底面半径为r，则2πr＝2π，即r＝1，
∴圆锥的高h＝，
∴圆锥的体积V＝•πr2•h＝•π•＝．
故答案为：．
8．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 ．
【分析】首先用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列找出分子，再全部排列找到分母，再利用古典概型求概率．
解：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有＝12种排法，
再所有的4个人全排列有＝24种排法，
利用古典概型求概率p＝＝，
故答案为：．
9．在一次义诊送上门大型活动中，需要从某医院某科室的6名男医生（含一名主任医师）和4名女医生（含一名主任医师）一共10人中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有 90 种．（用数字作答）
【分析】根据题意，按照男女主任医师是否被选中分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
解：根据题意，分3种情况讨论：
①只有男主任医师被选出，有C52C32＝30种选法；
②只有女主任医师被选出，有C53C31＝30种选法；
③男女主任医师都被选出，有C51C31＝30种选法；
则有30+30+30＝90种选派方法；
故答案为：90．
10．设圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0与双曲线的渐近线相切，则实数b＝ ．
【分析】先由圆的方程得圆心，半径，由双曲线的方程，得渐近线的方程，则圆心（1，2）到渐近线y＝﹣bx的距离d＝＝r＝1，记得b，即可得出答案．
解：圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0化为标准方程得（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，
圆心为（1，2），半径r＝1，
双曲线x2﹣＝1的渐近线为y＝±bx，
所以圆心（1，2）到渐近线y＝﹣bx的距离d＝＝r＝1，
解得b＝±，
故答案为：±．
11．二次函数y＝ax2（a＞0）图象上的A、B两点均在第一象限．设点F（0，），当|AF|＝4，|BF|＝2，|AB|＝3时，直线AB的斜率为 ．
【分析】将二次函数y＝ax2 转化为焦点在y轴正半轴的抛物线，结合抛物线的定义，以及两点之间的距离公式，即可求解．
解：∵二次函数为y＝ax2，
∴，即该方程可看作，焦点在y轴正半轴的抛物线，即焦点F（0，），
设A（xA，yA），B（xB，yB），
∵|AF|＝4，|BF|＝2，
∴由抛物线的定义，可得，，
两式相减，可得yA﹣yB＝2，
∵|AB|＝3，
∴，
又∵A、B两点均在第一象限，且，yA＞yB，
∴xA﹣xB＞0，
∴，
∴直线AB的斜率为．
故答案为：．
12．在《九章算术》中定义“底面为直角三角形而有一侧棱垂直于底面的三棱锥为鳖臑”．如图，在鳖臑ABCD中，侧棱AB⊥底面BCD，AB＝1，BC＝2，CD＝1，则异面直线AC与BD所成角的大小为 arccos或arccos ．
【分析】分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，由EF//BD，EG//AC，可得∠FEC为异面直线AC与BD所成的角，由已知中的定义，分∠BCD＝90°和∠BDC＝90°两种情况讨论，利用余弦定理求解即可．
解：如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，
则EF//BD，EG//AC，
所以∠FEC为异面直线AC与BD所成的角，
易知FO//AB，且AB⊥平面BCD，所以FO⊥OG，
因为AB＝1，BC＝2，AB⊥BC，
所以AC＝，所以EG＝AC＝，
当∠BCD＝90°时，由CD＝1，BC＝2，
可得BD＝，所以EF＝BD＝．
又因为OF＝AB＝，OG＝CD＝，
所以FG＝＝，
所以cos∠FEG＝＝，
即异面直线AC与BD所成的角为arccos；
当∠BDC＝90°时，由CD＝1，BC＝2，
可得BD＝，EF＝BD＝．
因为OF＝AB＝，OG＝CD＝，
所以FG＝＝，
所以cos∠FEG＝＝，
即异面直线AC与BD所成的角为arccos．
综上可得，异面直线AC与BD所成的角为arccos或arccos．
故答案为：arccos或arccos．
二．选择题（13-16每题5分，共20分）
13．在复平面内，复数z＝sin2+icos2（i是虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由2在第二象限可解决此题．
解：∵2在第二象限，∴sin2＞0，cos2＜0，
∴复数z＝sin2+icos2（i是虚数单位）对应的点位于第四象限．
故选：D．
14．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，1在同一平面”是“m，n，1两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
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